線性規(guī)劃(通用16篇)
線性規(guī)劃 篇1
【考試要求】
1.了解二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域;了解與線性規(guī)劃相關(guān)的基本概念
2. 了解線性規(guī)劃問題的圖象法,并能用線性規(guī)劃的方法解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。
【教學(xué)重點(diǎn)】
1. 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域;
2.應(yīng)用線性規(guī)劃的方法解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。
【教學(xué)難點(diǎn)】
線性規(guī)劃在實(shí)際問題的應(yīng)用
【高考展望】
1. 線性規(guī)劃是教材的新增內(nèi)容,高考中對(duì)這方面的知識(shí)涉及的還比較少,但今后將會(huì)成為新高考的熱點(diǎn)之一;
2. 在高考中一般不會(huì)單獨(dú)出現(xiàn),往往都是隱含在其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的問題之中,就是說常結(jié)合其他數(shù)學(xué)內(nèi)容考查,往往都是容易題
【知識(shí)整合】
1. 二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域:一般地,二元一次不等式 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線 某一側(cè)所有點(diǎn)組成的__________。我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域_________邊界直線。當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫不等式 所表示的平面區(qū)域時(shí),此區(qū)域應(yīng)___________邊界直線,則把邊界直線畫成____________.
2. 由于對(duì)在直線 同一側(cè)的所有點(diǎn),把它的坐標(biāo) 代入 ,所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都__________,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn) ,從 的_________即可判斷 >0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域
3. 二元一次不等式組是一組對(duì)變量x,y的__________,這組約束條件都是關(guān)于x,y的一次不等式,所以又稱為_____________;
4. (a,b是實(shí)常數(shù))是欲達(dá)到最大值或_________所涉及的變量x,y的解析式,叫做______________。由于 又是x,y的一次解析式,所以又叫做_________;
5. 求線性目標(biāo)函數(shù)在_______下的最大值或____________的問題,統(tǒng)稱為_________問題。滿足線性約束條件的解 叫做_________,由所有可行解組成的集合叫做_________。分別使目標(biāo)函數(shù) 取得____________和最小值的可行解叫做這個(gè)問題的___________.
【典型例題】
例1.(課本題)畫出下列不等式(組)表示的平面區(qū)域,
1) 2) 3)
4) 5) 6)
例2.
1)畫出 表示的區(qū)域,并求所有的正整數(shù)解
2)畫出以a(3,-1)、b(-1,1)、c(1,3)為頂點(diǎn)的 的區(qū)域(包括各邊),寫出該區(qū)域所表示的二元一次不等式組,并求以該區(qū)域?yàn)榭尚杏虻哪繕?biāo)函數(shù) 的最大值和最小值。
例3.1)已知 ,求 的取值范圍
2)已知函數(shù) ,滿足 求 的取值范圍
例4(04蘇 19)制定投資計(jì)劃時(shí),不僅要考慮可能獲得的盈利,而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損。某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目,根據(jù)預(yù)測(cè),甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%,可能的最大虧損率為30%和10%,投資人計(jì)劃投資金額不超過10萬(wàn)元,要求確保可能的資金虧損不超過1.8萬(wàn)元,問投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資打算多少萬(wàn)元,才能使可能的盈利最大?
例5.某人承攬一項(xiàng)業(yè)務(wù),需做文字標(biāo)牌4個(gè),繪畫標(biāo)牌6個(gè),現(xiàn)有兩種規(guī)格原料,甲種規(guī)格每張3m ,可做文字標(biāo)牌1個(gè),繪畫標(biāo)牌2個(gè);乙種規(guī)格每張2 m ,可做文字標(biāo)牌2個(gè),繪畫標(biāo)牌1個(gè),求兩種規(guī)格的原料各用多少?gòu)垼拍苁箍偟挠昧厦娣e最小?
例6.某人上午時(shí)乘摩托艇以勻速v海里/小時(shí) 從a港出發(fā)到相距50海里的b港駛?cè)ィ缓蟪似囈詣蛩賥千米/小時(shí) 自b港向相距300km的c市駛?cè)ィ瑧?yīng)該在同一天下午4點(diǎn)到9點(diǎn)到達(dá)c市。設(shè)汽車、摩托艇所需時(shí)間分別為 小時(shí),如果已知所要經(jīng)費(fèi)p= (元),那么v、w分別是多少時(shí)走得最經(jīng)濟(jì)?此時(shí)需花費(fèi)多少元?
鞏固練習(xí)
1.將目標(biāo)函數(shù) 看作直線方程,z為參數(shù)時(shí),z的意義是( )
a.該直線的縱截距 b。該直線縱截距的3倍
c.該直線的橫截距的相反數(shù) d。該直線縱截距的
2。變量 滿足條件 則使 的值最小的 是( )
a.( b。(3,6) c。(9,2) d。(6,4)
3。設(shè) 式中變量 和 滿足條件 則 的最小值為 ( )
a.1 b。-1 c。3 d。-3
4。(05浙7)設(shè)集合a={ 是三角形的三邊長(zhǎng)},則a所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是( )
5。在坐標(biāo)平面上,不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積為( )
a。 b。 c。 d。2
6.(06全國(guó)ⅰ14)設(shè) ,式中變量 和 滿足下列條件 則 的最大值為__________________;
7.(06京13)已知點(diǎn)p( 的坐標(biāo)滿足條件 點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn),那么 的 最小值為_________,最大值等于__________________;
8.(06湘12) 已知 則 的最小值是____________________.
線性規(guī)劃 篇2
教學(xué)目標(biāo)
(1)使學(xué)生了解并會(huì)用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域;
(2)了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(3)了解線性規(guī)化問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;
(4)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問題的能力;
(5)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí),激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新.
教學(xué)建議
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
教科書首先通過一個(gè)具體問題,介紹了二元一次不等式表示平面區(qū)域.再通過一個(gè)具體實(shí)例,介紹了線性規(guī)化問題及有關(guān)的幾個(gè)基本概念及一種基本解法-圖解法,并利用幾道例題說明線性規(guī)化在實(shí)際中的應(yīng)用.
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
本小節(jié)的重點(diǎn)是二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域.
對(duì)學(xué)生來說,二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域是一個(gè)比較陌生、抽象的概念,按高二學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)和認(rèn)知水平難以透徹理解,因此學(xué)習(xí)二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域分為兩個(gè)大的層次:
(1)二元一次不等式表示平面區(qū)域.首先通過建立新舊知識(shí)的聯(lián)系,自然地給出概念.明確二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包含邊界直線(畫成虛線).其次再擴(kuò)大到所表示的平面區(qū)域是包含邊界直線且要把邊界直線畫成實(shí)線.
(2)二元一次不等式組表示平面區(qū)域.在理解二元一次不等式表示平面區(qū)域含義的基礎(chǔ)上,畫不等式組所表示的平面區(qū)域,找出各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.這是學(xué)生對(duì)代數(shù)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為幾何問題以及數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問題的基礎(chǔ).
難點(diǎn)是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答.
對(duì)許多學(xué)生來說,從抽象到的化歸并不比從具體到抽象遇到的問題少,學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見困難是不會(huì)將實(shí)際問題提煉成數(shù)學(xué)問題,即不會(huì)建模.所以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點(diǎn),并緊緊圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件,找出約束條件和目標(biāo)函數(shù),然后利用圖解法求出最優(yōu)解作為突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵.
對(duì)學(xué)生而言解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類:①不能正確理解題意,弄清各元素之間的關(guān)系;②不能分清問題的主次關(guān)系,因而抓不住問題的本質(zhì),無(wú)法建立數(shù)學(xué)模型;③孤立地考慮單個(gè)的問題情景,不能多方聯(lián)想,形成正遷移.針對(duì)這些障礙以及題目本身文字過長(zhǎng)等因素,將本課設(shè)計(jì)為計(jì)算機(jī)輔助教學(xué),從而將實(shí)際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前,以利于理解;分析完題后,能夠抓住問題的本質(zhì)特征,從而將實(shí)際問題抽象概括為線性規(guī)劃問題.另外,利用計(jì)算機(jī)可以較快地幫助學(xué)生掌握尋找整點(diǎn)最優(yōu)解的方法.
三、教法建議
(1)對(duì)學(xué)生來說,二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域是一個(gè)比較陌生的概念,不象二元一次方程表示直線那樣已早有所知,為使學(xué)生對(duì)這一概念的引進(jìn)不感到突然,應(yīng)建立新舊知識(shí)的聯(lián)系,以便自然地給出概念
(2)建議將本節(jié)新課講授分為五步(思考、嘗試、猜想、證明、歸納)來進(jìn)行,目的是為了分散難點(diǎn),層層遞進(jìn),突出重點(diǎn),只要學(xué)生對(duì)舊知識(shí)掌握較好,完全有可能由學(xué)生主動(dòng)去探求新知,得出結(jié)論.
(3)要舉幾個(gè)典型例題,特別是似是而非的例子,對(duì)理解二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的含義是十分必要的.
(4)建議通過本節(jié)教學(xué)著重培養(yǎng)學(xué)生掌握“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想,盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”,但同時(shí)也用“形”去研究“數(shù)”,這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測(cè)、歸納等數(shù)學(xué)能力是大有益處的.
(5)對(duì)作業(yè) 、思考題、研究性題的建議:①作業(yè) 主要訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范的解題步驟和作圖能力;②思考題主要供學(xué)有余力的學(xué)生課后完成;③研究性題綜合性較大,主要用于拓寬學(xué)生的思維.
(6)若實(shí)際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解,而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解(近似解),應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù),在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點(diǎn),不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找.
如果可行域中的整點(diǎn)數(shù)目很少,采用逐個(gè)試驗(yàn)法也可.
(7)在線性規(guī)劃的實(shí)際問題中,主要掌握兩種類型:一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源,問怎樣運(yùn)用這些資源能使完成的任務(wù)量最大,收到的效益最大;二是給定一項(xiàng)任務(wù)問怎樣統(tǒng)籌安排,能使完成的這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最小.
線性規(guī)劃教學(xué)設(shè)計(jì)方案(一)
教學(xué)目標(biāo)
使學(xué)生了解并會(huì)作二元一次不等式和不等式組表示的區(qū)域.
重點(diǎn)難點(diǎn)
了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.
教學(xué)過程
【引入新課】
我們知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直線上的點(diǎn)集,那么在平面坐標(biāo)系中,二元一次不等式的解集的意義是什么呢?
【二元一次不等式表示的平面區(qū)域】
1.先分析一個(gè)具體的例子
我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,以二元一次方程 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合 是經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和(1,0)的一條直線l(如圖)那么,以二元一次不等式(即含有兩個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)都是1的不等式) 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合 是什么圖形呢?
在平面直角坐標(biāo)系中,所有點(diǎn)被直線l分三類:①在l上;②在l的右上方的平面區(qū)域;③在l的左下方的平面區(qū)域(如圖)取集合A的點(diǎn)(1,1)、(1,2)、(2,2)等,我們發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)都在l的右上方的平面區(qū)域,而點(diǎn)(0,0)、(-1,-1)等等不屬于A,它們滿足不等式 ,這些點(diǎn)卻在l的左下方的平面區(qū)域.
由此我們猜想,對(duì)直線l右上方的任意點(diǎn) 成立;對(duì)直線l左下方的任意點(diǎn) 成立,下面我們證明這個(gè)事實(shí).
在直線 上任取一點(diǎn) ,過點(diǎn)P作垂直于y軸的直線 ,在此直線上點(diǎn)P右側(cè)的任意一點(diǎn) ,都有 ∴
于是
所以
因?yàn)辄c(diǎn) ,是L上的任意點(diǎn),所以,對(duì)于直線 右上方的任意點(diǎn) ,
都成立
同理,對(duì)于直線 左下方的任意點(diǎn) ,
都成立
所以,在平面直角坐標(biāo)系中,以二元一次不等式 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集點(diǎn).
是直線 右上方的平面區(qū)域(如圖)
類似地,在平面直角坐標(biāo)系中,以二元一次不等式 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合 是直線 左下方的平面區(qū)域.
2.二元一次不等式 和 表示平面域.
(1)結(jié)論:二元一次不等式 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線 某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.
把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線,若畫不等式 就表示的面區(qū)域時(shí),此區(qū)域包括邊界直線,則把邊界直線畫成實(shí)線.
(2)判斷方法:由于對(duì)在直線 同一側(cè)的所有點(diǎn) ,把它的坐標(biāo) 代入 ,所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同,故只需在這條直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn) ,以 的正負(fù)情況便可判斷 表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域,特殊地,當(dāng) 時(shí),常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn).
【應(yīng)用舉例】
例1 畫出不等式 表示的平面區(qū)域
解;先畫直線 (畫線虛線)取原點(diǎn)(0,0),代入 ,
∴ ∴ 原點(diǎn)在不等式 表示的平面區(qū)域內(nèi),不等式 表示的平面區(qū)域如圖陰影部分.
例2 畫出不等式組
表示的平面區(qū)域
分析:在不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集,因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.
解:不等式 表示直線 上及右上方的平面區(qū)域, 表示直線 上及右上方的平面區(qū)域, 上及左上方的平面區(qū)域,所以原不等式表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分.
課堂練習(xí)
作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域.
(1) (2) (3)
(4) (5)
總結(jié)提煉
1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域.
2.二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法.
3.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域.
布置作業(yè)
1.不等式 表示的區(qū)域在 的( ).
A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方
2.不等式 表示的平面區(qū)域是( ).
3.不等式組 表示的平面區(qū)域是( ).
4.直線 右上方的平面區(qū)域可用不等式 表示.
5.不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)是 .
6.畫出 表示的區(qū)域.
答案:
1.B 2.D 3.B 4. 5.(-1,-1)
6.
線性規(guī)劃 篇3
關(guān)于簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題一課的教學(xué)反思
澄邁中學(xué) 高一數(shù)學(xué)
一 教學(xué)內(nèi)容分析:
本節(jié)內(nèi)容在教材中有著重要的地位與作用,線性規(guī)劃是利用數(shù)學(xué)為工具來研究一定的人、財(cái)、物、時(shí)、空等資源在一定的條件下,如何精打細(xì)算巧安排,用最少的資源,取得的經(jīng)濟(jì)效益,這一部分內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的工具性、應(yīng)用性,同時(shí)滲透了化歸,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思維和解決實(shí)際問題的一種重要的解題方法——數(shù)學(xué)建模法。
二 學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析:
把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并結(jié)合出解答是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn),對(duì)許多學(xué)生來說,解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見的困難是不會(huì)持實(shí)際問題轉(zhuǎn)化或數(shù)學(xué)問題,即不會(huì)建模,對(duì)學(xué)生而言,解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類:①不能正確理解題意思,弄清各元素之間的關(guān)系;②不能弄清問題的主次關(guān)系,因而抓不住問題的本質(zhì),無(wú)法建立數(shù)學(xué)模型;③孤立考慮單個(gè)問題情境,不能多聯(lián)想。
三 設(shè)計(jì)思想:
注意學(xué)生的探究過程,讓學(xué)生體驗(yàn)探究問題的成就感,一切以學(xué)生的探究活動(dòng)為主,以問題是驅(qū)動(dòng),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)樂趣。
四 教學(xué)目標(biāo):
1、使學(xué)生了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行域、可行解、解等基本概念;了解線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。
2、通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力等。滲透集合,化歸,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提問“建模”和解決實(shí)際問題的能力。
五 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn):
教學(xué)重點(diǎn):求線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題,培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí),即線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用。
教學(xué)難點(diǎn):把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并結(jié)合出解答。
六 教學(xué)過程:
(一)問題引入
某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一會(huì)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)1個(gè)小時(shí),每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2小時(shí),該廠每天最多可以配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件,按每天工作8小時(shí)計(jì)算,該廠所有可能的月生產(chǎn)安排是什么?由學(xué)生列出不等關(guān)系,并畫出平面區(qū)域,由此引入新課。
(二)問題深入,推進(jìn)新課
①引領(lǐng)學(xué)生自主探索引入問題中的實(shí)際問題,怎樣安排才有意義?
