簡單的線性規劃（二）

線性規劃教學設計方案（二）

教學目標

鞏固二元一次不等式和二元一次不等式組所表示的平面區域，能用此來求目標函數的最值.

重點難點

理解二元一次不等式表示平面區域是教學重點.

如何擾實際問題轉化為線性規劃問題，并給出解答是教學難點.

教學步驟

【新課引入】

我們知道，二元一次不等式和二元一次不等式組都表示平面區域，在這里開始，教學又翻開了新的一頁，在今后的學習中，我們可以逐步看到它的運用.

【線性規劃】

先討論下面的問題

設 ，式中變量x、y滿足下列條件

           ①

求z的最大值和最小值.

我們先畫出不等式組①表示的平面區域，如圖中 內部且包括邊界.點（0，0）不在這個三角形區域內，當 時， ，點（0，0）在直線 上.

作一組和 平等的直線

可知，當l在 的右上方時，直線l上的點 滿足 .

即 ，而且l往右平移時，t隨之增大，在經過不等式組①表示的三角形區域內的點且平行于l的直線中，以經過點A（5，2）的直線l，所對應的t最大，以經過點 的直線 ，所對應的t最小，所以

在上述問題中，不等式組①是一組對變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，所以又稱線性約束條件.

是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫做目標函數，由于 又是x、y的解析式，所以又叫線性目標函數，上述問題就是求線性目標函數 在線性約束條件①下的最大值和最小值問題.

線性約束條件除了用一次不等式表示外，有時也有一次方程表示.

一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題，滿足線性約束條件的解 叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域，在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區域，其中可行解（5，2）和（1，1）分別使目標函數取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優解.

【應用舉例】

例1  解下列線性規劃問題：求 的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件

解：先作出可行域，見圖中 表示的區域，且求得 .

作出直線 ，再將直線 平移，當 的平行線 過B點時，可使 達到最小值，當 的平行線 過C點時，可使 達到最大值.

通過這個例子講清楚線性規劃的步驟，即：

第一步：在平面直角坐標系中作出可行域；

第二步：在可行域內找出最優解所對應的點；

第三步：解方程的最優解，從而求出目標函數的最大值或最小值.

例2  解線性規劃問題：求 的最大值，使式中的x、y滿足約束條件.

解：作出可行域，見圖，五邊形OABCD表示的平面區域.

作出直線 將它平移至點B，顯然，點B的坐標是可行域中的最優解，它使 達到最大值，解方程組 得點B的坐標為（9，2）.

∴ 

這個例題可在教師的指導下，由學生解出.在此例中，若目標函數設為 ，約束條件不變，則z的最大值在點C（3，6）處取得.事實上，可行域內最優解對應的點在何處，與目標函數 所確定的直線 的斜率 有關.就這個例子而言，當 的斜率為負數時，即 時，若 （直線 的斜率）時，線段BC上所有點都是使z取得最大值（如本例）；當 時，點C處使z取得最大值（比如： 時），若 ，可請同學思考.

隨堂練習

1.求 的最小值，使式中的 滿足約束條件

2.求 的最大值，使式中 滿足約束條件

答案：1. 時， .

2. 時， .

總結提煉

1.線性規劃的概念.

2.線性規劃的問題解法.

布置作業 

1.求 的最大值，使式中的 滿足條件

2.求 的最小值，使 滿足下列條件

答案：1.

2.在可行域內整點中，點（5，2）使z最小，

探究活動

利潤的線性規劃［問題］某企業1997年的利潤為5萬元，1998年的利潤為7萬元，1999年的利潤為81元，請你根據以上信息擬定兩個不同的利潤增長直線方程，從而預2001年企業的利潤，請問你幫該企業預測的利潤是多少萬？

［分析］首先應考慮在平面直角坐標系中如何描述題中信息：“1997年的利潤為5萬元，1998年的利潤為7萬元，1999年的利潤為8萬元”，在確定這三點坐標后，如何運用這三點坐標，是僅用其中的兩點，還是三點信息的綜合運用，運用時要注意有其合理性、思考的方向可以考慮將通過特殊點的直線、平行某個線段的直線、與某些點距離最小的直線作為預測直線等等.

建立平面直角坐標系，設1997年的利潤為5萬元對應的點為 （0，5），1998年的利潤為 7萬元及1999年的利潤為 8萬元分別對應點 （1，7）和 （2，8），那么

①若將過 兩點的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為13萬元.

②若將過 兩點的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11萬元.

③若將過 兩點的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為10萬元.

④若將過 及線段 的中點 的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11.667萬元.

⑤若將過 及 的重心 （注： 為3年的年平均利潤）的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11.667萬元.

⑥若將過 及 的重心 的直線作為預測直線 ，其方程為： ，這樣預測2001年的利潤為10.667萬元.

⑦若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預測直線，則預測直線 的方程為： ，這樣預測2001年的利潤為9萬元.

⑧若將過 且以線段 的斜率 為斜率的直線作為預測直線，則預測直線 的方程為： ，這樣預測2001年的利潤為11.5萬元.

⑨若將過點 且以線段 的斜率 為斜率的直線，作為預測直線，則預測直線 的方程為； ，這樣預測2001年的利潤為12萬元.

⑩若將過 且以線段 的斜率 與線段 的斜率 的平均數為斜率的直線作為預測直線，則預測直線 的方程為： ，這樣預測2001年的利潤為12萬元.

如此這樣，還有其他方案，在此不—一列舉.

［思考］（1）第⑤種方案與第④種方案的結果完全一致，這是為什么？

（2）第⑦種方案中， 的現實意義是什么？

（3）根據以上的基本解題思路，請你思考新的方案.如方案⑥中，過 的重心 ，找出以 為斜率的直線中與 兩點的距離的平方和最小的直線作為預測直線.

（4）根據以上結論及你自己的答案估計一下利潤的范圍，你預測的利潤頻率出現最多的是哪一個值？你認為將你預測的結論作怎樣的處理，使之得到的利潤預測更為有效？如果不要求用線性預測，你能得出什么結果？