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角的平分線 —— 初中數(shù)學第四冊教案

角的平分線 —— 初中數(shù)學第四冊教案


3.9角的平分線

教學目標 

1.掌握角的平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理的內(nèi)容、證明及應用.

2.理解原命題和逆命題的概念和關系,會找一個簡單命題的逆命題.

3.滲透角平分線是滿足特定條件的點的集合的思想。

教學重點和難點

角平分線的性質(zhì)定理和逆定理的應用是重點.

性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)別和靈活運用是難點.

教學過程 設計

一、角平分錢的性質(zhì)定理與判定定理的探求與證明

1,復習引入課題.

1)提問關于直角三角形全等的判定定理.

2)讓學生用量角器畫出圖386中的∠AOB的角

平分線OC.

2.畫圖探索角平分線的性質(zhì)并證明之.

1)在圖386中,讓學生在角平分線OC上任取一

P,并分別作出表示P點到∠AOB兩邊的距離的線段

PDPE.

2)這兩個距離的大小之間有什么關系?為什么?學生度量后得出猜想,并用直角三角形全等的知識進行證明,得出定理.

3)引導學生敘述角平分線的性質(zhì)定理(定理1),分析定理的條件、結(jié)論,并根據(jù)相應圖形寫出表達式.

 

3.逆向思維探求角平分線的判定定理.

1)讓學生將定理1的條件、結(jié)論進行交換,并思考所得命題是否成立?如何證明?請一位同學敘述證明過程,得出定理2——角平分線的判定定理.

2)教師隨后強調(diào)定理1與定理2的區(qū)別:已知角平分線用性質(zhì)為定理1,由所給條件判定出角平分線是定理2.

3)教師指出:直接使用兩個定理不用再證全等,可簡化解題過程.

4.理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合.

1)角平分線上任意一點(運動顯示)到角的兩邊的距離都相等(滲透集合的純粹性).

2)在角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(運動顯示)都在這個角的平分線上(而不在其它位置,滲透集合的完備性).

由此得出結(jié)論:角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合.

二、應用舉例、變式練習

練習1填空:如圖3861∵OC平分∠AOB,點P在射線OC上,PD⊥OAD

PE⊥OBE.∴---------(角平分線的性質(zhì)定理).

2∵PD⊥OAPE⊥OB----------∴ OP平分∠AOB-------------     

1已知:如圖387a),     ABC的角平分線BDCE交于F.

l)求證:FABBC AC邊的距離相等;

2)求證:AF平分∠BAC

3)求證:三角形中三條內(nèi)角的平分線交于一點,而且這點到三角形三邊的距離相等;

4)怎樣找△ABC內(nèi)到三邊距離相等的點?

5)若將兩內(nèi)角平分線BDCE交于F”改為“△ABC的兩個外角平分線BDCE交于F,如圖3-87b),那么(1)~(3)題的結(jié)論是否會改變?怎樣找△ABC外到三邊所在直線距離相等的點?共有多少個?

說明:

1)通過此題達到鞏固角平分線的性質(zhì)定理(第(1)題)和判定定理(第(2)題)的目的.

2)此題提供了證明三線共點的一種常用方法:先確定兩條直線交于某一點,再證明這點在第三條直線上。

3)引導學生對題目的條件進行類比聯(lián)想(第(5)題),觀察結(jié)論如何變化,培養(yǎng)發(fā)散思維能力.

練習2已知△ABC,在△ABC內(nèi)求作一點P,使它到△ABC三邊的距離相等.

練習 3已知:如圖 388,在四邊形 ABCD中, ABAD AB⊥BCAD⊥DC.求證:點 C∠DAB的平分線上.

 

2已知:如圖 3 89OE平分∠AOBEC⊥OA CED⊥OB D.求證:(1OCOD;(2OE垂直平分CD.

分析:證明第(1)題時,利用等角的余角相等可得到∠OEC∠OED,再利用角平分線的性質(zhì)定理得到 OCOD.這樣處理,可避免證明兩個三角形全等.

練習4  課本第54頁的練習.

說明:訓練學生將生活語言翻譯成數(shù)學語言的能力.

