一位來自阿肯色州的年輕太太格羅麗亞，正在加利福尼亞州旅行.她想在旅館租用一個(gè)房間，租期一周.辦事員此時(shí)正心緒不佳。辦事員："房費(fèi)每天20元，要付現(xiàn)錢.格羅麗亞："很抱歉，先生，我沒帶現(xiàn)錢.但是我有一根金鏈，共7節(jié)，每節(jié)都值20元以上.辦事員："好吧，把金鏈給我."格羅麗亞："現(xiàn)在不能給你.我得請(qǐng)珠寶匠把金鏈割斷，每天給你一節(jié)，等到周末我有了現(xiàn)錢再把金鏈贖回.辦事員終于同意了，但格羅麗亞必須決定如何斷開金鏈的方法.格羅麗亞："我該三思而行，因?yàn)橹閷毥呈前凑账懈詈鸵院笾匦逻B接的節(jié)數(shù)來索價(jià)的.格羅麗亞想了一下，悟到她不必把每一節(jié)都割斷，因?yàn)樗梢园岩欢味谓疰湏Q進(jìn)換出，以這種方式來付房費(fèi).當(dāng)她算出需要請(qǐng)珠寶匠割斷的節(jié)數(shù)時(shí)，她幾乎不能自信。你想一想需要割開多少節(jié)?
只需要割開一節(jié)。這一節(jié)應(yīng)是從一端數(shù)起的第三節(jié).把金鏈斷開成1節(jié)，2節(jié)，4節(jié)這樣三段后就能以換進(jìn)換出的方式每天付給辦事員一節(jié)作為房費(fèi)。
啊哈!領(lǐng)悟到下列兩點(diǎn)才能解題.第一，至少需要有1節(jié)，2節(jié)，4節(jié)這樣三段(即其節(jié)數(shù)成二重級(jí)數(shù)的一些段)，這樣才能以各種不同的組合方式組成1節(jié)，2節(jié)，3節(jié)，4節(jié)，5節(jié)，6節(jié)和7節(jié).我們?cè)谒幤坊靵y問題中已經(jīng)知道，這就是作為二進(jìn)制記數(shù)法基礎(chǔ)的冪級(jí)數(shù).
第二，只需要割開一節(jié)就可以把金鏈分成符合要求的三段.關(guān)于這個(gè)問題，若把金鏈的長(zhǎng)度增加，則可以想出一些新的問題.例如，假設(shè)格羅麗亞有一根63節(jié)的金鏈，她想把金鏈割開，以上面那種方式來付63天的房費(fèi)(價(jià)格不變).要達(dá)到此種目的只需要割開三節(jié).你想出來了嗎?你能否根據(jù)金鏈的不同長(zhǎng)度設(shè)計(jì)一個(gè)通用的解題程序，要求分割開的節(jié)數(shù)為最少?
有一個(gè)有趣的變相問題：若所經(jīng)手的n節(jié)首尾相連的閉合回路，例如說格羅麗亞有一串金項(xiàng)鏈，由79節(jié)相連而成，若每天房費(fèi)為一節(jié)，試問最少需要分割開幾節(jié)才能支付79天房費(fèi)?
所有這些問題都跟二進(jìn)制記數(shù)法有密切的關(guān)系.比如格羅麗亞的63節(jié)金項(xiàng)鏈如何分割?只要將63化成二進(jìn)制表示：等于"111111"即63=1+2+4+8+16+32只要將從第二節(jié)開始的兩節(jié)割開，再將從第八節(jié)開始的八節(jié)割下來，和從第32節(jié)開始的32節(jié)割下來即可，這樣就有了從1，2，3，4，5，6，直到63的所有節(jié)數(shù).一般地，若有n節(jié)金鏈，n是形如2k-1類型的數(shù)，將n化成二進(jìn)制表示，再將所有"1"的位置所代表的2的冪的數(shù)相間隔地割開即可達(dá)到目的.但是對(duì)于其他任意類型的數(shù)，卻不能奏效，比如對(duì)于格羅麗亞的79節(jié)金項(xiàng)鏈，79的二進(jìn)制記數(shù)法表示為"1001111".即79=1+2+4+8+0+0+64，這樣從1到15都能表示，可是從16到63都沒法表示，我把這個(gè)問題做到這里，也一時(shí)糊涂起來，但這個(gè)問題畢竟不是很復(fù)雜，咱們也學(xué)一學(xué)閔科夫斯基在課堂上口出狂言要解決四色問題的勁頭，摸索著來解決一把.咱們可以這樣：你不是要求節(jié)數(shù)最少嗎?假設(shè)n=a+b其中a是已經(jīng)找到的最大的那一節(jié)數(shù)，b是比n小的已經(jīng)解決了的金鏈問題，由于b已經(jīng)解決，因此b的拆分能夠表示從1，2，3，...b-1，b的所有金鏈節(jié)數(shù)，而再大一些的數(shù)就不能夠表示了，比如b+1，所以必須要a參加進(jìn)來，如果n是奇數(shù)，可令a=b+1，這樣n=2b+1，所以b=(n-1)/2，a=(n+1)/2，這樣就找到了最大的一節(jié)的節(jié)數(shù)a，然后對(duì)b=(n-1)/2繼續(xù)應(yīng)用如上的辦法，即可解決問題.如果n是偶數(shù)，可令a=b，這樣雖然a本身不能表示出b+1，但是可以從b的拆分中拿出一個(gè)1來(這個(gè)1是必須存在的，因?yàn)橐硎緩?，2，3，...b-1，b的所有數(shù))與a組成a+1也就是b+1.所以n=a+b=2a=2b，a=b=n/2.這樣也找到了n為偶數(shù)時(shí)最大的一節(jié)金鏈的節(jié)數(shù).對(duì)于b繼續(xù)如上的過程，就可以找到全部應(yīng)該斷開的金鏈節(jié)數(shù)，我算出了從1到15的所有拆分如下：
1=1
2=1+1
3=1+2
4=1+1+2
5=1+1+3
6=1+2+3
7=1+2+4