②若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬(wàn)元,生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬(wàn)元,采用哪種生產(chǎn)安排利潤(rùn)?
設(shè)計(jì)意圖:
由實(shí)際問題出發(fā)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,在探究過程中,看似簡(jiǎn)單的問題,學(xué)生容易抓不住問題的主干,需要適時(shí)的引導(dǎo)。
(三)揭示本質(zhì) 深化認(rèn)識(shí)
提出問題:
① 上述探索的問題中,Z的幾何意義是什么?結(jié)合圖形說明
②結(jié)合以上探究,理解什么是目標(biāo)函數(shù)?線性目標(biāo)函數(shù)?什么是線性規(guī)劃?弄清什么是可行域解?可行域?解?
③你能根據(jù)以上探究總結(jié)出解決線性規(guī)劃問題的一般步驟嗎?
(四)應(yīng)用示例
線性規(guī)劃 篇4
線性規(guī)劃教學(xué)設(shè)計(jì)方案(二)
教學(xué)目標(biāo)
鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,能用此來求目標(biāo)函數(shù)的最值.
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn).
如何擾實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答是教學(xué)難點(diǎn).
教學(xué)步驟
【新課引入】
我們知道,二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區(qū)域,在這里開始,教學(xué)又翻開了新的一頁(yè),在今后的學(xué)習(xí)中,我們可以逐步看到它的運(yùn)用.
【線性規(guī)劃】
先討論下面的問題
設(shè) ,式中變量x、y滿足下列條件
①
求z的最大值和最小值.
我們先畫出不等式組①表示的平面區(qū)域,如圖中 內(nèi)部且包括邊界.點(diǎn)(0,0)不在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi),當(dāng) 時(shí), ,點(diǎn)(0,0)在直線 上.
作一組和 平等的直線
可知,當(dāng)l在 的右上方時(shí),直線l上的點(diǎn) 滿足 .
即 ,而且l往右平移時(shí),t隨之增大,在經(jīng)過不等式組①表示的三角形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線中,以經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)的直線l,所對(duì)應(yīng)的t最大,以經(jīng)過點(diǎn) 的直線 ,所對(duì)應(yīng)的t最小,所以
在上述問題中,不等式組①是一組對(duì)變量x、y的約束條件,這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式,所以又稱線性約束條件.
是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式,叫做目標(biāo)函數(shù),由于 又是x、y的解析式,所以又叫線性目標(biāo)函數(shù),上述問題就是求線性目標(biāo)函數(shù) 在線性約束條件①下的最大值和最小值問題.
線性約束條件除了用一次不等式表示外,有時(shí)也有一次方程表示.
一般地,求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題,滿足線性約束條件的解 叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域,在上述問題中,可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域,其中可行解(5,2)和(1,1)分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值,它們都叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解.
【應(yīng)用舉例】
例1 解下列線性規(guī)劃問題:求 的最大值和最小值,使式中的x、y滿足約束條件
解:先作出可行域,見圖中 表示的區(qū)域,且求得 .
作出直線 ,再將直線 平移,當(dāng) 的平行線 過B點(diǎn)時(shí),可使 達(dá)到最小值,當(dāng) 的平行線 過C點(diǎn)時(shí),可使 達(dá)到最大值.
通過這個(gè)例子講清楚線性規(guī)劃的步驟,即:
第一步:在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域;
第二步:在可行域內(nèi)找出最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn);
第三步:解方程的最優(yōu)解,從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.
例2 解線性規(guī)劃問題:求 的最大值,使式中的x、y滿足約束條件.
解:作出可行域,見圖,五邊形OABCD表示的平面區(qū)域.
作出直線 將它平移至點(diǎn)B,顯然,點(diǎn)B的坐標(biāo)是可行域中的最優(yōu)解,它使 達(dá)到最大值,解方程組 得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9,2).
∴
這個(gè)例題可在教師的指導(dǎo)下,由學(xué)生解出.在此例中,若目標(biāo)函數(shù)設(shè)為 ,約束條件不變,則z的最大值在點(diǎn)C(3,6)處取得.事實(shí)上,可行域內(nèi)最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在何處,與目標(biāo)函數(shù) 所確定的直線 的斜率 有關(guān).就這個(gè)例子而言,當(dāng) 的斜率為負(fù)數(shù)時(shí),即 時(shí),若 (直線 的斜率)時(shí),線段BC上所有點(diǎn)都是使z取得最大值(如本例);當(dāng) 時(shí),點(diǎn)C處使z取得最大值(比如: 時(shí)),若 ,可請(qǐng)同學(xué)思考.
隨堂練習(xí)
1.求 的最小值,使式中的 滿足約束條件
2.求 的最大值,使式中 滿足約束條件
答案:1. 時(shí), .
2. 時(shí), .
總結(jié)提煉
1.線性規(guī)劃的概念.
2.線性規(guī)劃的問題解法.
布置作業(yè)
1.求 的最大值,使式中的 滿足條件
2.求 的最小值,使 滿足下列條件
答案:1.
2.在可行域內(nèi)整點(diǎn)中,點(diǎn)(5,2)使z最小,
探究活動(dòng)
利潤(rùn)的線性規(guī)劃[問題]某企業(yè)1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元,1998年的利潤(rùn)為7萬(wàn)元,1999年的利潤(rùn)為81元,請(qǐng)你根據(jù)以上信息擬定兩個(gè)不同的利潤(rùn)增長(zhǎng)直線方程,從而預(yù)2001年企業(yè)的利潤(rùn),請(qǐng)問你幫該企業(yè)預(yù)測(cè)的利潤(rùn)是多少萬(wàn)?
[分析]首先應(yīng)考慮在平面直角坐標(biāo)系中如何描述題中信息:“1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元,1998年的利潤(rùn)為7萬(wàn)元,1999年的利潤(rùn)為8萬(wàn)元”,在確定這三點(diǎn)坐標(biāo)后,如何運(yùn)用這三點(diǎn)坐標(biāo),是僅用其中的兩點(diǎn),還是三點(diǎn)信息的綜合運(yùn)用,運(yùn)用時(shí)要注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過特殊點(diǎn)的直線、平行某個(gè)線段的直線、與某些點(diǎn)距離最小的直線作為預(yù)測(cè)直線等等.
建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 (0,5),1998年的利潤(rùn)為 7萬(wàn)元及1999年的利潤(rùn)為 8萬(wàn)元分別對(duì)應(yīng)點(diǎn) (1,7)和 (2,8),那么
①若將過 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為13萬(wàn)元.
②若將過 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11萬(wàn)元.
③若將過 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為10萬(wàn)元.
④若將過 及線段 的中點(diǎn) 的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11.667萬(wàn)元.
⑤若將過 及 的重心 (注: 為3年的年平均利潤(rùn))的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11.667萬(wàn)元.
⑥若將過 及 的重心 的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為10.667萬(wàn)元.
⑦若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線,則預(yù)測(cè)直線 的方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為9萬(wàn)元.
⑧若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線,則預(yù)測(cè)直線 的方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11.5萬(wàn)元.
⑨若將過點(diǎn) 且以線段 的斜率 為斜率的直線,作為預(yù)測(cè)直線,則預(yù)測(cè)直線 的方程為; ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為12萬(wàn)元.
⑩若將過 且以線段 的斜率 與線段 的斜率 的平均數(shù)為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線,則預(yù)測(cè)直線 的方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為12萬(wàn)元.
如此這樣,還有其他方案,在此不—一列舉.
[思考](1)第⑤種方案與第④種方案的結(jié)果完全一致,這是為什么?
(2)第⑦種方案中, 的現(xiàn)實(shí)意義是什么?
(3)根據(jù)以上的基本解題思路,請(qǐng)你思考新的方案.如方案⑥中,過 的重心 ,找出以 為斜率的直線中與 兩點(diǎn)的距離的平方和最小的直線作為預(yù)測(cè)直線.
(4)根據(jù)以上結(jié)論及你自己的答案估計(jì)一下利潤(rùn)的范圍,你預(yù)測(cè)的利潤(rùn)頻率出現(xiàn)最多的是哪一個(gè)值?你認(rèn)為將你預(yù)測(cè)的結(jié)論作怎樣的處理,使之得到的利潤(rùn)預(yù)測(cè)更為有效?如果不要求用線性預(yù)測(cè),你能得出什么結(jié)果?
線性規(guī)劃 篇5
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(2)了解線性規(guī)化問題的圖解法;
(3)培養(yǎng)學(xué)生搜集、分析和整理信息的能力,在活動(dòng)中學(xué)會(huì)溝通與合作,培養(yǎng)探索研究的能力和所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力;
(4)引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣,發(fā)展創(chuàng)新精神,培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德.
教學(xué)建議
一、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
學(xué)以致用,培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)是本節(jié)的重要目的。學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)其最終目的就是運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q一些生產(chǎn)、生活中問題,因而本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是:線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用。困難大多是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(既數(shù)學(xué)建模),所以把一些生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,就是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵就在于盡快熟悉生活,了解實(shí)際情況,并與所學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合起來。
二、教法建議
(l)建議可適當(dāng)采用電腦多媒體和投影儀等先進(jìn)手段來輔助教學(xué),以增加課堂容量,增強(qiáng)直觀性,進(jìn)而提高課堂效率.
(2)課堂上可以設(shè)計(jì)幾個(gè)實(shí)際讓學(xué)生分組研討解答,一方面是復(fù)習(xí)線性規(guī)劃問題的一般解法,為總結(jié)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型和常見類型作鋪墊;另一方面,也為接下來到外面分組調(diào)研積累經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生在討論、探究過程中初步學(xué)會(huì)溝通與合作,共同完成活動(dòng)任務(wù).
(3)確定研究課題,建議各小組以三個(gè)常見問題為主,或者根據(jù)本小組實(shí)際自擬課題.
(4)活動(dòng)安排,建議要求各小組分式明確,團(tuán)結(jié)協(xié)作,聽從指揮,注意安全.學(xué)生研究活動(dòng)的成果,可以用研究報(bào)告或論文的形式體現(xiàn).一切以學(xué)生自己的自主探究活動(dòng)為主,教師不能越俎代庖.
(5)對(duì)學(xué)生在課余時(shí)間開展的研究性課題,建議作做好成果展示、評(píng)估和交流.展示不僅可以讓全體學(xué)生來分享成果,享受成功的喜悅,而且還可以鍛煉學(xué)生的組織表達(dá)能力,增強(qiáng)學(xué)生的自信心.通過評(píng)估,可以使同學(xué)清楚地看到自己的優(yōu)點(diǎn)與不足.通過交流研討,分享成果,進(jìn)行思維碰撞,使認(rèn)識(shí)和情感得到提升.
教學(xué)設(shè)計(jì)方案
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(2)了解線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;
(3)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問題的能力;
(4)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí),激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新.
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn)。
如何擾實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答是教學(xué)難點(diǎn)。
教學(xué)步驟
(一)引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題。那么是否有多個(gè)兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題呢?又什么樣的問題不用線性規(guī)劃知識(shí)來解決呢?
(二)線性規(guī)劃問題的教學(xué)模型
線性規(guī)劃研究的是線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下取最大值或最小值問題,一般地,線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型是
已知 其中 都是常數(shù), 是非負(fù)變量,求 的最大值或最小值,這里 是常量。
前面我們計(jì)論了兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題,這類問題可以用圖解法來求最優(yōu)解,涉及更多變量的線性規(guī)劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來表示它,那么對(duì)四元線性規(guī)劃問題就不能用圖形來求解了,對(duì)這樣的線性規(guī)劃問題怎樣求解,同學(xué)們今后在大學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)得到解決。
線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用
線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用,一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下,如何使用它們來完成最多的任務(wù);二是給定一項(xiàng)任務(wù),如何合理安排和規(guī)劃,能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù),常見問題有:
1.物調(diào)運(yùn)問題
例如,已知 兩煤礦每年的產(chǎn)量,煤需經(jīng) 兩個(gè)車站運(yùn)往外地, 兩個(gè)車站的運(yùn)輸能力是有限的,且已知 兩煤礦運(yùn)往 兩個(gè)車站的運(yùn)輸價(jià)格,煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案,能使總運(yùn)費(fèi)最小?
2.產(chǎn)品安排問題
例如,某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一個(gè)單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的A、B、C三種材料的數(shù)量,此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的,這個(gè)工廠在每個(gè)月中應(yīng)如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),能使每月獲得的總利潤(rùn)最大?
3.下料問題
例如,要把一批長(zhǎng)鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管,應(yīng)怎樣下料能使損耗最小?
4.研究一個(gè)例子
下面的問題,能否用線性規(guī)劃求解?如能,請(qǐng)同學(xué)們解出來。
某家具廠有方木料 ,五合板 ,準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售,已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料 、五合板 ,生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料 、五合板 ,出售一張書桌可獲利潤(rùn)80元,出售一個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元,如果只安排生產(chǎn)書桌,可獲利潤(rùn)多少?如何只安排生產(chǎn)書櫥,可獲利潤(rùn)多少?怎樣安排生產(chǎn)時(shí)可使所得利潤(rùn)最大?
A.教師指導(dǎo)同學(xué)們逐步解答:
(1)先將已知數(shù)據(jù)列成下表
(2)設(shè)生產(chǎn)書桌x張,生產(chǎn)書櫥y張,獲利潤(rùn)為z元。
分析:顯然這是一個(gè)二元線性問題,可歸結(jié)于線性規(guī)劃問題,并可用圖解法求解。
(3)目標(biāo)函數(shù)
①在第一個(gè)問題中,即只生產(chǎn)書桌,則 ,約束條件為
∴ 最多生產(chǎn)300張書桌,獲利潤(rùn) 元
這樣安排生產(chǎn),五合板先用光,方木料只用了 ,還有 沒派上用場(chǎng)。
②在第二個(gè)問題中,即只生產(chǎn)書櫥,則 ,約束條件是
∴ 最多生產(chǎn)600張書櫥,獲利潤(rùn) 元
這樣安排生產(chǎn),五合板也全用光,方木料用去了 ,仍有 沒派上用場(chǎng),獲利潤(rùn)比只生產(chǎn)書桌多了48000元。
③在第三個(gè)問題中,即怎樣安排生產(chǎn),可獲利潤(rùn)最大?