三、互逆命題,互逆定理的定義及應用

1.互逆命題、互逆定理的定義.

教師引導學生分析角平分線的性質(zhì),判定定理的題設、結(jié)論,使學生看到這兩個命題的題設和結(jié)論正好相反,得出互逆命題、互逆定理的定義,并舉出學過的互逆命題、互逆定理的例子.教師強調(diào)互逆命題是兩個命題之間的關系,其中任何一個做為原命題,那么另一個就是它的逆命題.

2.會找一個命題的逆命題,并判定它是真、假命題.

3寫出下列命題的逆命題,并判斷(1)~(5)中原命題和它的逆命題是真命題還是假命題:

1)兩直線平行,同位角相等;

2)直角三角形的兩銳角互余;

3)對頂角相等;

4)全等三角形的對應角相等;

5)如果|x||y|,那么xy

6)等腰三角形的兩個底角相等;

7)直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

說明:注意逆命題語言的準確描述,例如第(6)題的逆命題不能說成是兩底角相等的三角形是等腰三角形.

3.理解互逆命題、互逆定理的有關結(jié)論.

4  判斷下列命題是否正確:

1)錯誤的命題沒有逆命題;

2)每個命題都有逆命題;

3)一個真命題的逆命題一定是正確的;

4)一個假命題的逆命題一定是錯誤的;

5)每一個定理都一定有逆定理.

通過此題使學生理解互逆命題的真假性關系及互逆定理的定義.

四、師生共同小結(jié)

1.角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的條件內(nèi)容分別是什么?

2.三角形的角平分線有什么性質(zhì)?怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點?

3.怎樣找一個命題的逆命題?原命題與逆命題是否同真、同假?

五、作業(yè) 

課本第55頁第356789題.

課堂教學設計說明

本教學設計需2課時完成.

角平分線是符合某種條件的動點的集合,因此,利用教具,投影或計算機演示動點運動的過程和規(guī)律,更能展示知識的形成過程,有利于學生自己觀察,探索新知識,從中提高興趣,以充分培養(yǎng)能力,發(fā)揮學生學習的主動性.

 

3.9角的平分線

教學目標 

1.掌握角的平分線的性質(zhì)定理和它的逆定理的內(nèi)容、證明及應用.

2.理解原命題和逆命題的概念和關系,會找一個簡單命題的逆命題.

3.滲透角平分線是滿足特定條件的點的集合的思想。

教學重點和難點

角平分線的性質(zhì)定理和逆定理的應用是重點.

性質(zhì)定理和判定定理的區(qū)別和靈活運用是難點.

教學過程 設計

一、角平分錢的性質(zhì)定理與判定定理的探求與證明

1,復習引入課題.

1)提問關于直角三角形全等的判定定理.

2)讓學生用量角器畫出圖386中的∠AOB的角

平分線OC.

2.畫圖探索角平分線的性質(zhì)并證明之.

1)在圖386中,讓學生在角平分線OC上任取一

P,并分別作出表示P點到∠AOB兩邊的距離的線段

PDPE.

2)這兩個距離的大小之間有什么關系?為什么?學生度量后得出猜想,并用直角三角形全等的知識進行證明,得出定理.

3)引導學生敘述角平分線的性質(zhì)定理(定理1),分析定理的條件、結(jié)論,并根據(jù)相應圖形寫出表達式.

 

3.逆向思維探求角平分線的判定定理.

1)讓學生將定理1的條件、結(jié)論進行交換,并思考所得命題是否成立?如何證明?請一位同學敘述證明過程,得出定理2——角平分線的判定定理.

2)教師隨后強調(diào)定理1與定理2的區(qū)別:已知角平分線用性質(zhì)為定理1,由所給條件判定出角平分線是定理2.

3)教師指出:直接使用兩個定理不用再證全等,可簡化解題過程.

4.理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合.

1)角平分線上任意一點(運動顯示)到角的兩邊的距離都相等(滲透集合的純粹性).

2)在角的內(nèi)部,到角的兩邊距離相等的點(運動顯示)都在這個角的平分線上(而不在其它位置,滲透集合的完備性).

由此得出結(jié)論:角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合.

