因式分解中轉化思想的應用 —— 初中數學第一冊教案

因式分解是初中代數的重要內容，因其分解方法較多，題型變化較大，教學有一定難度。轉化思想是數學的重要解題思想，對于靈活較大的題型進行因式分解，應用轉化思想，有章可循，易于理解掌握，能收到較好的效果。

因式分解的基本方法是：提取公因式法、應用公式法、十字相乘法。對于結構比較簡單的題型可直接應用它們來進行因式分解，學生能夠容易掌握與應用。但對于分組分解法、折項、添項法就有些把握不住，應用轉化就思想就能起到關鍵的作用。

分組分解法實質是一種手段，通過分組，每組采用三種基本方法進行因式分解，從而達到分組的目的，這就利用了轉換思想�？聪旅鎺桌�：

例1、   4a²+2ab+2ac+bc

解:原式 =（4a²+2ab）+(2ac+bc)

       =2a(2a+b)+c(2a+b)

       =(2a+b)(2a+c)

分組后，每組提出公因式后，產生新的公因式能夠繼續分解因式，從而達到分解目的。

例2、   4a²-4a-b²-2b

解:原式=(4a²-b²)-(4a+2b)

  =(2a+b)(2a-b)-2(2a+b)

  =(2a+b)(2a-b-2)

按“二、二”分組，每組應用提公因式法，或用平方差公式，從而繼續分解因式。

例3、   x²-y²+z²-2xz

解:原式=(x²-2xz+z²)-y²

       =(x-z²)-y²

       =(x+y-z)(x-y-z)

四項式按“三一”分組，使三項一組應用完全平方式，再應用平方差進行因式分解。

對于五項式一般可采用“三二”分組。三項這一組可采用提公因式法、完全平方式或十字相乘法，二項這一組可采用提公因式法或平方差公式分解，因此變化性較大。

例4、   x²-4xy+4y²-x+2y

解:原式=(x²-4xy+4y²)-(x-2y)

=(x-2y)²-(x-2y)

=(x-2y)(x-2y-1)

例5、   a²-b²+4a+2b+3

解:原式=(a²+4a+4)-(b²-2b+1)

=(a+2)²-(b-1)²

=(a+2+b-1)(a+2-b+1)

=(a+b+1)(a-b+3)

對于六項式可進行“二、二、二”分組，“三、三”分組，或“三、二、一”分組。

例6、   ax²-axy+bx²-bxy-cx²+cxy

①解:原式=(ax²-axy)+(bx²-bxy)-(cx²-cxy)

=ax(x-y)+bx(x-y)-cx(x-y)

=(x-y)(ax+bx-cx)

=x(x-y)(a+b-c)

②解:原式=(ax²+bx²-cx²)-(axy+bxy-cxy)

        =x²(a+b-c)-xy(a+b-c)

        =x(x-y)(a+b-c)

例7、   x²-2xy+y²+2x-2y+1

解:原式=(x²-2xy+y²)+(2x-2y)+1

=(x-y)²+2(x-y)+1

=(x-y+1)²

對于折項、添項法也可轉化成這三種基本的方法來進行因式分解。

例8、   x⁴+4y⁴

解:原式=(x⁴+4x²y²+4y⁴)-4x²y²

=(x²+2y²)2-4x²y²

=(x²+2xy+2y²)(x²-2xy+2y²)

例9、   x⁴-23x²+1

解:原式=x⁴+2x²+1-25x²

      =(x²+1)²-25x²

      =(x²-5x+1)(x²+5x+1)

又如x³-7x-6可用折項、添項多種方法分解因式:

⑴x³-7x-6=(x³-x)-(6x+6)

⑵x³-7x-6=(x³-4x)-(3x+6)

⑶x³-7x-6=(x³+2x²+x)-(2x²+8x+6)

⑷x³-7x-6=(x³-6x²-7x)+(6x²-6)