,約束條件為
對(duì)此,我們用圖解法求解,
先作出可行域,如圖陰影部分。
時(shí)得直線 與 平行的直線 過可行域內(nèi)的點(diǎn)M(0,600)。因?yàn)榕c 平等的過可行域內(nèi)的點(diǎn)的所有直線中, 距原點(diǎn)最遠(yuǎn),所以最優(yōu)解為 ,即此時(shí)
因此,只生產(chǎn)書櫥600張可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是72000元。
B.討論
為什么會(huì)出現(xiàn)只生產(chǎn)書櫥,可獲最大利潤(rùn)的情形呢?第一,書櫥比書桌價(jià)格高,因此應(yīng)該盡可能多生產(chǎn)書櫥;第二,生產(chǎn)一張書櫥只需要五合板 ,生產(chǎn)一張書桌卻需要五合板 ,按家具廠五合板的存有量 ,可生產(chǎn)書櫥600張,若同時(shí)又生產(chǎn)書桌,則生產(chǎn)一張書桌就要減少兩張書櫥,顯然這不合算;第三,生產(chǎn)書櫥的另種材料,即方木料是足夠供應(yīng)的,家具廠方木料存有量為 ,而生產(chǎn)600張書櫥只需要方木料 。
這是一個(gè)特殊的線性規(guī)劃問題,再來研究它的解法。
C.改變這個(gè)例子的個(gè)別條件,再來研究它的解法。
將這個(gè)例子中方木料存有量改為 ,其他條件不變,則
M(100,400)而平行于 的直線 離原點(diǎn)的距離最大,所以最優(yōu)解為(100,400),這時(shí) (元)。
論文,并互相交流。
探究活動(dòng)
如何確定水電站的位置
小河同側(cè)有兩個(gè)村莊A,B,兩村莊計(jì)劃于河上共建一水電站發(fā)電供兩村使用.已知 A,B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m,且兩村相距500m,問水電站建于何處,送電到兩村電線用料最省?
[解]視兩村莊為兩點(diǎn)A,B,小河為一條直線L,原問題便轉(zhuǎn)化成在直線上找一點(diǎn)P,使P點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)距離之和為最小的問題.
以L所在直線為 軸, 軸通過A點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.作A關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn) ,連 , 與 軸交于點(diǎn)P.由平面幾何知識(shí)得,點(diǎn)P即為所求.據(jù)已知條件,A(0,300), (0,-300).過B作 軸于點(diǎn) ,過A作 ,于點(diǎn)H.
由 , ,得B(300,700).于是直線 的方程為
即
所以P點(diǎn)的坐標(biāo)即為 與 軸的交點(diǎn)(90,0),即水電站應(yīng)建在河邊兩村間且離A村距河邊的最近點(diǎn)90 m的地方
研究性課題與實(shí)習(xí)作業(yè) :線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用
線性規(guī)劃 篇6
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(2)了解線性規(guī)化問題的圖解法;
(3)培養(yǎng)學(xué)生搜集、分析和整理信息的能力,在活動(dòng)中學(xué)會(huì)溝通與合作,培養(yǎng)探索研究的能力和所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力;
(4)引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣,發(fā)展創(chuàng)新精神,培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德.
教學(xué)建議
一、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
學(xué)以致用,培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)是本節(jié)的重要目的。學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)其最終目的就是運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q一些生產(chǎn)、生活中問題,因而本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是:線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用。困難大多是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(既數(shù)學(xué)建模),所以把一些生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,就是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn) 。突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵就在于盡快熟悉生活,了解實(shí)際情況,并與所學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合起來。
二、教法建議
(l)建議可適當(dāng)采用電腦多媒體和投影儀等先進(jìn)手段來輔助教學(xué),以增加課堂容量,增強(qiáng)直觀性,進(jìn)而提高課堂效率.
(2)課堂上可以設(shè)計(jì)幾個(gè)實(shí)際讓學(xué)生分組研討解答,一方面是復(fù)習(xí)線性規(guī)劃問題的一般解法,為總結(jié)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型和常見類型作鋪墊;另一方面,也為接下來到外面分組調(diào)研積累經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生在討論、探究過程中初步學(xué)會(huì)溝通與合作,共同完成活動(dòng)任務(wù).
(3)確定研究課題,建議各小組以三個(gè)常見問題為主,或者根據(jù)本小組實(shí)際自擬課題.
(4)活動(dòng)安排,建議要求各小組分式明確,團(tuán)結(jié)協(xié)作,聽從指揮,注意安全.學(xué)生研究活動(dòng)的成果,可以用研究報(bào)告或論文的形式體現(xiàn).一切以學(xué)生自己的自主探究活動(dòng)為主,教師不能越俎代庖.
(5)對(duì)學(xué)生在課余時(shí)間開展的研究性課題,建議作做好成果展示、評(píng)估和交流.展示不僅可以讓全體學(xué)生來分享成果,享受成功的喜悅,而且還可以鍛煉學(xué)生的組織表達(dá)能力,增強(qiáng)學(xué)生的自信心.通過評(píng)估,可以使同學(xué)清楚地看到自己的優(yōu)點(diǎn)與不足.通過交流研討,分享成果,進(jìn)行思維碰撞,使認(rèn)識(shí)和情感得到提升.
教學(xué)設(shè)計(jì)方案
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(2)了解線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;
(3)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問題的能力;
(4)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí),激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新.
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn)。
如何擾實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答是教學(xué)難點(diǎn) 。
教學(xué)步驟
(一)引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題。那么是否有多個(gè)兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題呢?又什么樣的問題不用線性規(guī)劃知識(shí)來解決呢?
數(shù)學(xué)教案-研究性課題與實(shí)習(xí)作業(yè) :線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用
線性規(guī)劃 篇7
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(2)了解線性規(guī)化問題的圖解法;
(3)培養(yǎng)學(xué)生搜集、分析和整理信息的能力,在活動(dòng)中學(xué)會(huì)溝通與合作,培養(yǎng)探索研究的能力和所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力;
(4)引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣,發(fā)展創(chuàng)新精神,培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德.
教學(xué)建議
一、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
學(xué)以致用,培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)是本節(jié)的重要目的。學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)其最終目的就是運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q一些生產(chǎn)、生活中問題,因而本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是:線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用。困難大多是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(既數(shù)學(xué)建模),所以把一些生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,就是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn) 。突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵就在于盡快熟悉生活,了解實(shí)際情況,并與所學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合起來。
二、教法建議
(l)建議可適當(dāng)采用電腦多媒體和投影儀等先進(jìn)手段來輔助教學(xué),以增加課堂容量,增強(qiáng)直觀性,進(jìn)而提高課堂效率.
(2)課堂上可以設(shè)計(jì)幾個(gè)實(shí)際讓學(xué)生分組研討解答,一方面是復(fù)習(xí)線性規(guī)劃問題的一般解法,為總結(jié)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型和常見類型作鋪墊;另一方面,也為接下來到外面分組調(diào)研積累經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生在討論、探究過程中初步學(xué)會(huì)溝通與合作,共同完成活動(dòng)任務(wù).
(3)確定研究課題,建議各小組以三個(gè)常見問題為主,或者根據(jù)本小組實(shí)際自擬課題.
(4)活動(dòng)安排,建議要求各小組分式明確,團(tuán)結(jié)協(xié)作,聽從指揮,注意安全.學(xué)生研究活動(dòng)的成果,可以用研究報(bào)告或論文的形式體現(xiàn).一切以學(xué)生自己的自主探究活動(dòng)為主,教師不能越俎代庖.
(5)對(duì)學(xué)生在課余時(shí)間開展的研究性課題,建議作做好成果展示、評(píng)估和交流.展示不僅可以讓全體學(xué)生來分享成果,享受成功的喜悅,而且還可以鍛煉學(xué)生的組織表達(dá)能力,增強(qiáng)學(xué)生的自信心.通過評(píng)估,可以使同學(xué)清楚地看到自己的優(yōu)點(diǎn)與不足.通過交流研討,分享成果,進(jìn)行思維碰撞,使認(rèn)識(shí)和情感得到提升.
教學(xué)設(shè)計(jì)方案
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(2)了解線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;
(3)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問題的能力;
(4)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí),激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新.
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn)。
如何擾實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答是教學(xué)難點(diǎn) 。
教學(xué)步驟
(一)引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題。那么是否有多個(gè)兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題呢?又什么樣的問題不用線性規(guī)劃知識(shí)來解決呢?
(二)線性規(guī)劃問題的教學(xué)模型
線性規(guī)劃研究的是線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下取最大值或最小值問題,一般地,線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型是
已知 其中 都是常數(shù), 是非負(fù)變量,求 的最大值或最小值,這里 是常量。
前面我們計(jì)論了兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題,這類問題可以用圖解法來求最優(yōu)解,涉及更多變量的線性規(guī)劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來表示它,那么對(duì)四元線性規(guī)劃問題就不能用圖形來求解了,對(duì)這樣的線性規(guī)劃問題怎樣求解,同學(xué)們今后在大學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)得到解決。
線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用
線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用,一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下,如何使用它們來完成最多的任務(wù);二是給定一項(xiàng)任務(wù),如何合理安排和規(guī)劃,能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù),常見問題有:
1.物調(diào)運(yùn)問題
例如,已知 兩煤礦每年的產(chǎn)量,煤需經(jīng) 兩個(gè)車站運(yùn)往外地, 兩個(gè)車站的運(yùn)輸能力是有限的,且已知 兩煤礦運(yùn)往 兩個(gè)車站的運(yùn)輸價(jià)格,煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案,能使總運(yùn)費(fèi)最小?
2.產(chǎn)品安排問題
例如,某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一個(gè)單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的A、B、C三種材料的數(shù)量,此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的,這個(gè)工廠在每個(gè)月中應(yīng)如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),能使每月獲得的總利潤(rùn)最大?
3.下料問題
例如,要把一批長(zhǎng)鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管,應(yīng)怎樣下料能使損耗最小?
4.研究一個(gè)例子
下面的問題,能否用線性規(guī)劃求解?如能,請(qǐng)同學(xué)們解出來。
某家具廠有方木料 ,五合板 ,準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售,已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料 、五合板 ,生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料 、五合板 ,出售一張書桌可獲利潤(rùn)80元,出售一個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元,如果只安排生產(chǎn)書桌,可獲利潤(rùn)多少?如何只安排生產(chǎn)書櫥,可獲利潤(rùn)多少?怎樣安排生產(chǎn)時(shí)可使所得利潤(rùn)最大?
A.教師指導(dǎo)同學(xué)們逐步解答:
(1)先將已知數(shù)據(jù)列成下表
(2)設(shè)生產(chǎn)書桌x張,生產(chǎn)書櫥y張,獲利潤(rùn)為z元。
分析:顯然這是一個(gè)二元線性問題,可歸結(jié)于線性規(guī)劃問題,并可用圖解法求解。
(3)目標(biāo)函數(shù)
①在第一個(gè)問題中,即只生產(chǎn)書桌,則 ,約束條件為
∴ 最多生產(chǎn)300張書桌,獲利潤(rùn) 元
這樣安排生產(chǎn),五合板先用光,方木料只用了 ,還有 沒派上用場(chǎng)。
②在第二個(gè)問題中,即只生產(chǎn)書櫥,則 ,約束條件是
∴ 最多生產(chǎn)600張書櫥,獲利潤(rùn) 元
這樣安排生產(chǎn),五合板也全用光,方木料用去了 ,仍有 沒派上用場(chǎng),獲利潤(rùn)比只生產(chǎn)書桌多了48000元。
③在第三個(gè)問題中,即怎樣安排生產(chǎn),可獲利潤(rùn)最大?
,約束條件為
對(duì)此,我們用圖解法求解,
先作出可行域,如圖陰影部分。
時(shí)得直線 與 平行的直線 過可行域內(nèi)的點(diǎn)M(0,600)。因?yàn)榕c 平等的過可行域內(nèi)的點(diǎn)的所有直線中, 距原點(diǎn)最遠(yuǎn),所以最優(yōu)解為 ,即此時(shí)
因此,只生產(chǎn)書櫥600張可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是72000元。
B.討論
為什么會(huì)出現(xiàn)只生產(chǎn)書櫥,可獲最大利潤(rùn)的情形呢?第一,書櫥比書桌價(jià)格高,因此應(yīng)該盡可能多生產(chǎn)書櫥;第二,生產(chǎn)一張書櫥只需要五合板 ,生產(chǎn)一張書桌卻需要五合板 ,按家具廠五合板的存有量 ,可生產(chǎn)書櫥600張,若同時(shí)又生產(chǎn)書桌,則生產(chǎn)一張書桌就要減少兩張書櫥,顯然這不合算;第三,生產(chǎn)書櫥的另種材料,即方木料是足夠供應(yīng)的,家具廠方木料存有量為 ,而生產(chǎn)600張書櫥只需要方木料 。
這是一個(gè)特殊的線性規(guī)劃問題,再來研究它的解法。
C.改變這個(gè)例子的個(gè)別條件,再來研究它的解法。
將這個(gè)例子中方木料存有量改為 ,其他條件不變,則
作出可行域,如圖陰影部分,且過可行域內(nèi)點(diǎn)M(100,400)而平行于 的直線 離原點(diǎn)的距離最大,所以最優(yōu)解為(100,400),這時(shí) (元)。
故生產(chǎn)書桌100、書櫥400張,可獲最大利潤(rùn)56000元。
總結(jié)、擴(kuò)展
1.線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型。
2.線性規(guī)劃在兩類問題中的應(yīng)用
布置作業(yè)
到附近的工廠、鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)、商店、學(xué)校等作調(diào)查研究,了解線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用,或提出能用線性規(guī)劃的知識(shí)提高生產(chǎn)效率的實(shí)際問題,并作出解答。把實(shí)習(xí)和研究活動(dòng)的成果寫成實(shí)習(xí)報(bào)告、研究報(bào)告或小論文,并互相交流。
探究活動(dòng)
如何確定水電站的位置
小河同側(cè)有兩個(gè)村莊A,B,兩村莊計(jì)劃于河上共建一水電站發(fā)電供兩村使用.已知 A,B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m,且兩村相距500m,問水電站建于何處,送電到兩村電線用料最省?
[解]視兩村莊為兩點(diǎn)A,B,小河為一條直線L,原問題便轉(zhuǎn)化成在直線上找一點(diǎn)P,使P點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)距離之和為最小的問題.
以L所在直線為 軸, 軸通過A點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.作A關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn) ,連 , 與 軸交于點(diǎn)P.由平面幾何知識(shí)得,點(diǎn)P即為所求.據(jù)已知條件,A(0,300), (0,-300).過B作 軸于點(diǎn) ,過A作 ,于點(diǎn)H.
由 , ,得B(300,700).于是直線 的方程為
即
所以P點(diǎn)的坐標(biāo)即為 與 軸的交點(diǎn)(90,0),即水電站應(yīng)建在河邊兩村間且離A村距河邊的最近點(diǎn)90 m的地方
研究性課題與實(shí)習(xí)作業(yè) :線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用
線性規(guī)劃 篇8
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(2)了解線性規(guī)化問題的圖解法;
(3)培養(yǎng)學(xué)生搜集、分析和整理信息的能力,在活動(dòng)中學(xué)會(huì)溝通與合作,培養(yǎng)探索研究的能力和所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力;
(4)引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣,發(fā)展創(chuàng)新精神,培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德.
教學(xué)建議
一、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
學(xué)以致用,培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)是本節(jié)的重要目的。學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)其最終目的就是運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q一些生產(chǎn)、生活中問題,因而本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是:線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用。困難大多是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(既數(shù)學(xué)建模),所以把一些生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,就是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn) 。突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵就在于盡快熟悉生活,了解實(shí)際情況,并與所學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合起來。
二、教法建議
(l)建議可適當(dāng)采用電腦多媒體和投影儀等先進(jìn)手段來輔助教學(xué),以增加課堂容量,增強(qiáng)直觀性,進(jìn)而提高課堂效率.
