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正方形 —— 初中數學第四冊教案

正方形 —— 初中數學第四冊教案


課題: §4.6  正方形(一)

教學目的: 使學生掌握正方形的定義、性質和判定,會用正方形的概念和性質進行有關的論證和計算,理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的內在聯系和區別,進一步加深對“特殊與一般的認識”

教學重點: 正方形的定義.

教學難點 : 正方形與矩形、菱形間的關系.

教學方法:雙邊合作  如:在教學時可播放轉換動畫使學生獲得生動、形象的可視思維過程,從而掌握判定一個四邊形是正方形的方法.為了活躍學生的思維,可以得出下列問題讓學生思考:

1)對角線相等的菱形是正方形嗎?為什么?

2)對角線互相垂直的矩形是正方形嗎?為什么?

3)對角線垂直且相等的四邊形是正方形嗎?為什么?如果不是,應該加上什么條件?

4)能說“四條邊都相等的四邊形是正方形”嗎?為什么?

5)說“四個角相等的四邊形是正方形”,對嗎?

教學過程 :

讓學生將事先準備好的矩形紙片,按要求對折一下,裁出正方形紙片.

問:所得的圖形是矩形嗎?它與一般的矩形有什么不同?

    所得的圖形是菱形嗎?它與一般的菱形有什么不同?

    所得的圖形在小學里學習時稱它為什么圖形?它有什么特點?

由此得出正方形的定義:有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

(一)新課

由正方形的定義可以得知:正方形是有一組鄰邊相等的矩形,又是有一個角是直角的菱形,因此正方形具有矩形的性質,同時又具有菱形的性質.

請同學們推斷出正方形具有哪些性質?

性質1、(1)正方形的四個角都是直角。

(2)正方形的四條邊相等。

性質2、(1)正方形的兩條對角線相等。

(2)正方形的兩條對角線互相垂直平分。

(3)正方形的每條對角線平分一組對角。

1  求證:正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

已知:四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的

等腰直角三角形.

證明:∵四邊形ABCD是正方形,

AC=BD,AC⊥BD,AO=CO=BO=DO

(正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分).

    ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.

問:如何判定一個四邊形是正方形呢?

正方形的判定方法:

1.先判定四邊形是矩形,再判定這個矩形是菱形;

2.先判定四邊形是菱形,再判定這個菱形是矩形.

例2             已知:如圖,點A′、B′、C′、D′分

別是正方形ABCD四條邊上的點,并且AA′=BB′=CC′=DD′.

求證:四邊形A′B′C′D′是正方形.

分析:根據正方形的四條邊相等,四個角都是直角及已知條件,可以得到四個全等的直角三角形,它們的斜邊都相等,從而判定四邊形A′B′C′D′是菱形,再利用直角三角形兩銳角互余證明菱形是矩形.

證明:(略)

(二)練習

1.已知正方形的邊長為2cm,求這個正方形的周長、對角線長和正方形的面積.

2.正方形的對角線和它的邊所成的角是多少度?為什么?

3.如果一個菱形的兩條對角線相等,那么它一定是正方形,為什么?

4.如果一個矩形的兩條對角線互相垂直,那么它一定是正方形,為什么?

  小結

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形而且正方形還是特殊的矩形、特殊的菱形,它們的包含關系如圖:

 

 

 

 

 

  作業 

1.已知正方形的一條對角線長4cm,求它的邊長和面積.

2.兩條對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.

3.求證:正方形對邊中點的連線將正方形分成四個小正方形.

4.求證:矩形的各內角平分線組成的四邊形是正方形.

課題: §4.6  正方形(一)

教學目的: 使學生掌握正方形的定義、性質和判定,會用正方形的概念和性質進行有關的論證和計算,理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的內在聯系和區別,進一步加深對“特殊與一般的認識”

教學重點: 正方形的定義.

教學難點 : 正方形與矩形、菱形間的關系.

教學方法:雙邊合作  如:在教學時可播放轉換動畫使學生獲得生動、形象的可視思維過程,從而掌握判定一個四邊形是正方形的方法.為了活躍學生的思維,可以得出下列問題讓學生思考:

1)對角線相等的菱形是正方形嗎?為什么?

2)對角線互相垂直的矩形是正方形嗎?為什么?

3)對角線垂直且相等的四邊形是正方形嗎?為什么?如果不是,應該加上什么條件?

4)能說“四條邊都相等的四邊形是正方形”嗎?為什么?

5)說“四個角相等的四邊形是正方形”,對嗎?

教學過程 :

讓學生將事先準備好的矩形紙片,按要求對折一下,裁出正方形紙片.

問:所得的圖形是矩形嗎?它與一般的矩形有什么不同?

    所得的圖形是菱形嗎?它與一般的菱形有什么不同?

    所得的圖形在小學里學習時稱它為什么圖形?它有什么特點?

由此得出正方形的定義:有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

(一)新課

由正方形的定義可以得知:正方形是有一組鄰邊相等的矩形,又是有一個角是直角的菱形,因此正方形具有矩形的性質,同時又具有菱形的性質.

請同學們推斷出正方形具有哪些性質?

性質1、(1)正方形的四個角都是直角。

(2)正方形的四條邊相等。

性質2、(1)正方形的兩條對角線相等。

(2)正方形的兩條對角線互相垂直平分。

(3)正方形的每條對角線平分一組對角。

1  求證:正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

已知:四邊形ABCD是正方形,對角線AC、BD相交于點O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的

等腰直角三角形.

證明:∵四邊形ABCD是正方形,

AC=BD,AC⊥BD,AO=CO=BO=DO

(正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分).

    ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.

問:如何判定一個四邊形是正方形呢?

正方形的判定方法:

1.先判定四邊形是矩形,再判定這個矩形是菱形;

2.先判定四邊形是菱形,再判定這個菱形是矩形.

例2             已知:如圖,點A′、B′、C′、D′分

別是正方形ABCD四條邊上的點,并且AA′=BB′=CC′=DD′.

求證:四邊形A′B′C′D′是正方形.

分析:根據正方形的四條邊相等,四個角都是直角及已知條件,可以得到四個全等的直角三角形,它們的斜邊都相等,從而判定四邊形A′B′C′D′是菱形,再利用直角三角形兩銳角互余證明菱形是矩形.

證明:(略)

(二)練習

1.已知正方形的邊長為2cm,求這個正方形的周長、對角線長和正方形的面積.

2.正方形的對角線和它的邊所成的角是多少度?為什么?

3.如果一個菱形的兩條對角線相等,那么它一定是正方形,為什么?

4.如果一個矩形的兩條對角線互相垂直,那么它一定是正方形,為什么?

  小結

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形而且正方形還是特殊的矩形、特殊的菱形,它們的包含關系如圖:

 

 

 

 

 

  作業 

1.已知正方形的一條對角線長4cm,求它的邊長和面積.

2.兩條對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.

3.求證:正方形對邊中點的連線將正方形分成四個小正方形.

4.求證:矩形的各內角平分線組成的四邊形是正方形.


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