《三角函數》教案(精選6篇)
《三角函數》教案 篇1
二、復習要求
1、 三角函數的概念及象限角、弧度制等概念;
2、三角公式,包括誘導公式,同角三角函數關系式和差倍半公式等;
3、三角函數的圖象及性質。
三、學習指導
1、角的概念的推廣。從運動的角度,在旋轉方向及旋轉圈數上引進負角及大于3600的角。這樣一來,在直角坐標系中,當角的終邊確定時,其大小不一定(通常把角的始邊放在x軸正半軸上,角的頂點與原點重合,下同)。為了把握這些角之間的聯系,引進終邊相同的角的概念,凡是與終邊α相同的角,都可以表示成k·3600 α的形式,特例,終邊在x軸上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},終邊在y軸上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},終邊在坐標軸上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。
在已知三角函數值的大小求角的大小時,通常先確定角的終邊位置,然后再確定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法,能正確地進行弧度與角度的換算,熟記特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧長公式l=|α|r,扇形面積公式 ,其中α為弧所對圓心角的弧度數。
2、利用直角坐標系,可以把直角三角形中的三角函數推廣到任意角的三角數。三角函數定義是本章重點,從它可以推出一些三角公式。重視用數學定義解題。
設p(x,y)是角α終邊上任一點(與原點不重合),記 ,則 , , , 。
利用三角函數定義,可以得到(1)誘導公式:即 與α之間函數值關系(k∈z),其規律是"奇變偶不變,符號看象限";(2)同角三角函數關系式:平方關系,倒數關系,商數關系。
3、三角變換公式包括和、差、倍、半公式,誘導公式是和差公式的特例,對公式要熟練地正用、逆用、變用。如倍角公式:cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,變形后得 ,可以作為降冪公式使用。
三角變換公式除用來化簡三角函數式外,還為研究三角函數圖象及性質做準備。
4、三角函數的性質除了一般函數通性外,還出現了前面幾種函數所沒有的周期性。周期性的定義:設t為非零常數,若對f(x)定義域中的每一個x,均有f(x t)=f(x),則稱t為f(x)的周期。當t為f(x)周期時,kt(k∈z,k≠0)也為f(x)周期。
三角函數圖象是性質的重要組成部分。利用單位圓中的三角函數線作函數圖象稱為幾何作圖法,熟練掌握平移、伸縮、振幅等變換法則。
5、本章思想方法
(1) 等價變換。熟練運用公式對問題進行轉化,化歸為熟悉的基本問題;
(2) 數形結合。充分利用單位圓中的三角函數線及三角函數圖象幫助解題;
(3) 分類討論。
四、典型例題
例1、 已知函數f(x)=
(1) 求它的定義域和值域;
(2) 求它的單調區間;
(3) 判斷它的奇偶性;
(4) 判斷它的周期性。
分析:
(1)x必須滿足sinx-cosx>0,利用單位圓中的三角函數線及 ,k∈z
∴ 函數定義域為 ,k∈z
∵
∴ 當x∈ 時,
∴
∴
∴ 函數值域為[ )
(3)∵ f(x)定義域在數軸上對應的點關于原點不對稱
∴ f(x)不具備奇偶性
(4)∵ f(x 2π)=f(x)
∴ 函數f(x)最小正周期為2π
注;利用單位圓中的三角函數線可知,以ⅰ、ⅱ象限角平分線為標準,可區分sinx-cosx的符號;
以ⅱ、ⅲ象限角平分線為標準,可區分sinx cosx的符號,如圖。
例2、 化簡 ,α∈(π,2π)
分析:
湊根號下為完全平方式,化無理式為有理式
∵
∴ 原式=
∵ α∈(π,2π)
∴
∴
當 時,
∴ 原式=
當 時,
∴ 原式=
∴ 原式=
注:
1、本題利用了"1"的逆代技巧,即化1為 ,是欲擒故縱原則。一般地有 , , 。
2、三角函數式asinx bcosx是基本三角函數式之一,引進輔助角,將它化為 (取 )是常用變形手段。特別是與特殊角有關的sin±cosx,±sinx± cosx,要熟練掌握變形結論。
例3、 求 。
分析:
原式=
注:在化簡三角函數式過程中,除利用三角變換公式,還需用到代數變形公式,如本題平方差公式。
例4、已知00<α<β<900,且sinα,sinβ是方程 =0的兩個實數根,求sin(β-5α)的值。
分析:
由韋達定理得sinα sinβ= cos400,sinαsinβ=cos2400-
∴ sinβ-sinα=
又sinα sinβ= cos400
∴
∵ 00<α<β< 900
∴
∴ sin(β-5α)=sin600=
注:利用韋達定理變形尋找與sinα,sinβ相關的方程組,在求出sinα,sinβ后再利用單調性求α,β的值。
例5、(1)已知cos(2α β) 5cosβ=0,求tan(α β)·tanα的值;
(2)已知 ,求 的值。
分析:
(1) 從變換角的差異著手。
∵ 2α β=(α β) α,β=(α β)-α