(2)課堂上可以設(shè)計(jì)幾個(gè)實(shí)際讓學(xué)生分組研討解答,一方面是復(fù)習(xí)線性規(guī)劃問題的一般解法,為總結(jié)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型和常見類型作鋪墊;另一方面,也為接下來到外面分組調(diào)研積累經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生在討論、探究過程中初步學(xué)會(huì)溝通與合作,共同完成活動(dòng)任務(wù).
(3)確定研究課題,建議各小組以三個(gè)常見問題為主,或者根據(jù)本小組實(shí)際自擬課題.
(4)活動(dòng)安排,建議要求各小組分式明確,團(tuán)結(jié)協(xié)作,聽從指揮,注意安全.學(xué)生研究活動(dòng)的成果,可以用研究報(bào)告或論文的形式體現(xiàn).一切以學(xué)生自己的自主探究活動(dòng)為主,教師不能越俎代庖.
(5)對(duì)學(xué)生在課余時(shí)間開展的研究性課題,建議作做好成果展示、評(píng)估和交流.展示不僅可以讓全體學(xué)生來分享成果,享受成功的喜悅,而且還可以鍛煉學(xué)生的組織表達(dá)能力,增強(qiáng)學(xué)生的自信心.通過評(píng)估,可以使同學(xué)清楚地看到自己的優(yōu)點(diǎn)與不足.通過交流研討,分享成果,進(jìn)行思維碰撞,使認(rèn)識(shí)和情感得到提升.
教學(xué)設(shè)計(jì)方案
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(2)了解線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;
(3)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問題的能力;
(4)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí),激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新.
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn)。
如何擾實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答是教學(xué)難點(diǎn) 。
教學(xué)步驟
(一)引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題。那么是否有多個(gè)兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題呢?又什么樣的問題不用線性規(guī)劃知識(shí)來解決呢?
(二)線性規(guī)劃問題的教學(xué)模型
線性規(guī)劃研究的是線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下取最大值或最小值問題,一般地,線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型是
已知 其中 都是常數(shù), 是非負(fù)變量,求 的最大值或最小值,這里 是常量。
前面我們計(jì)論了兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題,這類問題可以用圖解法來求最優(yōu)解,涉及更多變量的線性規(guī)劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來表示它,那么對(duì)四元線性規(guī)劃問題就不能用圖形來求解了,對(duì)這樣的線性規(guī)劃問題怎樣求解,同學(xué)們今后在大學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)得到解決。
線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用
線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用,一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下,如何使用它們來完成最多的任務(wù);二是給定一項(xiàng)任務(wù),如何合理安排和規(guī)劃,能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù),常見問題有:
1.物調(diào)運(yùn)問題
例如,已知 兩煤礦每年的產(chǎn)量,煤需經(jīng) 兩個(gè)車站運(yùn)往外地, 兩個(gè)車站的運(yùn)輸能力是有限的,且已知 兩煤礦運(yùn)往 兩個(gè)車站的運(yùn)輸價(jià)格,煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案,能使總運(yùn)費(fèi)最小?
2.產(chǎn)品安排問題
例如,某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一個(gè)單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的A、B、C三種材料的數(shù)量,此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的,這個(gè)工廠在每個(gè)月中應(yīng)如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),能使每月獲得的總利潤(rùn)最大?
3.下料問題
例如,要把一批長(zhǎng)鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管,應(yīng)怎樣下料能使損耗最小?
4.研究一個(gè)例子
下面的問題,能否用線性規(guī)劃求解?如能,請(qǐng)同學(xué)們解出來。
某家具廠有方木料 ,五合板 ,準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售,已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料 、五合板 ,生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料 、五合板 ,出售一張書桌可獲利潤(rùn)80元,出售一個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元,如果只安排生產(chǎn)書桌,可獲利潤(rùn)多少?如何只安排生產(chǎn)書櫥,可獲利潤(rùn)多少?怎樣安排生產(chǎn)時(shí)可使所得利潤(rùn)最大?
A.教師指導(dǎo)同學(xué)們逐步解答:
(1)先將已知數(shù)據(jù)列成下表
(2)設(shè)生產(chǎn)書桌x張,生產(chǎn)書櫥y張,獲利潤(rùn)為z元。
分析:顯然這是一個(gè)二元線性問題,可歸結(jié)于線性規(guī)劃問題,并可用圖解法求解。
(3)目標(biāo)函數(shù)
①在第一個(gè)問題中,即只生產(chǎn)書桌,則 ,約束條件為
∴ 最多生產(chǎn)300張書桌,獲利潤(rùn) 元
這樣安排生產(chǎn),五合板先用光,方木料只用了 ,還有 沒派上用場(chǎng)。
②在第二個(gè)問題中,即只生產(chǎn)書櫥,則 ,約束條件是
∴ 最多生產(chǎn)600張書櫥,獲利潤(rùn) 元
這樣安排生產(chǎn),五合板也全用光,方木料用去了 ,仍有 沒派上用場(chǎng),獲利潤(rùn)比只生產(chǎn)書桌多了48000元。
③在第三個(gè)問題中,即怎樣安排生產(chǎn),可獲利潤(rùn)最大?
,約束條件為
對(duì)此,我們用圖解法求解,
先作出可行域,如圖陰影部分。
時(shí)得直線 與 平行的直線 過可行域內(nèi)的點(diǎn)M(0,600)。因?yàn)榕c 平等的過可行域內(nèi)的點(diǎn)的所有直線中, 距原點(diǎn)最遠(yuǎn),所以最優(yōu)解為 ,即此時(shí)
因此,只生產(chǎn)書櫥600張可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是72000元。
B.討論
為什么會(huì)出現(xiàn)只生產(chǎn)書櫥,可獲最大利潤(rùn)的情形呢?第一,書櫥比書桌價(jià)格高,因此應(yīng)該盡可能多生產(chǎn)書櫥;第二,生產(chǎn)一張書櫥只需要五合板 ,生產(chǎn)一張書桌卻需要五合板 ,按家具廠五合板的存有量 ,可生產(chǎn)書櫥600張,若同時(shí)又生產(chǎn)書桌,則生產(chǎn)一張書桌就要減少兩張書櫥,顯然這不合算;第三,生產(chǎn)書櫥的另種材料,即方木料是足夠供應(yīng)的,家具廠方木料存有量為 ,而生產(chǎn)600張書櫥只需要方木料 。
這是一個(gè)特殊的線性規(guī)劃問題,再來研究它的解法。
C.改變這個(gè)例子的個(gè)別條件,再來研究它的解法。
將這個(gè)例子中方木料存有量改為 ,其他條件不變,則
M(100,400)而平行于 的直線 離原點(diǎn)的距離最大,所以最優(yōu)解為(100,400),這時(shí) (元)。
論文,并互相交流。
探究活動(dòng)
如何確定水電站的位置
小河同側(cè)有兩個(gè)村莊A,B,兩村莊計(jì)劃于河上共建一水電站發(fā)電供兩村使用.已知 A,B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m,且兩村相距500m,問水電站建于何處,送電到兩村電線用料最省?
[解]視兩村莊為兩點(diǎn)A,B,小河為一條直線L,原問題便轉(zhuǎn)化成在直線上找一點(diǎn)P,使P點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)距離之和為最小的問題.
以L所在直線為 軸, 軸通過A點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.作A關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn) ,連 , 與 軸交于點(diǎn)P.由平面幾何知識(shí)得,點(diǎn)P即為所求.據(jù)已知條件,A(0,300), (0,-300).過B作 軸于點(diǎn) ,過A作 ,于點(diǎn)H.
由 , ,得B(300,700).于是直線 的方程為
即
所以P點(diǎn)的坐標(biāo)即為 與 軸的交點(diǎn)(90,0),即水電站應(yīng)建在河邊兩村間且離A村距河邊的最近點(diǎn)90 m的地方
研究性課題與實(shí)習(xí)作業(yè) :線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用
線性規(guī)劃 篇9
教學(xué)目標(biāo)
(1)使學(xué)生了解并會(huì)用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域;
(2)了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(3)了解線性規(guī)化問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;
(4)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問題的能力;
(5)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí),激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新.
教學(xué)建議
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
教科書首先通過一個(gè)具體問題,介紹了二元一次不等式表示平面區(qū)域.再通過一個(gè)具體實(shí)例,介紹了線性規(guī)化問題及有關(guān)的幾個(gè)基本概念及一種基本解法-圖解法,并利用幾道例題說明線性規(guī)化在實(shí)際中的應(yīng)用.
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
本小節(jié)的重點(diǎn)是二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域.
對(duì)學(xué)生來說,二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域是一個(gè)比較生疏、抽象的概念,按高二學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)和認(rèn)知水平難以透徹理解,因此學(xué)習(xí)二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域分為兩個(gè)大的層次:
(1)二元一次不等式表示平面區(qū)域.首先通過建立新舊知識(shí)的聯(lián)系,自然地給出概念.明確二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包含邊界直線(畫成虛線).其次再擴(kuò)大到所表示的平面區(qū)域是包含邊界直線且要把邊界直線畫成實(shí)線.
(2)二元一次不等式組表示平面區(qū)域.在理解二元一次不等式表示平面區(qū)域含義的基礎(chǔ)上,畫不等式組所表示的平面區(qū)域,找出各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.這是學(xué)生對(duì)代數(shù)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為幾何問題以及數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問題的基礎(chǔ).
難點(diǎn)是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答.
對(duì)許多學(xué)生來說,從抽象到的化歸并不比從具體到抽象碰到的問題少,學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見困難是不會(huì)將實(shí)際問題提煉成數(shù)學(xué)問題,即不會(huì)建模.所以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點(diǎn),并緊緊圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件,找出約束條件和目標(biāo)函數(shù),然后利用圖解法求出最優(yōu)解作為突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵.
對(duì)學(xué)生而言解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類:①不能正確理解題意,弄清各元素之間的關(guān)系;②不能分清問題的主次關(guān)系,因而抓不住問題的本質(zhì),無(wú)法建立數(shù)學(xué)模型;③孤立地考慮單個(gè)的問題情景,不能多方聯(lián)想,形成正遷移.針對(duì)這些障礙以及題目本身文字過長(zhǎng)等因素,將本課設(shè)計(jì)為計(jì)算機(jī)輔助教學(xué),從而將實(shí)際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前,以利于理解;分析完題后,能夠抓住問題的本質(zhì)特征,從而將實(shí)際問題抽象概括為線性規(guī)劃問題.另外,利用計(jì)算機(jī)可以較快地幫助學(xué)生把握尋找整點(diǎn)最優(yōu)解的方法.
三、教法建議
(1)對(duì)學(xué)生來說,二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域是一個(gè)比較生疏的概念,不象二元一次方程表示直線那樣已早有所知,為使學(xué)生對(duì)這一概念的引進(jìn)不感到忽然,應(yīng)建立新舊知識(shí)的聯(lián)系,以便自然地給出概念
(2)建議將本節(jié)新課講授分為五步(思考、嘗試、猜想、證實(shí)、歸納)來進(jìn)行,目的是為了分散難點(diǎn),層層遞進(jìn),突出重點(diǎn),只要學(xué)生對(duì)舊知識(shí)把握較好,完全有可能由學(xué)生主動(dòng)去探求新知,得出結(jié)論.
(3)要舉幾個(gè)典型例題,非凡是似是而非的例子,對(duì)理解二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的含義是十分必要的.
(4)建議通過本節(jié)教學(xué)著重培養(yǎng)學(xué)生把握“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想,盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”,但同時(shí)也用“形”去研究“數(shù)”,這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測(cè)、歸納等數(shù)學(xué)能力是大有益處的.
(5)對(duì)作業(yè)、思考題、研究性題的建議:①作業(yè)主要練習(xí)學(xué)生規(guī)范的解題步驟和作圖能力;②思考題主要供學(xué)有余力的學(xué)生課后完成;③研究性題綜合性較大,主要用于拓寬學(xué)生的思維.
(6)若實(shí)際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解,而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解(近似解),應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù),在直線的四周尋求與此直線距離最近的整點(diǎn),不要在用圖解法所得到的近似解四周尋找.
假如可行域中的整點(diǎn)數(shù)目很少,采用逐個(gè)試驗(yàn)法也可.
(7)在線性規(guī)劃的實(shí)際問題中,主要把握兩種類型:一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源,問怎樣運(yùn)用這些資源能使完成的任務(wù)量最大,收到的效益最大;二是給定一項(xiàng)任務(wù)問怎樣統(tǒng)籌安排,能使完成的這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最小.
線性規(guī)劃教學(xué)設(shè)計(jì)方案(一)
教學(xué)目標(biāo)
使學(xué)生了解并會(huì)作二元一次不等式和不等式組表示的區(qū)域.
重點(diǎn)難點(diǎn)
了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.
教學(xué)過程
引入新課
我們知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直線上的點(diǎn)集,那么在平面坐標(biāo)系中,二元一次不等式的解集的意義是什么呢?
二元一次不等式表示的平面區(qū)域
1.先分析一個(gè)具體的例子
我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,以二元一次方程 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合 是經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和(1,0)的一條直線l(如圖)那么,以二元一次不等式(即含有兩個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)都是1的不等式) 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合 是什么圖形呢?
在平面直角坐標(biāo)系中,所有點(diǎn)被直線l分三類:①在l上;②在l的右上方的平面區(qū)域;③在l的左下方的平面區(qū)域(如圖)取集合a的點(diǎn)(1,1)、(1,2)、(2,2)等,我們發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)都在l的右上方的平面區(qū)域,而點(diǎn)(0,0)、(-1,-1)等等不屬于a,它們滿足不等式 ,這些點(diǎn)卻在l的左下方的平面區(qū)域.
由此我們猜想,對(duì)直線l右上方的任意點(diǎn) 成立;對(duì)直線l左下方的任意點(diǎn) 成立,下面我們證實(shí)這個(gè)事實(shí).
在直線 上任取一點(diǎn) ,過點(diǎn)p作垂直于y軸的直線 ,在此直線上點(diǎn)p右側(cè)的任意一點(diǎn) ,都有 ∴
于是
所以
因?yàn)辄c(diǎn) ,是l上的任意點(diǎn),所以,對(duì)于直線 右上方的任意點(diǎn) ,
都成立
同理,對(duì)于直線 左下方的任意點(diǎn) ,
都成立
所以,在平面直角坐標(biāo)系中,以二元一次不等式 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集點(diǎn).
是直線 右上方的平面區(qū)域(如圖)
類似地,在平面直角坐標(biāo)系中,以二元一次不等式 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合 是直線 左下方的平面區(qū)域.
2.二元一次不等式 和 表示平面域.
(1)結(jié)論:二元一次不等式 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線 某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.
把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線,若畫不等式 就表示的面區(qū)域時(shí),此區(qū)域包括邊界直線,則把邊界直線畫成實(shí)線.
(2)判定方法:由于對(duì)在直線 同一側(cè)的所有點(diǎn) ,把它的坐標(biāo) 代入 ,所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同,故只需在這條直線的某一側(cè)取一個(gè)非凡點(diǎn) ,以 的正負(fù)情況便可判定 表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域,非凡地,當(dāng) 時(shí),常把原點(diǎn)作為此非凡點(diǎn).
