三角函數教案（精選4篇）

三角函數教案 篇1

　　1、銳角三角形中,任意兩個內角的和都屬于區間 ,且滿足不等式:

　　即:一角的正弦大于另一個角的余弦。

　　2、若 ,則 ,

　　3、 的圖象的對稱中心為 ( ),對稱軸方程為 。

　　4、 的圖象的對稱中心為 ( ),對稱軸方程為 。

　　5、 及 的圖象的對稱中心為 ( )。

　　6、常用三角公式:

　　有理公式: ;

　　降次公式: , ;

　　萬能公式: , , (其中 )。

　　7、輔助角公式: ,其中 。輔助角 的位置由坐標 決定,即角 的終邊過點 。

　　8、 時, 。

　　9、 。

　　其中 為內切圓半徑, 為外接圓半徑。

　　特別地:直角 中,設c為斜邊,則內切圓半徑 ,外接圓半徑 。

　　10、 的圖象 的圖象( 時,向左平移 個單位, 時,向右平移 個單位)。

　　11、解題時,條件中若有 出現,則可設 ,

　　則 。

　　12、等腰三角形 中,若 且 ,則 。

　　13、若等邊三角形的邊長為 ,則其中線長為 ,面積為 。

　　14、 ;

三角函數教案 篇2

　　二、復習要求

　　1、 三角函數的概念及象限角、弧度制等概念;

　　2、三角公式,包括誘導公式,同角三角函數關系式和差倍半公式等;

　　3、三角函數的圖象及性質。

　　三、學習指導

　　1、角的概念的推廣。從運動的角度,在旋轉方向及旋轉圈數上引進負角及大于3600的角。這樣一來,在直角坐標系中,當角的終邊確定時,其大小不一定(通常把角的始邊放在x軸正半軸上,角的頂點與原點重合,下同)。為了把握這些角之間的聯系,引進終邊相同的角的概念,凡是與終邊α相同的角,都可以表示成k·3600 α的形式,特例,終邊在x軸上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},終邊在y軸上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},終邊在坐標軸上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。

　　在已知三角函數值的大小求角的大小時,通常先確定角的終邊位置,然后再確定大小。

　　弧度制是角的度量的重要表示法,能正確地進行弧度與角度的換算,熟記特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧長公式l=|α|r,扇形面積公式 ,其中α為弧所對圓心角的弧度數。

　　2、利用直角坐標系,可以把直角三角形中的三角函數推廣到任意角的三角數。三角函數定義是本章重點,從它可以推出一些三角公式。重視用數學定義解題。

　　設p(x,y)是角α終邊上任一點(與原點不重合),記 ,則 , , , 。

　　利用三角函數定義,可以得到(1)誘導公式:即 與α之間函數值關系(k∈z),其規律是"奇變偶不變,符號看象限";(2)同角三角函數關系式:平方關系,倒數關系,商數關系。

　　3、三角變換公式包括和、差、倍、半公式,誘導公式是和差公式的特例,對公式要熟練地正用、逆用、變用。如倍角公式:cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,變形后得 ,可以作為降冪公式使用。

　　三角變換公式除用來化簡三角函數式外,還為研究三角函數圖象及性質做準備。

　　4、三角函數的性質除了一般函數通性外,還出現了前面幾種函數所沒有的周期性。周期性的定義:設t為非零常數,若對f(x)定義域中的每一個x,均有f(x t)=f(x),則稱t為f(x)的周期。當t為f(x)周期時,kt(k∈z,k≠0)也為f(x)周期。

　　三角函數圖象是性質的重要組成部分。利用單位圓中的三角函數線作函數圖象稱為幾何作圖法,熟練掌握平移、伸縮、振幅等變換法則。

　　5、本章思想方法

　　(1) 等價變換。熟練運用公式對問題進行轉化,化歸為熟悉的基本問題;

　　(2) 數形結合。充分利用單位圓中的三角函數線及三角函數圖象幫助解題;

　　(3) 分類討論。

　　四、典型例題

　　例1、 已知函數f(x)=

　　(1) 求它的定義域和值域;

　　(2) 求它的單調區間;

　　(3) 判斷它的奇偶性;

