一家藥店收到運來的某種藥品十瓶。每瓶裝藥丸1000粒。藥劑師懷特先生剛把藥瓶送上架子，一封電報接踵而來。懷特先生把電報念給藥店經(jīng)理布萊克小姐聽。
懷特先生：“特急!所有藥瓶須檢查后方能出售。由于失誤，其中有一瓶藥丸每粒超重10毫克。請即退回分量有誤的那瓶藥。懷特先生很氣惱。
懷特先生：“倒霉極了，我只好從每瓶中取出一粒來秤一下。真是胡鬧。
懷特先生剛要動手，布萊克小姐攔住了他。布萊克小姐：“等一下，沒必要秤十次，只需秤一次就夠了。這怎么可能呢?
布萊克小姐的妙主意是從第一瓶中取出1粒，從第二瓶中取出2粒，第三瓶中取出3粒，以此類推，直至從第十瓶中取出10粒。把這55粒藥丸放在秤上，記下總重量。如果重5510毫克，也就是超過規(guī)格10毫克，她當即明白其中只有一粒是超重的，并且是從第一瓶中取出的。
如果總重量超過規(guī)格20毫克，則其中有2粒超重，并且是從第二瓶中取出的，以此類推進行判斷。所以布萊克小姐只要秤一次，不是嗎?
六個月后，藥店又收到此種藥品十瓶。一封加急電報又接踵而至，指出發(fā)生了一個更糟糕的錯誤。
這一次，對超重藥丸的瓶數(shù)無可奉告。懷特先生氣惱極了。懷特先生：“布萊克小姐，怎么辦?我們上次的方法不中用了。布萊克小姐沒有立即回答，她在思索這個問題。
布萊克小姐：“不錯。但如果把那個方法改變一下，我們?nèi)匀恢恍璩右淮尉湍馨逊至坑姓`的藥品識別出來。這回布萊克小姐又有什么好主意?
在第一個秤藥丸問題中，我們知道只有一瓶藥丸超重。從每瓶中取出不同數(shù)目的藥丸(最簡單的方式就是采用計數(shù)序列)，我們就可使一組數(shù)字和一組藥瓶成為一一對應(yīng)的關(guān)系。
為了解決第二個問題，我們必須用一個數(shù)字序列把每瓶藥單獨標上某個數(shù)字，且此序列中的每一個子集必須有一個單獨的和。有沒有這樣的序列?有的，最簡單的就是下列二重序列：1，2，4，8，16，。。。這些數(shù)字是2的連續(xù)次冪，這一序列為二進制記數(shù)法奠定了基礎(chǔ)。
在這個問題中，解法是把藥瓶排成一行，從第一瓶中取出1粒，從第二瓶中取出2粒，從第三瓶中取出4粒，以此類推。取出的藥丸放在秤上秤一下。假設(shè)總重量超重270毫克，由于每粒分量有誤的藥丸超重10毫克，所以我們把270除以10，得到27，即為超重藥丸的粒數(shù)。把27化成二進制數(shù)：11011。在11011中自右至左，第一，二，四，五位上的“1”表示其權(quán)值分別為1，2，8，16。因此分量有誤的藥瓶是第一，二，四，五瓶。
在由2的冪組成的集合中，每個正整數(shù)是單一的不同組合中的元素之和。鑒于這一事實，二進制記數(shù)法極為有用。在計算機科學(xué)和大量應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，二進制記數(shù)法是必不可少的。在趣味數(shù)學(xué)方面，同樣也有難以計數(shù)的應(yīng)用。
這里有一個簡單的撲克魔術(shù)，可叫你的朋友莫名其妙。這個戲法也許看上去與藥瓶問題毫無關(guān)系，但他們的依據(jù)是相同的，都是二進制原理。
請別人把一副牌洗過，然后放進你的口袋，再請人說出一個1至15以內(nèi)的數(shù)字。然后你把手插進你的口袋里，一伸手就取出一組牌，其數(shù)值相加正好等于他所說的數(shù)字。
此秘密簡單的很。在耍魔術(shù)之前，預(yù)先取出A，2，4，8各一張放入口袋。這副牌缺少區(qū)區(qū)四張，不大可能為人察覺。洗過的牌放入口袋后，暗中將其排置于原先已經(jīng)放在口袋中的四張牌的后面。請別人說出一個數(shù)字，你用心算將此數(shù)表示成2的冪的和。如果是10，那你就應(yīng)想到：8+2=10，隨即伸手入袋，取出2和8的牌示眾。
卜算卡片的依據(jù)也是二進制原理，準備六張卡片，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)。然后將一些數(shù)字填寫在卡片上，確定每張卡片上的數(shù)字集合的規(guī)則是這樣的：在一個數(shù)的二進制表示中，若右起第一位是“1”，則此數(shù)字就在卡片A上。該卡片上的數(shù)字集合自1起始，全部數(shù)字就是1至63范圍內(nèi)所有的奇數(shù);卡片B則包括1至63范圍內(nèi)的二進制記數(shù)法中右起第二位為“1”的全部數(shù)字;卡片C包括1至63范圍內(nèi)的二進制記數(shù)法中右起第三位為“1”的全部數(shù)字;卡片D，E，F(xiàn)以此類推。注意：63這個數(shù)字的二進制記數(shù)法是“111111”，每一位都是“1”，因此每張卡片上都有這個數(shù)字。