應(yīng)用舉例
例1 畫出不等式 表示的平面區(qū)域
解;先畫直線 (畫線虛線)取原點(diǎn)(0,0),代入 ,
∴ ∴ 原點(diǎn)在不等式 表示的平面區(qū)域內(nèi),不等式 表示的平面區(qū)域如圖陰影部分.
例2 畫出不等式組
表示的平面區(qū)域
分析:在不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集,因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.
解:不等式 表示直線 上及右上方的平面區(qū)域, 表示直線 上及右上方的平面區(qū)域, 上及左上方的平面區(qū)域,所以原不等式表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分.
課堂練習(xí)
作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域.
(1) (2) (3)
(4) (5)
總結(jié)提煉
1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域.
2.二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判定方法.
3.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域.
布置作業(yè)
1.不等式 表示的區(qū)域在 的( ).
a.右上方 b.右下方 c.左上方 d.左下方
2.不等式 表示的平面區(qū)域是( ).
3.不等式組 表示的平面區(qū)域是( ).
4.直線 右上方的平面區(qū)域可用不等式 表示.
5.不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)是 .
6.畫出 表示的區(qū)域.
答案:
1.b 2.d 3.b 4. 5.(-1,-1)
線性規(guī)劃 篇10
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(2)了解線性規(guī)化問題的圖解法;
(3)培養(yǎng)學(xué)生搜集、分析和整理信息的能力,在活動(dòng)中學(xué)會(huì)溝通與合作,培養(yǎng)探索研究的能力和所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力;
(4)引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣,發(fā)展創(chuàng)新精神,培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德.
教學(xué)建議
一、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
學(xué)以致用,培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)是本節(jié)的重要目的。學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)其最終目的就是運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q一些生產(chǎn)、生活中問題,因而本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是:線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用。困難大多是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(既數(shù)學(xué)建模),所以把一些生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,就是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵就在于盡快熟悉生活,了解實(shí)際情況,并與所學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合起來。
二、教法建議
(l)建議可適當(dāng)采用電腦多媒體和投影儀等先進(jìn)手段來輔助教學(xué),以增加課堂容量,增強(qiáng)直觀性,進(jìn)而提高課堂效率.
(2)課堂上可以設(shè)計(jì)幾個(gè)實(shí)際讓學(xué)生分組研討解答,一方面是復(fù)習(xí)線性規(guī)劃問題的一般解法,為總結(jié)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型和常見類型作鋪墊;另一方面,也為接下來到外面分組調(diào)研積累經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生在討論、探究過程中初步學(xué)會(huì)溝通與合作,共同完成活動(dòng)任務(wù).
(3)確定研究課題,建議各小組以三個(gè)常見問題為主,或者根據(jù)本小組實(shí)際自擬課題.
(4)活動(dòng)安排,建議要求各小組分式明確,團(tuán)結(jié)協(xié)作,聽從指揮,注意安全.學(xué)生研究活動(dòng)的成果,可以用研究報(bào)告或論文的形式體現(xiàn).一切以學(xué)生自己的自主探究活動(dòng)為主,教師不能越俎代庖.
(5)對(duì)學(xué)生在課余時(shí)間開展的研究性課題,建議作做好成果展示、評(píng)估和交流.展示不僅可以讓全體學(xué)生來分享成果,享受成功的喜悅,而且還可以鍛煉學(xué)生的組織表達(dá)能力,增強(qiáng)學(xué)生的自信心.通過評(píng)估,可以使同學(xué)清楚地看到自己的優(yōu)點(diǎn)與不足.通過交流研討,分享成果,進(jìn)行思維碰撞,使認(rèn)識(shí)和情感得到提升.
教學(xué)設(shè)計(jì)方案
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(2)了解線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;
(3)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問題的能力;
(4)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí),激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新.
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn)。
如何擾實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答是教學(xué)難點(diǎn)。
教學(xué)步驟
(一)引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題。那么是否有多個(gè)兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題呢?又什么樣的問題不用線性規(guī)劃知識(shí)來解決呢?
(二)線性規(guī)劃問題的教學(xué)模型
線性規(guī)劃研究的是線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下取最大值或最小值問題,一般地,線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型是
已知 其中 都是常數(shù), 是非負(fù)變量,求 的最大值或最小值,這里 是常量。
前面我們計(jì)論了兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題,這類問題可以用圖解法來求最優(yōu)解,涉及更多變量的線性規(guī)劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來表示它,那么對(duì)四元線性規(guī)劃問題就不能用圖形來求解了,對(duì)這樣的線性規(guī)劃問題怎樣求解,同學(xué)們今后在大學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)得到解決。
線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用
線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用,一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下,如何使用它們來完成最多的任務(wù);二是給定一項(xiàng)任務(wù),如何合理安排和規(guī)劃,能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù),常見問題有:
1.物調(diào)運(yùn)問題
例如,已知 兩煤礦每年的產(chǎn)量,煤需經(jīng) 兩個(gè)車站運(yùn)往外地, 兩個(gè)車站的運(yùn)輸能力是有限的,且已知 兩煤礦運(yùn)往 兩個(gè)車站的運(yùn)輸價(jià)格,煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案,能使總運(yùn)費(fèi)最小?
2.產(chǎn)品安排問題
例如,某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一個(gè)單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的A、B、C三種材料的數(shù)量,此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的,這個(gè)工廠在每個(gè)月中應(yīng)如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),能使每月獲得的總利潤(rùn)最大?
3.下料問題
例如,要把一批長(zhǎng)鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管,應(yīng)怎樣下料能使損耗最小?
4.研究一個(gè)例子
下面的問題,能否用線性規(guī)劃求解?如能,請(qǐng)同學(xué)們解出來。
某家具廠有方木料 ,五合板 ,準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售,已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料 、五合板 ,生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料 、五合板 ,出售一張書桌可獲利潤(rùn)80元,出售一個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元,如果只安排生產(chǎn)書桌,可獲利潤(rùn)多少?如何只安排生產(chǎn)書櫥,可獲利潤(rùn)多少?怎樣安排生產(chǎn)時(shí)可使所得利潤(rùn)最大?
A.教師指導(dǎo)同學(xué)們逐步解答:
(1)先將已知數(shù)據(jù)列成下表
(2)設(shè)生產(chǎn)書桌x張,生產(chǎn)書櫥y張,獲利潤(rùn)為z元。
分析:顯然這是一個(gè)二元線性問題,可歸結(jié)于線性規(guī)劃問題,并可用圖解法求解。
(3)目標(biāo)函數(shù)
①在第一個(gè)問題中,即只生產(chǎn)書桌,則 ,約束條件為
∴ 最多生產(chǎn)300張書桌,獲利潤(rùn) 元
這樣安排生產(chǎn),五合板先用光,方木料只用了 ,還有 沒派上用場(chǎng)。
②在第二個(gè)問題中,即只生產(chǎn)書櫥,則 ,約束條件是
∴ 最多生產(chǎn)600張書櫥,獲利潤(rùn) 元
這樣安排生產(chǎn),五合板也全用光,方木料用去了 ,仍有 沒派上用場(chǎng),獲利潤(rùn)比只生產(chǎn)書桌多了48000元。
③在第三個(gè)問題中,即怎樣安排生產(chǎn),可獲利潤(rùn)最大?
,約束條件為
對(duì)此,我們用圖解法求解,
先作出可行域,如圖陰影部分。
時(shí)得直線 與 平行的直線 過可行域內(nèi)的點(diǎn)M(0,600)。因?yàn)榕c 平等的過可行域內(nèi)的點(diǎn)的所有直線中, 距原點(diǎn)最遠(yuǎn),所以最優(yōu)解為 ,即此時(shí)
因此,只生產(chǎn)書櫥600張可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是72000元。
B.討論
為什么會(huì)出現(xiàn)只生產(chǎn)書櫥,可獲最大利潤(rùn)的情形呢?第一,書櫥比書桌價(jià)格高,因此應(yīng)該盡可能多生產(chǎn)書櫥;第二,生產(chǎn)一張書櫥只需要五合板 ,生產(chǎn)一張書桌卻需要五合板 ,按家具廠五合板的存有量 ,可生產(chǎn)書櫥600張,若同時(shí)又生產(chǎn)書桌,則生產(chǎn)一張書桌就要減少兩張書櫥,顯然這不合算;第三,生產(chǎn)書櫥的另種材料,即方木料是足夠供應(yīng)的,家具廠方木料存有量為 ,而生產(chǎn)600張書櫥只需要方木料 。
這是一個(gè)特殊的線性規(guī)劃問題,再來研究它的解法。
C.改變這個(gè)例子的個(gè)別條件,再來研究它的解法。
將這個(gè)例子中方木料存有量改為 ,其他條件不變,則
M(100,400)而平行于 的直線 離原點(diǎn)的距離最大,所以最優(yōu)解為(100,400),這時(shí) (元)。
論文,并互相交流。
探究活動(dòng)
如何確定水電站的位置
小河同側(cè)有兩個(gè)村莊A,B,兩村莊計(jì)劃于河上共建一水電站發(fā)電供兩村使用.已知 A,B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m,且兩村相距500m,問水電站建于何處,送電到兩村電線用料最省?
[解]視兩村莊為兩點(diǎn)A,B,小河為一條直線L,原問題便轉(zhuǎn)化成在直線上找一點(diǎn)P,使P點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)距離之和為最小的問題.
以L所在直線為 軸, 軸通過A點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.作A關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn) ,連 , 與 軸交于點(diǎn)P.由平面幾何知識(shí)得,點(diǎn)P即為所求.據(jù)已知條件,A(0,300), (0,-300).過B作 軸于點(diǎn) ,過A作 ,于點(diǎn)H.
由 , ,得B(300,700).于是直線 的方程為
即
所以P點(diǎn)的坐標(biāo)即為 與 軸的交點(diǎn)(90,0),即水電站應(yīng)建在河邊兩村間且離A村距河邊的最近點(diǎn)90 m的地方
研究性課題與實(shí)習(xí)作業(yè) :線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用
線性規(guī)劃 篇11
線性規(guī)劃教學(xué)設(shè)計(jì)方案(二)
教學(xué)目標(biāo)
鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,能用此來求目標(biāo)函數(shù)的最值.
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn).
如何擾實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答是教學(xué)難點(diǎn) .
教學(xué)步驟
【新課引入】
我們知道,二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區(qū)域,在這里開始,教學(xué)又翻開了新的一頁(yè),在今后的學(xué)習(xí)中,我們可以逐步看到它的運(yùn)用.
【線性規(guī)劃】
先討論下面的問題
設(shè) ,式中變量x、y滿足下列條件
①
求z的最大值和最小值.
我們先畫出不等式組①表示的平面區(qū)域,如圖中 內(nèi)部且包括邊界.點(diǎn)(0,0)不在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi),當(dāng) 時(shí), ,點(diǎn)(0,0)在直線 上.
作一組和 平等的直線
可知,當(dāng)l在 的右上方時(shí),直線l上的點(diǎn) 滿足 .
即 ,而且l往右平移時(shí),t隨之增大,在經(jīng)過不等式組①表示的三角形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線中,以經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)的直線l,所對(duì)應(yīng)的t最大,以經(jīng)過點(diǎn) 的直線 ,所對(duì)應(yīng)的t最小,所以
在上述問題中,不等式組①是一組對(duì)變量x、y的約束條件,這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式,所以又稱線性約束條件.
是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式,叫做目標(biāo)函數(shù),由于 又是x、y的解析式,所以又叫線性目標(biāo)函數(shù),上述問題就是求線性目標(biāo)函數(shù) 在線性約束條件①下的最大值和最小值問題.
線性約束條件除了用一次不等式表示外,有時(shí)也有一次方程表示.
一般地,求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題,滿足線性約束條件的解 叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域,在上述問題中,可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域,其中可行解(5,2)和(1,1)分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值,它們都叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解.
【應(yīng)用舉例】
例1 解下列線性規(guī)劃問題:求 的最大值和最小值,使式中的x、y滿足約束條件
解:先作出可行域,見圖中 表示的區(qū)域,且求得 .
作出直線 ,再將直線 平移,當(dāng) 的平行線 過B點(diǎn)時(shí),可使 達(dá)到最小值,當(dāng) 的平行線 過C點(diǎn)時(shí),可使 達(dá)到最大值.
通過這個(gè)例子講清楚線性規(guī)劃的步驟,即:
第一步:在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域;
第二步:在可行域內(nèi)找出最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn);
第三步:解方程的最優(yōu)解,從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.
例2 解線性規(guī)劃問題:求 的最大值,使式中的x、y滿足約束條件.
解:作出可行域,見圖,五邊形OABCD表示的平面區(qū)域.
作出直線 將它平移至點(diǎn)B,顯然,點(diǎn)B的坐標(biāo)是可行域中的最優(yōu)解,它使 達(dá)到最大值,解方程組 得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9,2).
∴
這個(gè)例題可在教師的指導(dǎo)下,由學(xué)生解出.在此例中,若目標(biāo)函數(shù)設(shè)為 ,約束條件不變,則z的最大值在點(diǎn)C(3,6)處取得.事實(shí)上,可行域內(nèi)最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在何處,與目標(biāo)函數(shù) 所確定的直線 的斜率 有關(guān).就這個(gè)例子而言,當(dāng) 的斜率為負(fù)數(shù)時(shí),即 時(shí),若 (直線 的斜率)時(shí),線段BC上所有點(diǎn)都是使z取得最大值(如本例);當(dāng) 時(shí),點(diǎn)C處使z取得最大值(比如: 時(shí)),若 ,可請(qǐng)同學(xué)思考.
隨堂練習(xí)
1.求 的最小值,使式中的 滿足約束條件
2.求 的最大值,使式中 滿足約束條件
答案:1. 時(shí), .
2. 時(shí), .
總結(jié)提煉
1.線性規(guī)劃的概念.
2.線性規(guī)劃的問題解法.
布置作業(yè)
1.求 的最大值,使式中的 滿足條件
2.求 的最小值,使 滿足下列條件
答案:1.
2.在可行域內(nèi)整點(diǎn)中,點(diǎn)(5,2)使z最小,
探究活動(dòng)
利潤(rùn)的線性規(guī)劃 [問題]某企業(yè)1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元,1998年的利潤(rùn)為7萬(wàn)元,1999年的利潤(rùn)為81元,請(qǐng)你根據(jù)以上信息擬定兩個(gè)不同的利潤(rùn)增長(zhǎng)直線方程,從而預(yù)2001年企業(yè)的利潤(rùn),請(qǐng)問你幫該企業(yè)預(yù)測(cè)的利潤(rùn)是多少萬(wàn)?
[分析]首先應(yīng)考慮在平面直角坐標(biāo)系中如何描述題中信息:“1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元,1998年的利潤(rùn)為7萬(wàn)元,1999年的利潤(rùn)為8萬(wàn)元”,在確定這三點(diǎn)坐標(biāo)后,如何運(yùn)用這三點(diǎn)坐標(biāo),是僅用其中的兩點(diǎn),還是三點(diǎn)信息的綜合運(yùn)用,運(yùn)用時(shí)要注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過特殊點(diǎn)的直線、平行某個(gè)線段的直線、與某些點(diǎn)距離最小的直線作為預(yù)測(cè)直線等等.
