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數(shù)學(xué)手抄報(bào)資料:巧分乳酪

  喬記餐館雖說(shuō)吃食不算最好,但卻以美味乳酪而遠(yuǎn)近聞名。塊塊乳酪狀如圓盤(pán),繞有風(fēng)趣。一刀下去,就把一塊乳酪一切為二。連切兩刀,不難將其分成四塊,三刀則切成六塊。一天,女招待羅西請(qǐng)喬把乳酪切成八塊。喬:“好,羅西。很簡(jiǎn)單,我只要這樣切四刀就成了。羅西把切好的乳酪往桌子上送時(shí),忽然悟到喬只需要切三刀便可以把乳酪分成八塊。羅西想出了什么妙主意?

  羅西豁然開(kāi)朗,悟到圓柱形乳酪是一個(gè)立體圖形,可以在中線處橫截一刀將其一切為二。如果允許移動(dòng)切開(kāi)的部分,那么連切三刀也行。可以把第一次切開(kāi)的兩塊迭放在一起,切第二刀成四塊,再把四塊跌放在一起,最后一刀切成八塊。羅西的解法是如此簡(jiǎn)單,幾乎可以說(shuō)是平凡的。然而它給人以明確的啟示:對(duì)于有意義的切分問(wèn)題,可以用有限差分演算進(jìn)行研究并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。有限差分演算是發(fā)現(xiàn)數(shù)字序列普通項(xiàng)公式的有力工具。今天,數(shù)字序列日益引起人們的興趣,因?yàn)樗哂袠O其廣泛的實(shí)際應(yīng)用范圍,還因?yàn)橛?jì)算機(jī)能夠以極快的速度執(zhí)行序列的運(yùn)算。

  羅西第一次切乳酪的方法是在乳酪頂面的若干中線同時(shí)切數(shù)刀。乳酪具有如同薄餅?zāi)菢悠教沟捻斆妗W屛覀儊?lái)觀察一下,根據(jù)在一張薄餅上切數(shù)刀的過(guò)程,能夠生成一些什么數(shù)字序列。假如沿著薄餅若干中線同時(shí)切數(shù)刀,顯然,同時(shí)切n刀至多可以切出2n塊。

  若在其邊沿為一條簡(jiǎn)單閉合曲線的任意平面上同時(shí)切下n刀,這種方法所切成的塊數(shù),是否最多也是2n塊呢?否。可以隨意畫(huà)出許多既非凸面,并且形狀各異的平面,即使一刀也可切成你所希望的塊數(shù)。能否畫(huà)出一種圖形,僅切一刀便可以切出任何有限數(shù)目的全等的塊?若能辦到,這種圖形的周長(zhǎng)應(yīng)具有什么特性,才能確保只需要一刀便可以切成全等的n塊?若不同時(shí)進(jìn)行切分,薄餅的切分將更為有趣。你很快會(huì)發(fā)現(xiàn):僅當(dāng)n〉=3時(shí),切n刀方可切成不止2n塊。

  這里,我們并不考慮所切成的塊是否全等或面積相同。當(dāng)n=1,2,3,4。。。時(shí),可以切成的最多塊數(shù)分別是2,4,7,11。這一大家所熟悉的序列是根據(jù)下列公式求得的:

  1+n(n+1)/2

  其中,n是所切的刀數(shù)。此序列的前10項(xiàng)(n自0開(kāi)始)是1,2,4,7,11,16,22,29,37,46。。。

  請(qǐng)注意,第一行差分是1,2,3,4,5,6,7,8,9。。。第二行差分是1,1,1,1,1,1,1,1,1,。。。

  這強(qiáng)烈地暗示著此序列的普通項(xiàng)是一個(gè)二次項(xiàng)。

  為什么說(shuō)“強(qiáng)烈暗示”呢?因?yàn)殡m然可以用有限差分演算找到一個(gè)公式,但是并不能保證該公式對(duì)于無(wú)限序列也成立。這一點(diǎn)尚需證明。在薄餅公式這一例子中,不難通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法做出一個(gè)簡(jiǎn)單的證明。

  從這點(diǎn)出發(fā),你可以發(fā)現(xiàn)大量的引人入勝的研究方向,其中有許多將導(dǎo)致非同尋常的數(shù)字序列,公式以及數(shù)學(xué)歸納法證明。這里有一些問(wèn)題可供你作為初步嘗試。采用下列各種方法,最多可以切成幾塊?

  1。在馬蹄形的薄餅上切n刀。

  2。在球形或羅西所切的那種圓柱形乳酪上切n刀。

  3。用切小圓甜餅的刀在薄餅上切n刀。

  4。在狀如燭環(huán)狀(即中心有一個(gè)圓孔)的薄餅上切n刀。

  5。在油炸圈(圓環(huán))上切n刀。

  關(guān)于以上這些問(wèn)題,假設(shè)切分是同時(shí)進(jìn)行的,若改成連切方式,并且允許重新安排切開(kāi)的部分,其答案如何變化?

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