　　(4) 判斷它的周期性。

　　分析:

　　(1)x必須滿足sinx-cosx>0,利用單位圓中的三角函數線及 ,k∈z

　　∴ 函數定義域為 ,k∈z

　　∵

　　∴ 當x∈ 時,

　　∴

　　∴

　　∴ 函數值域為[ )

　　(3)∵ f(x)定義域在數軸上對應的點關于原點不對稱

　　∴ f(x)不具備奇偶性

　　(4)∵ f(x 2π)=f(x)

　　∴ 函數f(x)最小正周期為2π

　　注;利用單位圓中的三角函數線可知,以ⅰ、ⅱ象限角平分線為標準,可區分sinx-cosx的符號;

　　以ⅱ、ⅲ象限角平分線為標準,可區分sinx cosx的符號,如圖。

　　例2、 化簡 ,α∈(π,2π)

　　分析:

　　湊根號下為完全平方式,化無理式為有理式

　　∵

　　∴ 原式=

　　∵ α∈(π,2π)

　　∴

　　∴

　　當 時,

　　∴ 原式=

　　當 時,

　　∴ 原式=

　　∴ 原式=

　　注:

　　1、本題利用了"1"的逆代技巧,即化1為 ,是欲擒故縱原則。一般地有 , , 。

　　2、三角函數式asinx bcosx是基本三角函數式之一,引進輔助角,將它化為 (取 )是常用變形手段。特別是與特殊角有關的sin±cosx,±sinx± cosx,要熟練掌握變形結論。

　　例3、 求 。

　　分析:

　　原式=

　　注:在化簡三角函數式過程中,除利用三角變換公式,還需用到代數變形公式,如本題平方差公式。

　　例4、已知00<α<β<900,且sinα,sinβ是方程 =0的兩個實數根,求sin(β-5α)的值。

　　分析:

　　由韋達定理得sinα sinβ= cos400,sinαsinβ=cos2400-

　　∴ sinβ-sinα=

　　又sinα sinβ= cos400

　　∴

　　∵ 00<α<β< 900

　　∴

　　∴ sin(β-5α)=sin600=

　　注:利用韋達定理變形尋找與sinα,sinβ相關的方程組,在求出sinα,sinβ后再利用單調性求α,β的值。

　　例5、(1)已知cos(2α β) 5cosβ=0,求tan(α β)·tanα的值;

　　(2)已知 ,求 的值。

　　分析:

　　(1) 從變換角的差異著手。

　　∵ 2α β=(α β) α,β=(α β)-α

　　∴ 8cos[(α β) α] 5cos[(α β)-α]=0

　　展開得:

　　13cos(α β)cosα-3sin(α β)sinα=0

　　同除以cos(α β)cosα得:tan(α β)tanα=

　　(2) 以三角函數結構特點出發

　　∵

　　∴

　　∴ tanθ=2

　　∴

　　注;齊次式是三角函數式中的基本式,其處理方法是化切或降冪。

　　例6、已知函數 (a∈(0,1)),求f(x)的最值,并討論周期性,奇偶性,單調性。

　　分析:

　　對三角函數式降冪

　　∴ f(x)=

　　令

　　則 y=au

　　∴ 0<a<1

　　∴ y=au是減函數

　　∴ 由 得 ,此為f(x)的減區間

　　由 得 ,此為f(x)增區間

　　∵ u(-x)=u(x)

　　∴ f(x)=f(-x)

　　∴ f(x)為偶函數

　　∵ u(x π)=f(x)

　　∴ f(x π)=f(x)