建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 (0,5),1998年的利潤(rùn)為 7萬(wàn)元及1999年的利潤(rùn)為 8萬(wàn)元分別對(duì)應(yīng)點(diǎn) (1,7)和 (2,8),那么
①若將過 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為13萬(wàn)元.
②若將過 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11萬(wàn)元.
③若將過 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為10萬(wàn)元.
④若將過 及線段 的中點(diǎn) 的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11.667萬(wàn)元.
⑤若將過 及 的重心 (注: 為3年的年平均利潤(rùn))的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11.667萬(wàn)元.
⑥若將過 及 的重心 的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為10.667萬(wàn)元.
⑦若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線,則預(yù)測(cè)直線 的方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為9萬(wàn)元.
⑧若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線,則預(yù)測(cè)直線 的方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11.5萬(wàn)元.
⑨若將過點(diǎn) 且以線段 的斜率 為斜率的直線,作為預(yù)測(cè)直線,則預(yù)測(cè)直線 的方程為; ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為12萬(wàn)元.
⑩若將過 且以線段 的斜率 與線段 的斜率 的平均數(shù)為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線,則預(yù)測(cè)直線 的方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為12萬(wàn)元.
如此這樣,還有其他方案,在此不—一列舉.
[思考](1)第⑤種方案與第④種方案的結(jié)果完全一致,這是為什么?
(2)第⑦種方案中, 的現(xiàn)實(shí)意義是什么?
(3)根據(jù)以上的基本解題思路,請(qǐng)你思考新的方案.如方案⑥中,過 的重心 ,找出以 為斜率的直線中與 兩點(diǎn)的距離的平方和最小的直線作為預(yù)測(cè)直線.
(4)根據(jù)以上結(jié)論及你自己的答案估計(jì)一下利潤(rùn)的范圍,你預(yù)測(cè)的利潤(rùn)頻率出現(xiàn)最多的是哪一個(gè)值?你認(rèn)為將你預(yù)測(cè)的結(jié)論作怎樣的處理,使之得到的利潤(rùn)預(yù)測(cè)更為有效?如果不要求用線性預(yù)測(cè),你能得出什么結(jié)果?
線性規(guī)劃 篇12
教學(xué)目標(biāo)
(1)使學(xué)生了解并會(huì)用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域;
(2)了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(3)了解線性規(guī)化問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;
(4)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問題的能力;
(5)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí),激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新.
教學(xué)建議
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
教科書首先通過一個(gè)具體問題,介紹了二元一次不等式表示平面區(qū)域.再通過一個(gè)具體實(shí)例,介紹了線性規(guī)化問題及有關(guān)的幾個(gè)基本概念及一種基本解法-圖解法,并利用幾道例題說明線性規(guī)化在實(shí)際中的應(yīng)用.
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
本小節(jié)的重點(diǎn)是二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域.
對(duì)學(xué)生來說,二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域是一個(gè)比較陌生、抽象的概念,按高二學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)和認(rèn)知水平難以透徹理解,因此學(xué)習(xí)二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域分為兩個(gè)大的層次:
(1)二元一次不等式表示平面區(qū)域.首先通過建立新舊知識(shí)的聯(lián)系,自然地給出概念.明確二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包含邊界直線(畫成虛線).其次再擴(kuò)大到所表示的平面區(qū)域是包含邊界直線且要把邊界直線畫成實(shí)線.
(2)二元一次不等式組表示平面區(qū)域.在理解二元一次不等式表示平面區(qū)域含義的基礎(chǔ)上,畫不等式組所表示的平面區(qū)域,找出各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.這是學(xué)生對(duì)代數(shù)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為幾何問題以及數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問題的基礎(chǔ).
難點(diǎn)是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答.
對(duì)許多學(xué)生來說,從抽象到的化歸并不比從具體到抽象遇到的問題少,學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見困難是不會(huì)將實(shí)際問題提煉成數(shù)學(xué)問題,即不會(huì)建模.所以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點(diǎn),并緊緊圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件,找出約束條件和目標(biāo)函數(shù),然后利用圖解法求出最優(yōu)解作為突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵.
對(duì)學(xué)生而言解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類:①不能正確理解題意,弄清各元素之間的關(guān)系;②不能分清問題的主次關(guān)系,因而抓不住問題的本質(zhì),無(wú)法建立數(shù)學(xué)模型;③孤立地考慮單個(gè)的問題情景,不能多方聯(lián)想,形成正遷移.針對(duì)這些障礙以及題目本身文字過長(zhǎng)等因素,將本課設(shè)計(jì)為計(jì)算機(jī)輔助教學(xué),從而將實(shí)際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前,以利于理解;分析完題后,能夠抓住問題的本質(zhì)特征,從而將實(shí)際問題抽象概括為線性規(guī)劃問題.另外,利用計(jì)算機(jī)可以較快地幫助學(xué)生掌握尋找整點(diǎn)最優(yōu)解的方法.
三、教法建議
(1)對(duì)學(xué)生來說,二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域是一個(gè)比較陌生的概念,不象二元一次方程表示直線那樣已早有所知,為使學(xué)生對(duì)這一概念的引進(jìn)不感到突然,應(yīng)建立新舊知識(shí)的聯(lián)系,以便自然地給出概念
(2)建議將本節(jié)新課講授分為五步(思考、嘗試、猜想、證明、歸納)來進(jìn)行,目的是為了分散難點(diǎn),層層遞進(jìn),突出重點(diǎn),只要學(xué)生對(duì)舊知識(shí)掌握較好,完全有可能由學(xué)生主動(dòng)去探求新知,得出結(jié)論.
(3)要舉幾個(gè)典型例題,特別是似是而非的例子,對(duì)理解二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的含義是十分必要的.
(4)建議通過本節(jié)教學(xué)著重培養(yǎng)學(xué)生掌握“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想,盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”,但同時(shí)也用“形”去研究“數(shù)”,這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測(cè)、歸納等數(shù)學(xué)能力是大有益處的.
(5)對(duì)作業(yè) 、思考題、研究性題的建議:①作業(yè) 主要訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范的解題步驟和作圖能力;②思考題主要供學(xué)有余力的學(xué)生課后完成;③研究性題綜合性較大,主要用于拓寬學(xué)生的思維.
(6)若實(shí)際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解,而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解(近似解),應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù),在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點(diǎn),不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找.
如果可行域中的整點(diǎn)數(shù)目很少,采用逐個(gè)試驗(yàn)法也可.
(7)在線性規(guī)劃的實(shí)際問題中,主要掌握兩種類型:一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源,問怎樣運(yùn)用這些資源能使完成的任務(wù)量最大,收到的效益最大;二是給定一項(xiàng)任務(wù)問怎樣統(tǒng)籌安排,能使完成的這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最小.
線性規(guī)劃教學(xué)設(shè)計(jì)方案(一)
教學(xué)目標(biāo)
使學(xué)生了解并會(huì)作二元一次不等式和不等式組表示的區(qū)域.
重點(diǎn)難點(diǎn)
了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.
教學(xué)過程
【引入新課】
我們知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直線上的點(diǎn)集,那么在平面坐標(biāo)系中,二元一次不等式的解集的意義是什么呢?
【二元一次不等式表示的平面區(qū)域】
1.先分析一個(gè)具體的例子
我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,以二元一次方程 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合 是經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和(1,0)的一條直線l(如圖)那么,以二元一次不等式(即含有兩個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)都是1的不等式) 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合 是什么圖形呢?
在平面直角坐標(biāo)系中,所有點(diǎn)被直線l分三類:①在l上;②在l的右上方的平面區(qū)域;③在l的左下方的平面區(qū)域(如圖)取集合A的點(diǎn)(1,1)、(1,2)、(2,2)等,我們發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)都在l的右上方的平面區(qū)域,而點(diǎn)(0,0)、(-1,-1)等等不屬于A,它們滿足不等式 ,這些點(diǎn)卻在l的左下方的平面區(qū)域.
由此我們猜想,對(duì)直線l右上方的任意點(diǎn) 成立;對(duì)直線l左下方的任意點(diǎn) 成立,下面我們證明這個(gè)事實(shí).
在直線 上任取一點(diǎn) ,過點(diǎn)P作垂直于y軸的直線 ,在此直線上點(diǎn)P右側(cè)的任意一點(diǎn) ,都有 ∴
于是
所以
因?yàn)辄c(diǎn) ,是L上的任意點(diǎn),所以,對(duì)于直線 右上方的任意點(diǎn) ,
都成立
同理,對(duì)于直線 左下方的任意點(diǎn) ,
都成立
所以,在平面直角坐標(biāo)系中,以二元一次不等式 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集點(diǎn).
是直線 右上方的平面區(qū)域(如圖)
類似地,在平面直角坐標(biāo)系中,以二元一次不等式 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合 是直線 左下方的平面區(qū)域.
2.二元一次不等式 和 表示平面域.
(1)結(jié)論:二元一次不等式 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線 某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.
把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線,若畫不等式 就表示的面區(qū)域時(shí),此區(qū)域包括邊界直線,則把邊界直線畫成實(shí)線.
(2)判斷方法:由于對(duì)在直線 同一側(cè)的所有點(diǎn) ,把它的坐標(biāo) 代入 ,所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同,故只需在這條直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn) ,以 的正負(fù)情況便可判斷 表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域,特殊地,當(dāng) 時(shí),常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn).
【應(yīng)用舉例】
例1 畫出不等式 表示的平面區(qū)域
解;先畫直線 (畫線虛線)取原點(diǎn)(0,0),代入 ,
∴ ∴ 原點(diǎn)在不等式 表示的平面區(qū)域內(nèi),不等式 表示的平面區(qū)域如圖陰影部分.
例2 畫出不等式組
表示的平面區(qū)域
分析:在不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集,因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.
解:不等式 表示直線 上及右上方的平面區(qū)域, 表示直線 上及右上方的平面區(qū)域, 上及左上方的平面區(qū)域,所以原不等式表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分.
課堂練習(xí)
作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域.
(1) (2) (3)
(4) (5)
總結(jié)提煉
1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域.
2.二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法.
3.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域.
布置作業(yè)
1.不等式 表示的區(qū)域在 的( ).
A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方
2.不等式 表示的平面區(qū)域是( ).
3.不等式組 表示的平面區(qū)域是( ).
4.直線 右上方的平面區(qū)域可用不等式 表示.
5.不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)是 .
6.畫出 表示的區(qū)域.
答案:
1.B 2.D 3.B 4. 5.(-1,-1)
6.
線性規(guī)劃 篇13
教學(xué)目標(biāo)
(1)使學(xué)生了解并會(huì)用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域;
(2)了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(3)了解線性規(guī)化問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;
(4)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問題的能力;
(5)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí),激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新.
教學(xué)建議
一、知識(shí)結(jié)構(gòu)
教科書首先通過一個(gè)具體問題,介紹了二元一次不等式表示平面區(qū)域.再通過一個(gè)具體實(shí)例,介紹了線性規(guī)化問題及有關(guān)的幾個(gè)基本概念及一種基本解法-圖解法,并利用幾道例題說明線性規(guī)化在實(shí)際中的應(yīng)用.
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
本小節(jié)的重點(diǎn)是二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域.
對(duì)學(xué)生來說,二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域是一個(gè)比較陌生、抽象的概念,按高二學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)和認(rèn)知水平難以透徹理解,因此學(xué)習(xí)二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域分為兩個(gè)大的層次:
(1)二元一次不等式表示平面區(qū)域.首先通過建立新舊知識(shí)的聯(lián)系,自然地給出概念.明確二元一次不等式在平面直角坐標(biāo)系中表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域不包含邊界直線(畫成虛線).其次再擴(kuò)大到所表示的平面區(qū)域是包含邊界直線且要把邊界直線畫成實(shí)線.
(2)二元一次不等式組表示平面區(qū)域.在理解二元一次不等式表示平面區(qū)域含義的基礎(chǔ)上,畫不等式組所表示的平面區(qū)域,找出各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.這是學(xué)生對(duì)代數(shù)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為幾何問題以及數(shù)學(xué)建模方法解決實(shí)際問題的基礎(chǔ).
難點(diǎn)是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答.
對(duì)許多學(xué)生來說,從抽象到的化歸并不比從具體到抽象遇到的問題少,學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的最常見困難是不會(huì)將實(shí)際問題提煉成數(shù)學(xué)問題,即不會(huì)建模.所以把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題作為本節(jié)的難點(diǎn),并緊緊圍繞如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題中的已知條件,找出約束條件和目標(biāo)函數(shù),然后利用圖解法求出最優(yōu)解作為突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵.
對(duì)學(xué)生而言解決應(yīng)用問題的障礙主要有三類:①不能正確理解題意,弄清各元素之間的關(guān)系;②不能分清問題的主次關(guān)系,因而抓不住問題的本質(zhì),無(wú)法建立數(shù)學(xué)模型;③孤立地考慮單個(gè)的問題情景,不能多方聯(lián)想,形成正遷移.針對(duì)這些障礙以及題目本身文字過長(zhǎng)等因素,將本課設(shè)計(jì)為計(jì)算機(jī)輔助教學(xué),從而將實(shí)際問題鮮活直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前,以利于理解;分析完題后,能夠抓住問題的本質(zhì)特征,從而將實(shí)際問題抽象概括為線性規(guī)劃問題.另外,利用計(jì)算機(jī)可以較快地幫助學(xué)生掌握尋找整點(diǎn)最優(yōu)解的方法.
三、教法建議
(1)對(duì)學(xué)生來說,二元一次不等式(組)表示平面的區(qū)域是一個(gè)比較陌生的概念,不象二元一次方程表示直線那樣已早有所知,為使學(xué)生對(duì)這一概念的引進(jìn)不感到突然,應(yīng)建立新舊知識(shí)的聯(lián)系,以便自然地給出概念
(2)建議將本節(jié)新課講授分為五步(思考、嘗試、猜想、證明、歸納)來進(jìn)行,目的是為了分散難點(diǎn),層層遞進(jìn),突出重點(diǎn),只要學(xué)生對(duì)舊知識(shí)掌握較好,完全有可能由學(xué)生主動(dòng)去探求新知,得出結(jié)論.
(3)要舉幾個(gè)典型例題,特別是似是而非的例子,對(duì)理解二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的含義是十分必要的.
(4)建議通過本節(jié)教學(xué)著重培養(yǎng)學(xué)生掌握“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想,盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究“形”,但同時(shí)也用“形”去研究“數(shù)”,這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測(cè)、歸納等數(shù)學(xué)能力是大有益處的.
(5)對(duì)作業(yè) 、思考題、研究性題的建議:①作業(yè) 主要訓(xùn)練學(xué)生規(guī)范的解題步驟和作圖能力;②思考題主要供學(xué)有余力的學(xué)生課后完成;③研究性題綜合性較大,主要用于拓寬學(xué)生的思維.
(6)若實(shí)際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解,而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解(近似解),應(yīng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整,其方法應(yīng)以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依據(jù),在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點(diǎn),不要在用圖解法所得到的近似解附近尋找.
如果可行域中的整點(diǎn)數(shù)目很少,采用逐個(gè)試驗(yàn)法也可.
(7)在線性規(guī)劃的實(shí)際問題中,主要掌握兩種類型:一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源,問怎樣運(yùn)用這些資源能使完成的任務(wù)量最大,收到的效益最大;二是給定一項(xiàng)任務(wù)問怎樣統(tǒng)籌安排,能使完成的這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最小.