只有掌握好三種基本的因式分解方法，才能應用轉化思想處理靈活性較大、技巧性較強的題型。

本文有些內容超出大綱，但由于強調轉化，既鞏固知識，又開闊視野，對因式分解這一章會起到一定

因式分解是初中代數的重要內容，因其分解方法較多，題型變化較大，教學有一定難度。轉化思想是數學的重要解題思想，對于靈活較大的題型進行因式分解，應用轉化思想，有章可循，易于理解掌握，能收到較好的效果。

因式分解的基本方法是：提取公因式法、應用公式法、十字相乘法。對于結構比較簡單的題型可直接應用它們來進行因式分解，學生能夠容易掌握與應用。但對于分組分解法、折項、添項法就有些把握不住，應用轉化就思想就能起到關鍵的作用。

分組分解法實質是一種手段，通過分組，每組采用三種基本方法進行因式分解，從而達到分組的目的，這就利用了轉換思想�？聪旅鎺桌�：

例1、   4a²+2ab+2ac+bc

解:原式 =（4a²+2ab）+(2ac+bc)

       =2a(2a+b)+c(2a+b)

       =(2a+b)(2a+c)

分組后，每組提出公因式后，產生新的公因式能夠繼續分解因式，從而達到分解目的。

例2、   4a²-4a-b²-2b

解:原式=(4a²-b²)-(4a+2b)

  =(2a+b)(2a-b)-2(2a+b)

  =(2a+b)(2a-b-2)

按“二、二”分組，每組應用提公因式法，或用平方差公式，從而繼續分解因式。

例3、   x²-y²+z²-2xz

解:原式=(x²-2xz+z²)-y²

       =(x-z²)-y²

       =(x+y-z)(x-y-z)

四項式按“三一”分組，使三項一組應用完全平方式，再應用平方差進行因式分解。

對于五項式一般可采用“三二”分組。三項這一組可采用提公因式法、完全平方式或十字相乘法，二項這一組可采用提公因式法或平方差公式分解，因此變化性較大。

例4、   x²-4xy+4y²-x+2y

解:原式=(x²-4xy+4y²)-(x-2y)

=(x-2y)²-(x-2y)

=(x-2y)(x-2y-1)

例5、   a²-b²+4a+2b+3

解:原式=(a²+4a+4)-(b²-2b+1)

=(a+2)²-(b-1)²

=(a+2+b-1)(a+2-b+1)

=(a+b+1)(a-b+3)

對于六項式可進行“二、二、二”分組，“三、三”分組，或“三、二、一”分組。

例6、   ax²-axy+bx²-bxy-cx²+cxy

①解:原式=(ax²-axy)+(bx²-bxy)-(cx²-cxy)

=ax(x-y)+bx(x-y)-cx(x-y)

=(x-y)(ax+bx-cx)

=x(x-y)(a+b-c)

②解:原式=(ax²+bx²-cx²)-(axy+bxy-cxy)

        =x²(a+b-c)-xy(a+b-c)

        =x(x-y)(a+b-c)

例7、   x²-2xy+y²+2x-2y+1

解:原式=(x²-2xy+y²)+(2x-2y)+1

=(x-y)²+2(x-y)+1

=(x-y+1)²

對于折項、添項法也可轉化成這三種基本的方法來進行因式分解。

例8、   x⁴+4y⁴

解:原式=(x⁴+4x²y²+4y⁴)-4x²y²

=(x²+2y²)2-4x²y²

=(x²+2xy+2y²)(x²-2xy+2y²)

例9、   x⁴-23x²+1

解:原式=x⁴+2x²+1-25x²

      =(x²+1)²-25x²

      =(x²-5x+1)(x²+5x+1)

又如x³-7x-6可用折項、添項多種方法分解因式:

⑴x³-7x-6=(x³-x)-(6x+6)

⑵x³-7x-6=(x³-4x)-(3x+6)

⑶x³-7x-6=(x³+2x²+x)-(2x²+8x+6)

⑷x³-7x-6=(x³-6x²-7x)+(6x²-6)

只有掌握好三種基本的因式分解方法，才能應用轉化思想處理靈活性較大、技巧性較強的題型。

本文有些內容超出大綱，但由于強調轉化，既鞏固知識，又開闊視野，對因式分解這一章會起到一定