二、應用舉例、變式練習

練習1填空:如圖3861∵OC平分∠AOB,點P在射線OC上,PD⊥OAD

PE⊥OBE.∴---------(角平分線的性質(zhì)定理).

2∵PD⊥OAPE⊥OB----------∴ OP平分∠AOB-------------     

1已知:如圖387a),     ABC的角平分線BDCE交于F.

l)求證:FABBC AC邊的距離相等;

2)求證:AF平分∠BAC

3)求證:三角形中三條內(nèi)角的平分線交于一點,而且這點到三角形三邊的距離相等;

4)怎樣找△ABC內(nèi)到三邊距離相等的點?

5)若將兩內(nèi)角平分線BDCE交于F”改為“△ABC的兩個外角平分線BDCE交于F,如圖3-87b),那么(1)~(3)題的結(jié)論是否會改變?怎樣找△ABC外到三邊所在直線距離相等的點?共有多少個?

說明:

1)通過此題達到鞏固角平分線的性質(zhì)定理(第(1)題)和判定定理(第(2)題)的目的.

2)此題提供了證明三線共點的一種常用方法:先確定兩條直線交于某一點,再證明這點在第三條直線上。

3)引導學生對題目的條件進行類比聯(lián)想(第(5)題),觀察結(jié)論如何變化,培養(yǎng)發(fā)散思維能力.

練習2已知△ABC,在△ABC內(nèi)求作一點P,使它到△ABC三邊的距離相等.

練習 3已知:如圖 388,在四邊形 ABCD中, ABAD AB⊥BCAD⊥DC.求證:點 C∠DAB的平分線上.

 

2已知:如圖 3 89OE平分∠AOBEC⊥OA CED⊥OB D.求證:(1OCOD;(2OE垂直平分CD.

分析:證明第(1)題時,利用等角的余角相等可得到∠OEC∠OED,再利用角平分線的性質(zhì)定理得到 OCOD.這樣處理,可避免證明兩個三角形全等.

練習4  課本第54頁的練習.

說明:訓練學生將生活語言翻譯成數(shù)學語言的能力.

三、互逆命題,互逆定理的定義及應用

1.互逆命題、互逆定理的定義.

教師引導學生分析角平分線的性質(zhì),判定定理的題設、結(jié)論,使學生看到這兩個命題的題設和結(jié)論正好相反,得出互逆命題、互逆定理的定義,并舉出學過的互逆命題、互逆定理的例子.教師強調(diào)互逆命題是兩個命題之間的關系,其中任何一個做為原命題,那么另一個就是它的逆命題.

2.會找一個命題的逆命題,并判定它是真、假命題.

3寫出下列命題的逆命題,并判斷(1)~(5)中原命題和它的逆命題是真命題還是假命題:

1)兩直線平行,同位角相等;

2)直角三角形的兩銳角互余;

3)對頂角相等;

4)全等三角形的對應角相等;

5)如果|x||y|,那么xy

6)等腰三角形的兩個底角相等;

7)直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

說明:注意逆命題語言的準確描述,例如第(6)題的逆命題不能說成是兩底角相等的三角形是等腰三角形.

3.理解互逆命題、互逆定理的有關結(jié)論.

4  判斷下列命題是否正確:

1)錯誤的命題沒有逆命題;

2)每個命題都有逆命題;

3)一個真命題的逆命題一定是正確的;

4)一個假命題的逆命題一定是錯誤的;

5)每一個定理都一定有逆定理.

通過此題使學生理解互逆命題的真假性關系及互逆定理的定義.

四、師生共同小結(jié)

1.角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的條件內(nèi)容分別是什么?

2.三角形的角平分線有什么性質(zhì)?怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點?

3.怎樣找一個命題的逆命題?原命題與逆命題是否同真、同假?

五、作業(yè) 

課本第55頁第356789題.

課堂教學設計說明

本教學設計需2課時完成.

角平分線是符合某種條件的動點的集合,因此,利用教具,投影或計算機演示動點運動的過程和規(guī)律,更能展示知識的形成過程,有利于學生自己觀察,探索新知識,從中提高興趣,以充分培養(yǎng)能力,發(fā)揮學生學習的主動性.

 


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