線性規(guī)劃教學(xué)設(shè)計(jì)方案(一)
教學(xué)目標(biāo)
使學(xué)生了解并會(huì)作二元一次不等式和不等式組表示的區(qū)域.
重點(diǎn)難點(diǎn)
了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.
教學(xué)過程
【引入新課】
我們知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直線上的點(diǎn)集,那么在平面坐標(biāo)系中,二元一次不等式的解集的意義是什么呢?
【二元一次不等式表示的平面區(qū)域】
1.先分析一個(gè)具體的例子
我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,以二元一次方程 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合 是經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和(1,0)的一條直線l(如圖)那么,以二元一次不等式(即含有兩個(gè)未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)都是1的不等式) 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合 是什么圖形呢?
在平面直角坐標(biāo)系中,所有點(diǎn)被直線l分三類:①在l上;②在l的右上方的平面區(qū)域;③在l的左下方的平面區(qū)域(如圖)取集合A的點(diǎn)(1,1)、(1,2)、(2,2)等,我們發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)都在l的右上方的平面區(qū)域,而點(diǎn)(0,0)、(-1,-1)等等不屬于A,它們滿足不等式 ,這些點(diǎn)卻在l的左下方的平面區(qū)域.
由此我們猜想,對(duì)直線l右上方的任意點(diǎn) 成立;對(duì)直線l左下方的任意點(diǎn) 成立,下面我們證明這個(gè)事實(shí).
在直線 上任取一點(diǎn) ,過點(diǎn)P作垂直于y軸的直線 ,在此直線上點(diǎn)P右側(cè)的任意一點(diǎn) ,都有 ∴
于是
所以
因?yàn)辄c(diǎn) ,是L上的任意點(diǎn),所以,對(duì)于直線 右上方的任意點(diǎn) ,
都成立
同理,對(duì)于直線 左下方的任意點(diǎn) ,
都成立
所以,在平面直角坐標(biāo)系中,以二元一次不等式 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集點(diǎn).
是直線 右上方的平面區(qū)域(如圖)
類似地,在平面直角坐標(biāo)系中,以二元一次不等式 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合 是直線 左下方的平面區(qū)域.
2.二元一次不等式 和 表示平面域.
(1)結(jié)論:二元一次不等式 在平面直角坐標(biāo)系中表示直線 某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.
把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線,若畫不等式 就表示的面區(qū)域時(shí),此區(qū)域包括邊界直線,則把邊界直線畫成實(shí)線.
(2)判斷方法:由于對(duì)在直線 同一側(cè)的所有點(diǎn) ,把它的坐標(biāo) 代入 ,所得的實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同,故只需在這條直線的某一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn) ,以 的正負(fù)情況便可判斷 表示這一直線哪一側(cè)的平面區(qū)域,特殊地,當(dāng) 時(shí),常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn).
【應(yīng)用舉例】
例1 畫出不等式 表示的平面區(qū)域
解;先畫直線 (畫線虛線)取原點(diǎn)(0,0),代入 ,
∴ ∴ 原點(diǎn)在不等式 表示的平面區(qū)域內(nèi),不等式 表示的平面區(qū)域如圖陰影部分.
例2 畫出不等式組
表示的平面區(qū)域
分析:在不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集,因而是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.
解:不等式 表示直線 上及右上方的平面區(qū)域, 表示直線 上及右上方的平面區(qū)域, 上及左上方的平面區(qū)域,所以原不等式表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分.
課堂練習(xí)
作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域.
(1) (2) (3)
(4) (5)
總結(jié)提煉
1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域.
2.二元一次不等式表示哪個(gè)平面區(qū)域的判斷方法.
3.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域.
布置作業(yè)
1.不等式 表示的區(qū)域在 的( ).
A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方
2.不等式 表示的平面區(qū)域是( ).
3.不等式組 表示的平面區(qū)域是( ).
4.直線 右上方的平面區(qū)域可用不等式 表示.
5.不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo)是 .
6.畫出 表示的區(qū)域.
答案:
1.B 2.D 3.B 4. 5.(-1,-1)
6.
線性規(guī)劃 篇14
線性規(guī)劃教學(xué)設(shè)計(jì)方案(二)
教學(xué)目標(biāo)
鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,能用此來求目標(biāo)函數(shù)的最值.
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn).
如何擾實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答是教學(xué)難點(diǎn).
教學(xué)步驟
【新課引入】
我們知道,二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區(qū)域,在這里開始,教學(xué)又翻開了新的一頁(yè),在今后的學(xué)習(xí)中,我們可以逐步看到它的運(yùn)用.
【線性規(guī)劃】
先討論下面的問題
設(shè) ,式中變量x、y滿足下列條件
①
求z的最大值和最小值.
我們先畫出不等式組①表示的平面區(qū)域,如圖中 內(nèi)部且包括邊界.點(diǎn)(0,0)不在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi),當(dāng) 時(shí), ,點(diǎn)(0,0)在直線 上.
作一組和 平等的直線
可知,當(dāng)l在 的右上方時(shí),直線l上的點(diǎn) 滿足 .
即 ,而且l往右平移時(shí),t隨之增大,在經(jīng)過不等式組①表示的三角形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)且平行于l的直線中,以經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)的直線l,所對(duì)應(yīng)的t最大,以經(jīng)過點(diǎn) 的直線 ,所對(duì)應(yīng)的t最小,所以
在上述問題中,不等式組①是一組對(duì)變量x、y的約束條件,這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式,所以又稱線性約束條件.
是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式,叫做目標(biāo)函數(shù),由于 又是x、y的解析式,所以又叫線性目標(biāo)函數(shù),上述問題就是求線性目標(biāo)函數(shù) 在線性約束條件①下的最大值和最小值問題.
線性約束條件除了用一次不等式表示外,有時(shí)也有一次方程表示.
一般地,求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題,滿足線性約束條件的解 叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域,在上述問題中,可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域,其中可行解(5,2)和(1,1)分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值,它們都叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解.
【應(yīng)用舉例】
例1 解下列線性規(guī)劃問題:求 的最大值和最小值,使式中的x、y滿足約束條件
解:先作出可行域,見圖中 表示的區(qū)域,且求得 .
作出直線 ,再將直線 平移,當(dāng) 的平行線 過B點(diǎn)時(shí),可使 達(dá)到最小值,當(dāng) 的平行線 過C點(diǎn)時(shí),可使 達(dá)到最大值.
通過這個(gè)例子講清楚線性規(guī)劃的步驟,即:
第一步:在平面直角坐標(biāo)系中作出可行域;
第二步:在可行域內(nèi)找出最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn);
第三步:解方程的最優(yōu)解,從而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.
例2 解線性規(guī)劃問題:求 的最大值,使式中的x、y滿足約束條件.
解:作出可行域,見圖,五邊形OABCD表示的平面區(qū)域.
作出直線 將它平移至點(diǎn)B,顯然,點(diǎn)B的坐標(biāo)是可行域中的最優(yōu)解,它使 達(dá)到最大值,解方程組 得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9,2).
∴
這個(gè)例題可在教師的指導(dǎo)下,由學(xué)生解出.在此例中,若目標(biāo)函數(shù)設(shè)為 ,約束條件不變,則z的最大值在點(diǎn)C(3,6)處取得.事實(shí)上,可行域內(nèi)最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在何處,與目標(biāo)函數(shù) 所確定的直線 的斜率 有關(guān).就這個(gè)例子而言,當(dāng) 的斜率為負(fù)數(shù)時(shí),即 時(shí),若 (直線 的斜率)時(shí),線段BC上所有點(diǎn)都是使z取得最大值(如本例);當(dāng) 時(shí),點(diǎn)C處使z取得最大值(比如: 時(shí)),若 ,可請(qǐng)同學(xué)思考.
隨堂練習(xí)
1.求 的最小值,使式中的 滿足約束條件
2.求 的最大值,使式中 滿足約束條件
答案:1. 時(shí), .
2. 時(shí), .
總結(jié)提煉
1.線性規(guī)劃的概念.
2.線性規(guī)劃的問題解法.
布置作業(yè)
1.求 的最大值,使式中的 滿足條件
2.求 的最小值,使 滿足下列條件
答案:1.
2.在可行域內(nèi)整點(diǎn)中,點(diǎn)(5,2)使z最小,
探究活動(dòng)
利潤(rùn)的線性規(guī)劃[問題]某企業(yè)1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元,1998年的利潤(rùn)為7萬(wàn)元,1999年的利潤(rùn)為81元,請(qǐng)你根據(jù)以上信息擬定兩個(gè)不同的利潤(rùn)增長(zhǎng)直線方程,從而預(yù)2001年企業(yè)的利潤(rùn),請(qǐng)問你幫該企業(yè)預(yù)測(cè)的利潤(rùn)是多少萬(wàn)?
[分析]首先應(yīng)考慮在平面直角坐標(biāo)系中如何描述題中信息:“1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元,1998年的利潤(rùn)為7萬(wàn)元,1999年的利潤(rùn)為8萬(wàn)元”,在確定這三點(diǎn)坐標(biāo)后,如何運(yùn)用這三點(diǎn)坐標(biāo),是僅用其中的兩點(diǎn),還是三點(diǎn)信息的綜合運(yùn)用,運(yùn)用時(shí)要注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過特殊點(diǎn)的直線、平行某個(gè)線段的直線、與某些點(diǎn)距離最小的直線作為預(yù)測(cè)直線等等.
建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)1997年的利潤(rùn)為5萬(wàn)元對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 (0,5),1998年的利潤(rùn)為 7萬(wàn)元及1999年的利潤(rùn)為 8萬(wàn)元分別對(duì)應(yīng)點(diǎn) (1,7)和 (2,8),那么
①若將過 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為13萬(wàn)元.
②若將過 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11萬(wàn)元.
③若將過 兩點(diǎn)的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為10萬(wàn)元.
④若將過 及線段 的中點(diǎn) 的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11.667萬(wàn)元.
⑤若將過 及 的重心 (注: 為3年的年平均利潤(rùn))的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11.667萬(wàn)元.
⑥若將過 及 的重心 的直線作為預(yù)測(cè)直線 ,其方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為10.667萬(wàn)元.
⑦若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線,則預(yù)測(cè)直線 的方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為9萬(wàn)元.
⑧若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線,則預(yù)測(cè)直線 的方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為11.5萬(wàn)元.
⑨若將過點(diǎn) 且以線段 的斜率 為斜率的直線,作為預(yù)測(cè)直線,則預(yù)測(cè)直線 的方程為; ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為12萬(wàn)元.
⑩若將過 且以線段 的斜率 與線段 的斜率 的平均數(shù)為斜率的直線作為預(yù)測(cè)直線,則預(yù)測(cè)直線 的方程為: ,這樣預(yù)測(cè)2001年的利潤(rùn)為12萬(wàn)元.
如此這樣,還有其他方案,在此不—一列舉.
[思考](1)第⑤種方案與第④種方案的結(jié)果完全一致,這是為什么?
(2)第⑦種方案中, 的現(xiàn)實(shí)意義是什么?
(3)根據(jù)以上的基本解題思路,請(qǐng)你思考新的方案.如方案⑥中,過 的重心 ,找出以 為斜率的直線中與 兩點(diǎn)的距離的平方和最小的直線作為預(yù)測(cè)直線.
(4)根據(jù)以上結(jié)論及你自己的答案估計(jì)一下利潤(rùn)的范圍,你預(yù)測(cè)的利潤(rùn)頻率出現(xiàn)最多的是哪一個(gè)值?你認(rèn)為將你預(yù)測(cè)的結(jié)論作怎樣的處理,使之得到的利潤(rùn)預(yù)測(cè)更為有效?如果不要求用線性預(yù)測(cè),你能得出什么結(jié)果?
線性規(guī)劃 篇15
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(2)了解線性規(guī)化問題的圖解法;
(3)培養(yǎng)學(xué)生搜集、分析和整理信息的能力,在活動(dòng)中學(xué)會(huì)溝通與合作,培養(yǎng)探索研究的能力和所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力;
(4)引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣,發(fā)展創(chuàng)新精神,培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德.
教學(xué)建議
一、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
學(xué)以致用,培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)是本節(jié)的重要目的。學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)其最終目的就是運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q一些生產(chǎn)、生活中問題,因而本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是:線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用。困難大多是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(既數(shù)學(xué)建模),所以把一些生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,就是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn) 。突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵就在于盡快熟悉生活,了解實(shí)際情況,并與所學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合起來。
二、教法建議
(l)建議可適當(dāng)采用電腦多媒體和投影儀等先進(jìn)手段來輔助教學(xué),以增加課堂容量,增強(qiáng)直觀性,進(jìn)而提高課堂效率.
(2)課堂上可以設(shè)計(jì)幾個(gè)實(shí)際讓學(xué)生分組研討解答,一方面是復(fù)習(xí)線性規(guī)劃問題的一般解法,為總結(jié)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型和常見類型作鋪墊;另一方面,也為接下來到外面分組調(diào)研積累經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生在討論、探究過程中初步學(xué)會(huì)溝通與合作,共同完成活動(dòng)任務(wù).
(3)確定研究課題,建議各小組以三個(gè)常見問題為主,或者根據(jù)本小組實(shí)際自擬課題.
(4)活動(dòng)安排,建議要求各小組分式明確,團(tuán)結(jié)協(xié)作,聽從指揮,注意安全.學(xué)生研究活動(dòng)的成果,可以用研究報(bào)告或論文的形式體現(xiàn).一切以學(xué)生自己的自主探究活動(dòng)為主,教師不能越俎代庖.
(5)對(duì)學(xué)生在課余時(shí)間開展的研究性課題,建議作做好成果展示、評(píng)估和交流.展示不僅可以讓全體學(xué)生來分享成果,享受成功的喜悅,而且還可以鍛煉學(xué)生的組織表達(dá)能力,增強(qiáng)學(xué)生的自信心.通過評(píng)估,可以使同學(xué)清楚地看到自己的優(yōu)點(diǎn)與不足.通過交流研討,分享成果,進(jìn)行思維碰撞,使認(rèn)識(shí)和情感得到提升.
教學(xué)設(shè)計(jì)方案
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(2)了解線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;
(3)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問題的能力;
(4)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí),激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新.
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn)。
如何擾實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答是教學(xué)難點(diǎn) 。
教學(xué)步驟
(一)引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題。那么是否有多個(gè)兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題呢?又什么樣的問題不用線性規(guī)劃知識(shí)來解決呢?
(二)線性規(guī)劃問題的教學(xué)模型
線性規(guī)劃研究的是線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下取最大值或最小值問題,一般地,線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型是
已知 其中 都是常數(shù), 是非負(fù)變量,求 的最大值或最小值,這里 是常量。
前面我們計(jì)論了兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題,這類問題可以用圖解法來求最優(yōu)解,涉及更多變量的線性規(guī)劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來表示它,那么對(duì)四元線性規(guī)劃問題就不能用圖形來求解了,對(duì)這樣的線性規(guī)劃問題怎樣求解,同學(xué)們今后在大學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)得到解決。
線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用
線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用,一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下,如何使用它們來完成最多的任務(wù);二是給定一項(xiàng)任務(wù),如何合理安排和規(guī)劃,能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù),常見問題有:
1.物調(diào)運(yùn)問題
例如,已知 兩煤礦每年的產(chǎn)量,煤需經(jīng) 兩個(gè)車站運(yùn)往外地, 兩個(gè)車站的運(yùn)輸能力是有限的,且已知 兩煤礦運(yùn)往 兩個(gè)車站的運(yùn)輸價(jià)格,煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案,能使總運(yùn)費(fèi)最小?