　　∴ f(x)為周期函數,最小正周期為π

　　當x=kπ(k∈z)時,ymin=1

　　當x=kπ (k∈z)時,ynax=

　　注:研究三角函數性質,一般降冪化為y=asin(ωx φ)等一名一次一項的形式。

　　同步

　　(一) 選擇題

　　1、下列函數中,既是(0, )上的增函數,又是以π為周期的偶函數是

　　a、y=lgx2 b、y=|sinx| c、y=cosx d、y=

　　2、 如果函數y=sin2x acos2x圖象關于直線x=- 對稱,則a值為

　　a、 - b、-1 c、1 d、

　　3、函數y=asin(ωx φ)(a>0,φ>0),在一個周期內,當x= 時,ymax=2;當x= 時,ymin=-2,則此函數解析式為

　　a、 b、

　　c、 d、

　　4、已知 =1998,則 的值為

　　a、1997 b、1998 c、1999 d、

　　5、已知tanα,tanβ是方程 兩根,且α,β ,則α β等于

　　a、 b、 或 c、 或 d、

　　6、若 ,則sinx·siny的最小值為

　　a、-1 b、- c、 d、

　　7、函數f(x)=3sin(x 100) 5sin(x 700)的最大值是

　　a、5.5 b、6.5 c、7 d、8

　　8、若θ∈(0,2π],則使sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范圍是

　　a、( ) b、( ) c、( ) d、( )

　　9、下列命題正確的是

　　a、 若α,β是第一象限角,α>β,則sinα>sinβ

　　b、 函數y=sinx·cotx的單調區間是 ,k∈z

　　c、 函數 的最小正周期是2π

　　d、 函數y=sinxcos2φ-cosxsin2x的圖象關于y軸對稱,則 ,k∈z

　　10、 函數 的單調減區間是

　　a、 b、

　　b、 d、 k∈z

　　(二) 填空題

　　11、 函數f(x)=sin(x θ) cos(x-θ)的圖象關于y軸對稱,則θ=________。

　　12、 已知α β= ,且 (tanαtanβ c) tanα=0(c為常數),那么tanβ=______。

　　13、 函數y=2sinxcosx- (cos2x-sin2x)的最大值與最小值的積為________。

　　14、 已知(x-1)2 (y-1)2=1,則x y的最大值為________。

　　15、 函數f(x)=sin3x圖象的對稱中心是________。

　　(三) 解答題

　　16、 已知tan(α-β)= ,tanβ= ,α,β∈(-π,0),求2α-β的值。

　　17、 是否存在實數a,使得函數y=sin2x acosx 在閉區間[0, ]上的最大值是1?若存在,求出對應的a值。

　　18、已知f(x)=5sinxcosx- cos2x (x∈r)

　　(1) 求f(x)的最小正周期;

　　(2) 求f(x)單調區間;

　　(3) 求f(x)圖象的對稱軸,對稱中心。

　　參考答案

　　(一) 選擇題

　　1、b 2、b 3、b 4、b 5、a 6、c 7、c 8、c 9、d 10、b

　　(二) 填空題

　　11、 ,k∈z 12、 13、-4 14、 15、( ,0)

　　(三) 解答題

　　16、

　　17、

　　18、(1)t=π

　　(2)增區間[kπ- ,kπ π],減區間[kπ

　　(3)對稱中心( ,0),對稱軸 ,k∈

三角函數教案 篇3

　　一、 教學目標

　　1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函數的定義(包括定義域、正負符號判斷);了解任意角的余切、正割、余割函數的定義.

　　2.經歷從銳角三角函數定義過度到任意角三角函數定義的推廣過程,體驗三角函數概念的產生、發展過程. 領悟直角坐標系的工具功能,豐富數形結合的經驗.

　　3.培養學生通過現象看本質的唯物主義認識論觀點,滲透事物相互聯系、相互轉化的辯證唯物主義世界觀.

　　4.培養學生求真務實、實事求是的科學態度.

　　二、 重點、難點、關鍵

　　重點:任意角的正弦、余弦、正切函數的定義、定義域、(正負)符號判斷法.

　　難點:把三角函數理解為以實數為自變量的函數.

　　關鍵:如何想到建立直角坐標系;六個比值的確定性( α確定,比值也隨之確定)與依賴性(比值隨著α的變化而變化).

　　三、 教學理念和方法

　　教學中注意用新課程理念處理傳統教材,學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習,而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學,師生互動,教師發揮組織者、引導者、合作者的作用,引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程.

　　根據本節課內容、高一學生認知特點和我自己的教學風格,本節課采用“啟發探索、講練結合”的方法組織教學.