∴ 8cos[(α β) α] 5cos[(α β)-α]=0
展開得:
13cos(α β)cosα-3sin(α β)sinα=0
同除以cos(α β)cosα得:tan(α β)tanα=
(2) 以三角函數結構特點出發
∵
∴
∴ tanθ=2
∴
注;齊次式是三角函數式中的基本式,其處理方法是化切或降冪。
例6、已知函數 (a∈(0,1)),求f(x)的最值,并討論周期性,奇偶性,單調性。
分析:
對三角函數式降冪
∴ f(x)=
令
則 y=au
∴ 0<a<1
∴ y=au是減函數
∴ 由 得 ,此為f(x)的減區間
由 得 ,此為f(x)增區間
∵ u(-x)=u(x)
∴ f(x)=f(-x)
∴ f(x)為偶函數
∵ u(x π)=f(x)
∴ f(x π)=f(x)
∴ f(x)為周期函數,最小正周期為π
當x=kπ(k∈z)時,ymin=1
當x=kπ (k∈z)時,ynax=
注:研究三角函數性質,一般降冪化為y=asin(ωx φ)等一名一次一項的形式。
同步
(一) 選擇題
1、下列函數中,既是(0, )上的增函數,又是以π為周期的偶函數是
a、y=lgx2 b、y=|sinx| c、y=cosx d、y=
2、 如果函數y=sin2x acos2x圖象關于直線x=- 對稱,則a值為
a、 - b、-1 c、1 d、
3、函數y=asin(ωx φ)(a>0,φ>0),在一個周期內,當x= 時,ymax=2;當x= 時,ymin=-2,則此函數解析式為
a、 b、
c、 d、
4、已知 =1998,則 的值為
a、1997 b、1998 c、1999 d、
5、已知tanα,tanβ是方程 兩根,且α,β ,則α β等于
a、 b、 或 c、 或 d、
6、若 ,則sinx·siny的最小值為
a、-1 b、- c、 d、
7、函數f(x)=3sin(x 100) 5sin(x 700)的最大值是
a、5.5 b、6.5 c、7 d、8
8、若θ∈(0,2π],則使sinθ<cosθ<cotθ<tanθ成立的θ取值范圍是
a、( ) b、( ) c、( ) d、( )
9、下列命題正確的是
a、 若α,β是第一象限角,α>β,則sinα>sinβ
b、 函數y=sinx·cotx的單調區間是 ,k∈z
c、 函數 的最小正周期是2π
d、 函數y=sinxcos2φ-cosxsin2x的圖象關于y軸對稱,則 ,k∈z
10、 函數 的單調減區間是
a、 b、
b、 d、 k∈z
(二) 填空題
11、 函數f(x)=sin(x θ) cos(x-θ)的圖象關于y軸對稱,則θ=________。
12、 已知α β= ,且 (tanαtanβ c) tanα=0(c為常數),那么tanβ=______。
13、 函數y=2sinxcosx- (cos2x-sin2x)的最大值與最小值的積為________。
14、 已知(x-1)2 (y-1)2=1,則x y的最大值為________。
15、 函數f(x)=sin3x圖象的對稱中心是________。
(三) 解答題
16、 已知tan(α-β)= ,tanβ= ,α,β∈(-π,0),求2α-β的值。
17、 是否存在實數a,使得函數y=sin2x acosx 在閉區間[0, ]上的最大值是1?若存在,求出對應的a值。
18、已知f(x)=5sinxcosx- cos2x (x∈r)
(1) 求f(x)的最小正周期;
(2) 求f(x)單調區間;
(3) 求f(x)圖象的對稱軸,對稱中心。
參考答案
(一) 選擇題
1、b 2、b 3、b 4、b 5、a 6、c 7、c 8、c 9、d 10、b
(二) 填空題
11、 ,k∈z 12、 13、-4 14、 15、( ,0)
(三) 解答題
16、
17、
18、(1)t=π
(2)增區間[kπ- ,kπ π],減區間[kπ
(3)對稱中心( ,0),對稱軸 ,k∈
《三角函數》教案 篇2
1、銳角三角形中,任意兩個內角的和都屬于區間 ,且滿足不等式:
即:一角的正弦大于另一個角的余弦。
2、若 ,則 ,
3、 的圖象的對稱中心為 ( ),對稱軸方程為 。
4、 的圖象的對稱中心為 ( ),對稱軸方程為 。
5、 及 的圖象的對稱中心為 ( )。
6、常用三角公式:
有理公式: ;
降次公式: , ;
萬能公式: , , (其中 )。
7、輔助角公式: ,其中 。輔助角 的位置由坐標 決定,即角 的終邊過點 。
8、 時, 。
9、 。
其中 為內切圓半徑, 為外接圓半徑。
特別地:直角 中,設c為斜邊,則內切圓半徑 ,外接圓半徑 。
10、 的圖象 的圖象( 時,向左平移 個單位, 時,向右平移 個單位)。
11、解題時,條件中若有 出現,則可設 ,
則 。
12、等腰三角形 中,若 且 ,則 。
13、若等邊三角形的邊長為 ,則其中線長為 ,面積為 。
14、 ;
《三角函數》教案 篇3
一、 教學目標
1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函數的定義(包括定義域、正負符號判斷);了解任意角的余切、正割、余割函數的定義.
