幾何畫板中幾種函數(shù)的妙用

能利用幾何畫板直接作出的圖形只有點(diǎn)、線（線段、射線和直線）、圓，要作出其它幾何圖形，還需要掌握其它功能，如計(jì)算、變換、繪制點(diǎn)和作軌跡等功能。靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去充分利用這些功能，是運(yùn)用幾何畫板制作課件的關(guān)鍵。本文向大家介紹如何在幾何畫板中巧妙地利用符號(hào)函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)和“四舍五入”函數(shù)來解決一些問題。

一、利用符號(hào)函數(shù)和絕對(duì)值函數(shù)彌補(bǔ)計(jì)算器缺陷

幾何畫板雖然是一個(gè)很優(yōu)秀的課件平臺(tái)，但也有不足，它所提供的計(jì)算器就有一些問題。我們知道，只要不是偶數(shù)，那么對(duì)，（是既約分?jǐn)?shù)）恒有意義。而在幾何畫板中，即使不是偶數(shù)，如果，也將（是既約分?jǐn)?shù)）視為“未定義”，比如計(jì)算的值時(shí)就得到“未定義”，這顯然是不對(duì)的，如圖1所示。

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圖1

在制作冪函數(shù)的圖象時(shí)會(huì)遇到這個(gè)問題，有的老師利用“變換”的功能來解決，即先制作時(shí)的圖象，然后再用“變換”的方法得到另一半圖形。圖2就是用這種方法得到的的圖像。

這種方法雖然也可以制作出冪函數(shù)的圖像，但存在兩個(gè)問題。一是所得圖像在原點(diǎn)附近是不連續(xù)的，容易誤導(dǎo)學(xué)生，要解決這個(gè)問題還要做其它修改；二是同一個(gè)函數(shù)的圖像被分成兩個(gè)不同的對(duì)象，不能使某個(gè)點(diǎn)“跑遍”整個(gè)圖像（圖2中的點(diǎn)D只能在上運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)D’只能在上運(yùn)動(dòng)），這樣將帶來很大的不便。

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圖2

其實(shí)，“解鈴還需系鈴人”，幾何畫板計(jì)算器的缺陷可以由它自身彌補(bǔ)，方法如下。

1.在x軸上任作點(diǎn)C，度量其坐標(biāo)并分離出橫坐標(biāo)；

2.用計(jì)算器計(jì)算出，作點(diǎn)D（，）；

3.作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)C的軌跡，得到完整的圖像，如圖3所示。

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圖3

可以看到，圖像在點(diǎn)O附近是連續(xù)的，而且圖像是一個(gè)完整的對(duì)象（點(diǎn)D可以“跑遍”整個(gè)圖像）。這里的關(guān)鍵是使用了幾何畫板計(jì)算器提供的符號(hào)函數(shù)和絕對(duì)值函數(shù)。

二、利用符號(hào)函數(shù)制作分段函數(shù)的圖像

數(shù)學(xué)教師經(jīng)常需要制作連續(xù)的分段函數(shù)圖像，但幾何畫板沒有提供這種功能，有的老師只好用“拼接”的辦法做出圖像，這樣做出的圖像有本文“一”中所述的不足。其實(shí)，我們?nèi)匀豢梢岳梅?hào)函數(shù)來解決這個(gè)問題。下面以作函數(shù)的圖像為例加以介紹。

函數(shù)的解析式可改寫為。這是因?yàn)椋?/span>1）若，則，從而；（2）若，則，從而；（3）若，則，從而。于是可以按如下步驟作圖：

1.在x軸上任作點(diǎn)C，度量其坐標(biāo)并分離出橫坐標(biāo)；

2.用計(jì)算器計(jì)算出的值；

3.作點(diǎn)D（，）；

4.作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)C的軌跡，即得所要圖像，如圖4所示。

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圖4

三、利用函數(shù)、構(gòu)造新函數(shù)

有時(shí)，我們需要用到一些幾何畫板并未直接提供的函數(shù)，這時(shí)就需要我們自己利用已有的函數(shù)去構(gòu)造它們。比如我們都知道，幾何畫板的計(jì)算器可以計(jì)算常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)，利用它們就可以構(gòu)造底數(shù)不為10和e的對(duì)數(shù)函數(shù)。下面介紹最大、最小值函數(shù)和[x]函數(shù)的構(gòu)造方法，這些函數(shù)在一些計(jì)算和圖像的智能自動(dòng)顯示、隱藏中大有用處。

1.最大、最小值函數(shù)

如圖5，通過調(diào)節(jié)相應(yīng)的點(diǎn)可以改變、的值。當(dāng)、值改變時(shí)，函數(shù)和的值可以利用公式和得到。