　　四、 教學過程

　　[執教線索:

　　回想再認:函數的概念、銳角三角函數定義(銳角三角形邊角關系)——問題情境:能推廣到任意角嗎?——它山之石:建立直角坐標系(為何?)——優化認知:用直角坐標系研究銳角三角函數——探索發展:對任意角研究六個比值(與角之間的關系:確定性、依賴性,滿足函數定義嗎?)——自主定義:任意角三角函數定義——登高望遠:三角函數的要素分析(對應法則、定義域、值域與正負符號判定)——例題與練習——回顧小結——布置作業]

　　(一)復習引入、回想再認

　　開門見山,面對全體學生提問:

　　在初中我們初步學習了銳角三角函數,前幾節課,我們把銳角推廣到了任意角,學習了角度制和弧度制,這節課該研究什么呢?

　　探索任意角的三角函數(板書課題),請同學們回想,再明確一下:

　　(情景1)什么叫函數?或者說函數是怎樣定義的?

　　讓學生回想后再點名回答,投影顯示規范的定義,教師根據回答情況進行修正、強調:

　　傳統定義:設在一個變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x的每一個值,y都有唯一確定的值和它對應,那么就說y是x的函數,x叫做自變量,自變量x的取值范圍叫做函數的定義域.

　　現代定義:設a、b是非空的數集,如果按某個確定的對應關系f,使對于集合a中的任意一個數,在集合b中都有唯一確定的數 f(x)和它對應,那么就稱映射?:a→b為從集合a到集合b的一個函數,記作:y= f(x),x∈a ,其中x叫自變量,自變量x的取值范圍a叫做函數的定義域.

三角函數教案 篇4

　　一、知識與技能

　　1.能從二倍角的正弦、余弦、正切公式導出半角公式，了解它們的內在聯系;揭示知識背景，引發學生學習興趣，激發學生分析、探求的學習態度，強化學生的參與意識. 并培養學生綜合分析能力.

　　2.掌握公式及其推導過程，會用公式進行化簡、求值和證明。

　　3.通過公式推導，掌握半角與倍角之間及半角公式與倍角公式之間的聯系，培養邏輯推理能力。

　　二、過程與方法

　　1.讓學生自己由倍角公式導出半角公式，領會從一般化歸為特殊的數學思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發學生學數學的興趣;

　　2.通過例題講解，總結方法.通過做練習,鞏固所學知識.

　　三、情感、態度與價值觀

　　1.通過公式的推導，了解半角公式和倍角公式之間的內在聯系，從而培養邏輯推理能力和辯證唯物主義觀點。

　　2.培養用聯系的觀點看問題的觀點。

　　【教學重點與難點】：

　　重點：半角公式的推導與應用(求值、化簡、證明)

　　難點：半角公式與倍角公式之間的內在聯系，以及運用公式時正負號的選取。

　　【學法與教學用具】：

　　1. 學法：

　　(1)自主+探究性學習：讓學生自己由和角公式導出倍角公式，領會從一般化歸為特殊的數學思想，體會公式所蘊涵的和諧美，激發學生學數學的興趣。

　　(2)反饋練習法：以練習來檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內容及其存在的差距.

　　2. 教學方法：觀察、歸納、啟發、探究相結合的教學方法。

　　引導學生復習二倍角公式，按課本知識結構設置提問引導學生動手推導出半角公式，課堂上在老師引導下，以學生為主體，分析公式的結構特征，會根據公式特點得出公式的應用，用公式來進行化簡證明和求值，老師為學生創設問題情景，鼓勵學生積極探究。

　　3. 教學用具：多媒體、實物投影儀.

　　【授課類型】：新授課

　　【課時安排】：1課時

　　【教學思路】：

　　一、創設情景，揭示課題

　　二、研探新知

　　四、鞏固深化，反饋矯正

　　五、歸納整理，整體認識

　　1.鞏固倍角公式，會推導半角公式、和差化積及積化和差公式。

　　2.熟悉"倍角"與"二次"的關系(升角--降次，降角--升次).

　　3.特別注意公式的三角表達形式，且要善于變形：

　　4.半角公式左邊是平方形式，只要知道角終邊所在象限，就可以開平方;公式的"本質"是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.

　　5.注意公式的結構，尤其是符號.

　　六、承上啟下，留下懸念

　　七、板書設計(略)

　　八、課后記：略