2.產(chǎn)品安排問題
例如,某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一個(gè)單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的A、B、C三種材料的數(shù)量,此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的,這個(gè)工廠在每個(gè)月中應(yīng)如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),能使每月獲得的總利潤(rùn)最大?
3.下料問題
例如,要把一批長(zhǎng)鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管,應(yīng)怎樣下料能使損耗最小?
4.研究一個(gè)例子
下面的問題,能否用線性規(guī)劃求解?如能,請(qǐng)同學(xué)們解出來。
某家具廠有方木料 ,五合板 ,準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售,已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料 、五合板 ,生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料 、五合板 ,出售一張書桌可獲利潤(rùn)80元,出售一個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元,如果只安排生產(chǎn)書桌,可獲利潤(rùn)多少?如何只安排生產(chǎn)書櫥,可獲利潤(rùn)多少?怎樣安排生產(chǎn)時(shí)可使所得利潤(rùn)最大?
A.教師指導(dǎo)同學(xué)們逐步解答:
(1)先將已知數(shù)據(jù)列成下表
(2)設(shè)生產(chǎn)書桌x張,生產(chǎn)書櫥y張,獲利潤(rùn)為z元。
分析:顯然這是一個(gè)二元線性問題,可歸結(jié)于線性規(guī)劃問題,并可用圖解法求解。
(3)目標(biāo)函數(shù)
①在第一個(gè)問題中,即只生產(chǎn)書桌,則 ,約束條件為
∴ 最多生產(chǎn)300張書桌,獲利潤(rùn) 元
這樣安排生產(chǎn),五合板先用光,方木料只用了 ,還有 沒派上用場(chǎng)。
②在第二個(gè)問題中,即只生產(chǎn)書櫥,則 ,約束條件是
∴ 最多生產(chǎn)600張書櫥,獲利潤(rùn) 元
這樣安排生產(chǎn),五合板也全用光,方木料用去了 ,仍有 沒派上用場(chǎng),獲利潤(rùn)比只生產(chǎn)書桌多了48000元。
③在第三個(gè)問題中,即怎樣安排生產(chǎn),可獲利潤(rùn)最大?
,約束條件為
對(duì)此,我們用圖解法求解,
先作出可行域,如圖陰影部分。
時(shí)得直線 與 平行的直線 過可行域內(nèi)的點(diǎn)M(0,600)。因?yàn)榕c 平等的過可行域內(nèi)的點(diǎn)的所有直線中, 距原點(diǎn)最遠(yuǎn),所以最優(yōu)解為 ,即此時(shí)
因此,只生產(chǎn)書櫥600張可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是72000元。
B.討論
為什么會(huì)出現(xiàn)只生產(chǎn)書櫥,可獲最大利潤(rùn)的情形呢?第一,書櫥比書桌價(jià)格高,因此應(yīng)該盡可能多生產(chǎn)書櫥;第二,生產(chǎn)一張書櫥只需要五合板 ,生產(chǎn)一張書桌卻需要五合板 ,按家具廠五合板的存有量 ,可生產(chǎn)書櫥600張,若同時(shí)又生產(chǎn)書桌,則生產(chǎn)一張書桌就要減少兩張書櫥,顯然這不合算;第三,生產(chǎn)書櫥的另種材料,即方木料是足夠供應(yīng)的,家具廠方木料存有量為 ,而生產(chǎn)600張書櫥只需要方木料 。
這是一個(gè)特殊的線性規(guī)劃問題,再來研究它的解法。
C.改變這個(gè)例子的個(gè)別條件,再來研究它的解法。
將這個(gè)例子中方木料存有量改為 ,其他條件不變,則
作出可行域,如圖陰影部分,且過可行域內(nèi)點(diǎn)M(100,400)而平行于 的直線 離原點(diǎn)的距離最大,所以最優(yōu)解為(100,400),這時(shí) (元)。
故生產(chǎn)書桌100、書櫥400張,可獲最大利潤(rùn)56000元。
總結(jié)、擴(kuò)展
1.線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型。
2.線性規(guī)劃在兩類問題中的應(yīng)用
布置作業(yè)
到附近的工廠、鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)、商店、學(xué)校等作調(diào)查研究,了解線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用,或提出能用線性規(guī)劃的知識(shí)提高生產(chǎn)效率的實(shí)際問題,并作出解答。把實(shí)習(xí)和研究活動(dòng)的成果寫成實(shí)習(xí)報(bào)告、研究報(bào)告或小論文,并互相交流。
探究活動(dòng)
如何確定水電站的位置
小河同側(cè)有兩個(gè)村莊A,B,兩村莊計(jì)劃于河上共建一水電站發(fā)電供兩村使用.已知 A,B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m,且兩村相距500m,問水電站建于何處,送電到兩村電線用料最省?
[解]視兩村莊為兩點(diǎn)A,B,小河為一條直線L,原問題便轉(zhuǎn)化成在直線上找一點(diǎn)P,使P點(diǎn)到A,B兩點(diǎn)距離之和為最小的問題.
以L所在直線為 軸, 軸通過A點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.作A關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn) ,連 , 與 軸交于點(diǎn)P.由平面幾何知識(shí)得,點(diǎn)P即為所求.據(jù)已知條件,A(0,300), (0,-300).過B作 軸于點(diǎn) ,過A作 ,于點(diǎn)H.
由 , ,得B(300,700).于是直線 的方程為
即
所以P點(diǎn)的坐標(biāo)即為 與 軸的交點(diǎn)(90,0),即水電站應(yīng)建在河邊兩村間且離A村距河邊的最近點(diǎn)90 m的地方
研究性課題與實(shí)習(xí)作業(yè) :線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用
線性規(guī)劃 篇16
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(2)了解線性規(guī)化問題的圖解法;
(3)培養(yǎng)學(xué)生搜集、分析和整理信息的能力,在活動(dòng)中學(xué)會(huì)溝通與合作,培養(yǎng)探索研究的能力和所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力;
(4)引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣,發(fā)展創(chuàng)新精神,培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德.
教學(xué)建議
一、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
學(xué)以致用,培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)是本節(jié)的重要目的。學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)其最終目的就是運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q一些生產(chǎn)、生活中問題,因而本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是:線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用。困難大多是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(既數(shù)學(xué)建模),所以把一些生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,就是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵就在于盡快熟悉生活,了解實(shí)際情況,并與所學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合起來。
二、教法建議
(l)建議可適當(dāng)采用電腦多媒體和投影儀等先進(jìn)手段來輔助教學(xué),以增加課堂容量,增強(qiáng)直觀性,進(jìn)而提高課堂效率.
(2)課堂上可以設(shè)計(jì)幾個(gè)實(shí)際讓學(xué)生分組研討解答,一方面是復(fù)習(xí)線性規(guī)劃問題的一般解法,為總結(jié)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型和常見類型作鋪墊;另一方面,也為接下來到外面分組調(diào)研積累經(jīng)驗(yàn),讓學(xué)生在討論、探究過程中初步學(xué)會(huì)溝通與合作,共同完成活動(dòng)任務(wù).
(3)確定研究課題,建議各小組以三個(gè)常見問題為主,或者根據(jù)本小組實(shí)際自擬課題.
(4)活動(dòng)安排,建議要求各小組分式明確,團(tuán)結(jié)協(xié)作,聽從指揮,注意安全.學(xué)生研究活動(dòng)的成果,可以用研究報(bào)告或論文的形式體現(xiàn).一切以學(xué)生自己的自主探究活動(dòng)為主,教師不能越俎代庖.
(5)對(duì)學(xué)生在課余時(shí)間開展的研究性課題,建議作做好成果展示、評(píng)估和交流.展示不僅可以讓全體學(xué)生來分享成果,享受成功的喜悅,而且還可以鍛煉學(xué)生的組織表達(dá)能力,增強(qiáng)學(xué)生的自信心.通過評(píng)估,可以使同學(xué)清楚地看到自己的優(yōu)點(diǎn)與不足.通過交流研討,分享成果,進(jìn)行思維碰撞,使認(rèn)識(shí)和情感得到提升.
教學(xué)設(shè)計(jì)方案
教學(xué)目標(biāo)
(1)了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念;
(2)了解線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題;
(3)培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高學(xué)生“建模”和解決實(shí)際問題的能力;
(4)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí),激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新.
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn)。
如何擾實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題,并給出解答是教學(xué)難點(diǎn)。
教學(xué)步驟
(一)引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題。那么是否有多個(gè)兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題呢?又什么樣的問題不用線性規(guī)劃知識(shí)來解決呢?
(二)線性規(guī)劃問題的教學(xué)模型
線性規(guī)劃研究的是線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下取最大值或最小值問題,一般地,線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型是
已知 其中 都是常數(shù), 是非負(fù)變量,求 的最大值或最小值,這里 是常量。
前面我們計(jì)論了兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題,這類問題可以用圖解法來求最優(yōu)解,涉及更多變量的線性規(guī)劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來表示它,那么對(duì)四元線性規(guī)劃問題就不能用圖形來求解了,對(duì)這樣的線性規(guī)劃問題怎樣求解,同學(xué)們今后在大學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)得到解決。
線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用
線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用,一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下,如何使用它們來完成最多的任務(wù);二是給定一項(xiàng)任務(wù),如何合理安排和規(guī)劃,能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù),常見問題有:
1.物調(diào)運(yùn)問題
例如,已知 兩煤礦每年的產(chǎn)量,煤需經(jīng) 兩個(gè)車站運(yùn)往外地, 兩個(gè)車站的運(yùn)輸能力是有限的,且已知 兩煤礦運(yùn)往 兩個(gè)車站的運(yùn)輸價(jià)格,煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案,能使總運(yùn)費(fèi)最小?
2.產(chǎn)品安排問題
例如,某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,每生產(chǎn)一個(gè)單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的a、b、c三種材料的數(shù)量,此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的,這個(gè)工廠在每個(gè)月中應(yīng)如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),能使每月獲得的總利潤(rùn)最大?
3.下料問題
例如,要把一批長(zhǎng)鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管,應(yīng)怎樣下料能使損耗最小?
4.研究一個(gè)例子
下面的問題,能否用線性規(guī)劃求解?如能,請(qǐng)同學(xué)們解出來。
某家具廠有方木料 ,五合板 ,準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售,已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料 、五合板 ,生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料 、五合板 ,出售一張書桌可獲利潤(rùn)80元,出售一個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元,如果只安排生產(chǎn)書桌,可獲利潤(rùn)多少?如何只安排生產(chǎn)書櫥,可獲利潤(rùn)多少?怎樣安排生產(chǎn)時(shí)可使所得利潤(rùn)最大?
a.教師指導(dǎo)同學(xué)們逐步解答:
(1)先將已知數(shù)據(jù)列成下表
(2)設(shè)生產(chǎn)書桌x張,生產(chǎn)書櫥y張,獲利潤(rùn)為z元。
分析:顯然這是一個(gè)二元線性問題,可歸結(jié)于線性規(guī)劃問題,并可用圖解法求解。
(3)目標(biāo)函數(shù)
①在第一個(gè)問題中,即只生產(chǎn)書桌,則 ,約束條件為
∴ 最多生產(chǎn)300張書桌,獲利潤(rùn) 元
這樣安排生產(chǎn),五合板先用光,方木料只用了 ,還有 沒派上用場(chǎng)。
②在第二個(gè)問題中,即只生產(chǎn)書櫥,則 ,約束條件是
∴ 最多生產(chǎn)600張書櫥,獲利潤(rùn) 元
這樣安排生產(chǎn),五合板也全用光,方木料用去了 ,仍有 沒派上用場(chǎng),獲利潤(rùn)比只生產(chǎn)書桌多了48000元。
③在第三個(gè)問題中,即怎樣安排生產(chǎn),可獲利潤(rùn)最大?
,約束條件為
對(duì)此,我們用圖解法求解,
先作出可行域,如圖陰影部分。
時(shí)得直線 與 平行的直線 過可行域內(nèi)的點(diǎn)m(0,600)。因?yàn)榕c 平等的過可行域內(nèi)的點(diǎn)的所有直線中, 距原點(diǎn)最遠(yuǎn),所以最優(yōu)解為 ,即此時(shí)
因此,只生產(chǎn)書櫥600張可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)是7XX元。
b.討論
為什么會(huì)出現(xiàn)只生產(chǎn)書櫥,可獲最大利潤(rùn)的情形呢?第一,書櫥比書桌價(jià)格高,因此應(yīng)該盡可能多生產(chǎn)書櫥;第二,生產(chǎn)一張書櫥只需要五合板 ,生產(chǎn)一張書桌卻需要五合板 ,按家具廠五合板的存有量 ,可生產(chǎn)書櫥600張,若同時(shí)又生產(chǎn)書桌,則生產(chǎn)一張書桌就要減少兩張書櫥,顯然這不合算;第三,生產(chǎn)書櫥的另種材料,即方木料是足夠供應(yīng)的,家具廠方木料存有量為 ,而生產(chǎn)600張書櫥只需要方木料 。
這是一個(gè)特殊的線性規(guī)劃問題,再來研究它的解法。
c.改變這個(gè)例子的個(gè)別條件,再來研究它的解法。
將這個(gè)例子中方木料存有量改為 ,其他條件不變,則
作出可行域,如圖陰影部分,且過可行域內(nèi)點(diǎn)m(100,400)而平行于 的直線 離原點(diǎn)的距離最大,所以最優(yōu)解為(100,400),這時(shí) (元)。
故生產(chǎn)書桌100、書櫥400張,可獲最大利潤(rùn)56000元。
總結(jié)、擴(kuò)展
1.線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型。
2.線性規(guī)劃在兩類問題中的應(yīng)用
布置作業(yè)
到附近的工廠、鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)、商店、學(xué)校等作調(diào)查研究,了解線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用,或提出能用線性規(guī)劃的知識(shí)提高生產(chǎn)效率的實(shí)際問題,并作出解答。把實(shí)習(xí)和研究活動(dòng)的成果寫成實(shí)習(xí)報(bào)告、研究報(bào)告或小論文,并互相交流。
探究活動(dòng)
如何確定水電站的位置
小河同側(cè)有兩個(gè)村莊a,b,兩村莊計(jì)劃于河上共建一水電站發(fā)電供兩村使用.已知 a,b兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m,且兩村相距500m,問水電站建于何處,送電到兩村電線用料最省?
[解]視兩村莊為兩點(diǎn)a,b,小河為一條直線l,原問題便轉(zhuǎn)化成在直線上找一點(diǎn)p,使p點(diǎn)到a,b兩點(diǎn)距離之和為最小的問題.
以l所在直線為 軸, 軸通過a點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,如圖所示.作a關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn) ,連 , 與 軸交于點(diǎn)p.由平面幾何知識(shí)得,點(diǎn)p即為所求.據(jù)已知條件,a(0,300), (0,-300).過b作 軸于點(diǎn) ,過a作 ,于點(diǎn)h.
由 , ,得b(300,700).于是直線 的方程為
即
所以p點(diǎn)的坐標(biāo)即為 與 軸的交點(diǎn)(90,0),即水電站應(yīng)建在河邊兩村間且離a村距河邊的最近點(diǎn)90 m的地方