高中數學軌跡問題說課稿
大家好！今天我講的熱點問題是軌跡問題。 一、軌跡問題在教材中的地位和作用二、軌跡問題的高考命題走向三、軌跡問題的大綱要求及應試策略四、求軌跡方程的基本方法求軌跡方程的基本方法有：直接法、相關點法、定義法、參數法、交軌法、向量法等。（一）、直接法：直接法也叫直譯法，即根據題目條件，直譯為關于動點的幾何關系，再利用解析幾何有關公式（如兩點間距離公式、點到直線距離公式、夾角公式等）進行整理、化簡。這種求軌跡方程的過程不需要特殊的技巧。例1 ：已知直角坐標平面上點Q(2，0)和圓C：x2+y2=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數 ( >0)，求動點M的軌跡方程，說明它表示什么曲線。說課：這個例題用直接法解，尋找動點所滿足的條件：|MN|= |MQ|，然后再利用有關公式將條件用坐標表示出來，進而求出軌跡方程。 例1在書本上的原型是（試驗修訂本 數學第二冊（上）P100例4，P112例3）：點M（x，y）與定點F（c，0）的距離和它到定直線L：x= 的距離的比是常數 （a＞c＞0）（或c＞a＞0），求點M的軌跡。這是橢圓和雙曲線的第二定義， 經變化，即化為例1。而例1 再經變化又可得：課本原題2（試驗修訂本 數學第二冊（上）P85小結與復習例2）：求證到圓心距離為a（a＞0）的兩個相離定圓的切線長相等的點的軌跡是直線。（圖1）將這個課本例題進一步擴展，就得到：2005年高考·江蘇卷19題變式：（2005年高考·江蘇卷）如圖2，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過動點P分別作圓O1與圓O2的切線PM、PN（M、N分別為切點），使得PM= PN，試建立適當的坐標系，并求動點P的軌跡方程。 從這些變式我們可看到；數學教材始終是高考數學命題的源頭活水，高考試題有相當一部分是源于教材，即從課本的例題、習題出發，采取科學的組合、加工、擴展或賦予新的背景等形成的，充分體現了教材的基礎作用。因此，在復習過程中，用好教材是復習的關鍵，復習時對教材進行深加工，在每一堂復習課中，盡量引入一些課本典型例題、習題，從解題思路，解題方法，解題規律等方面作一些探索，并做一些變式研究，使之與高考試題接近。（二）、相關點法（代入法）說課：相關點法也稱“代入法”，如果軌跡動點P（x，y）依賴于另一動點Q（a，b），而Q又按某個規律運動，則可先用x，y表示a，b，再把a，b代入它滿足的條件便得到動點P的軌跡方程。例2：M是拋物線y2=x上一動點，O為原點，以OM為一邊作正方形MNPO，求動點P的軌跡方程。分析：動點P的位置，依賴于拋物線上的點M，故可考慮用相關點法求P的軌跡方程。相關點法在課本的習題中有較多的體現，如：1、（試驗修訂本 數學第二冊（上）P95例3）：2、（試驗修訂本 數學第二冊（上）P96，習題8.1 T6）：3、（試驗修訂本 數學第二冊（上）P119習題8.5 T6）：4、（試驗修訂本 數學第二冊（上）P133、復習參考八 T15）：等，高考題中，如變式：（2002上海高考試題）一般地：定比分點問題，對稱問題或能轉化為這兩類的軌跡問題，都可用相關點法。（三）、定義法：說課：定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求.如例題3中，點P的軌跡符合橢圓的定義，用橢圓定義直接探求又如2005年高考山東卷22題動圓圓心的軌跡符合拋物線的定義，用拋物線定義直接探求定義法的關鍵是條件的轉化——轉化成某一基本軌跡的定義條件。（四）、參數法：說課：如果動點P(x，y)的坐標之間的關系不易找到，可考慮將x，y用一個或幾個參數來表示，消去參數得軌跡方程，此法稱為參數法。例4 在平面直角坐標系xoy中，拋物線y = x2上異于坐標原點O的兩不同動點A、B，滿足 = 0，求△AOB的重心G的軌跡方程。解法一：以OA的斜率k為參數解法二：以A、B的坐標為參數，這是多參問題，消去A點坐標(x1，y1), B點坐標(x2, y2),即得到重心G的軌跡方程。思維感悟：1o、用參數法求軌跡是高考中常考的重要題型，由于選參靈活，技巧性強，也是學生較難掌握的一類問題。2o、用參數法求軌跡方程的基本步驟：建系——設標——引參——求參數方程——消參——檢驗3o、選用什么變量為參數，要看動點隨什么量的變化而變化，常見的參數有：斜率、截距、定比、角、點的坐標等。4o、要特別注意消參前后保持范圍的等價性。5o、多參問題中，根據方程的觀點，引入n個參數，需建立n+1個方程，才能消參（特殊情況下，能整體處理時，方程個數可減少）。進一步將這個題目進行變式練習，得到2005年高考江西卷第22題如圖，已知拋物線 ，動點P在直線 上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點. 求△APB的重心G的軌跡方程.由A點坐標、B點坐標、P點坐標所滿足的關系得出重心G的軌跡方程. 在高考復習中，要注意加強一題多解的教學，培養思維的廣闊性、靈活性并從中探求優化的解法，提高解題能力；同時也要注意加強一題多變的教學，深化教學內容，提高教學效率，培養發散性思維能力。 例5：如圖，已知⊙M：x2 + (y－2)2 =1，Q是x軸上的動點，QA、QB分別切⊙M于A、B兩點，求動弦AB中點P的軌跡方程。交軌法是參數法的簡單處理方法，求兩動曲線交點軌跡問題常用交軌法，即直接聯立兩動曲線方程消參數，而不必先解出動點軌跡參數方程，再消參數，值得我們重視的是在求軌跡時應注意充分利用平面幾何知識。（五）、向量法：向量法類似于直澤法，以向量為工具，將幾何量的等量關系轉化為向量運算。（95年全國高考試題）這是95年的一道全國高考題，是一道有難度的多動點軌跡問題，若不用向量求解，其求解過程曲折冗長，且運算復雜，現采用向量求解，不僅簡化運算，而且其過程變得流暢自然。以解析幾何知識為載體、以向量為工具、以考查軌跡方程曲線性質和向量有關公式及其應用為目標，是近年高考新課程卷在向量與解析幾何交匯點上設置試題的顯著特點，值得我們充分注意。五、總結以上就是我對軌跡問題的幾點看法，不足之處敬請各位同仁指教。