2.經歷從銳角三角函數定義過度到任意角三角函數定義的推廣過程,體驗三角函數概念的產生、發展過程. 領悟直角坐標系的工具功能,豐富數形結合的經驗.
3.培養學生通過現象看本質的唯物主義認識論觀點,滲透事物相互聯系、相互轉化的辯證唯物主義世界觀.
4.培養學生求真務實、實事求是的科學態度.
二、 重點、難點、關鍵
重點:任意角的正弦、余弦、正切函數的定義、定義域、(正負)符號判斷法.
難點:把三角函數理解為以實數為自變量的函數.
關鍵:如何想到建立直角坐標系;六個比值的確定性( α確定,比值也隨之確定)與依賴性(比值隨著α的變化而變化).
三、 教學理念和方法
教學中注意用新課程理念處理傳統教材,學生的數學學習活動不僅要接受、記憶、模仿和練習,而且要自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學,師生互動,教師發揮組織者、引導者、合作者的作用,引導學生主體參與、揭示本質、經歷過程.
根據本節課內容、高一學生認知特點和我自己的教學風格,本節課采用“啟發探索、講練結合”的方法組織教學.
四、 教學過程
[執教線索:
回想再認:函數的概念、銳角三角函數定義(銳角三角形邊角關系)——問題情境:能推廣到任意角嗎?——它山之石:建立直角坐標系(為何?)——優化認知:用直角坐標系研究銳角三角函數——探索發展:對任意角研究六個比值(與角之間的關系:確定性、依賴性,滿足函數定義嗎?)——自主定義:任意角三角函數定義——登高望遠:三角函數的要素分析(對應法則、定義域、值域與正負符號判定)——例題與練習——回顧小結——布置作業]
(一)復習引入、回想再認
開門見山,面對全體學生提問:
在初中我們初步學習了銳角三角函數,前幾節課,我們把銳角推廣到了任意角,學習了角度制和弧度制,這節課該研究什么呢?
探索任意角的三角函數(板書課題),請同學們回想,再明確一下:
(情景1)什么叫函數?或者說函數是怎樣定義的?
讓學生回想后再點名回答,投影顯示規范的定義,教師根據回答情況進行修正、強調:
傳統定義:設在一個變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x的每一個值,y都有唯一確定的值和它對應,那么就說y是x的函數,x叫做自變量,自變量x的取值范圍叫做函數的定義域.
現代定義:設a、b是非空的數集,如果按某個確定的對應關系f,使對于集合a中的任意一個數,在集合b中都有唯一確定的數 f(x)和它對應,那么就稱映射?:a→b為從集合a到集合b的一個函數,記作:y= f(x),x∈a ,其中x叫自變量,自變量x的取值范圍a叫做函數的定義域.
《三角函數》教案 篇4
一、知識與技能
1.能從二倍角的正弦、余弦、正切公式導出半角公式,了解它們的內在聯系;揭示知識背景,引發學生學習興趣,激發學生分析、探求的學習態度,強化學生的參與意識. 并培養學生綜合分析能力.
2.掌握公式及其推導過程,會用公式進行化簡、求值和證明。
3.通過公式推導,掌握半角與倍角之間及半角公式與倍角公式之間的聯系,培養邏輯推理能力。
二、過程與方法
1.讓學生自己由倍角公式導出半角公式,領會從一般化歸為特殊的數學思想,體會公式所蘊涵的和諧美,激發學生學數學的興趣;
2.通過例題講解,總結方法.通過做練習,鞏固所學知識.
三、情感、態度與價值觀
1.通過公式的推導,了解半角公式和倍角公式之間的內在聯系,從而培養邏輯推理能力和辯證唯物主義觀點。
2.培養用聯系的觀點看問題的觀點。
【教學重點與難點】:
重點:半角公式的推導與應用(求值、化簡、證明)
難點:半角公式與倍角公式之間的內在聯系,以及運用公式時正負號的選取。
【學法與教學用具】:
1. 學法:
(1)自主+探究性學習:讓學生自己由和角公式導出倍角公式,領會從一般化歸為特殊的數學思想,體會公式所蘊涵的和諧美,激發學生學數學的興趣。
(2)反饋練習法:以練習來檢驗知識的應用情況,找出未掌握的內容及其存在的差距.
2. 教學方法:觀察、歸納、啟發、探究相結合的教學方法。
引導學生復習二倍角公式,按課本知識結構設置提問引導學生動手推導出半角公式,課堂上在老師引導下,以學生為主體,分析公式的結構特征,會根據公式特點得出公式的應用,用公式來進行化簡證明和求值,老師為學生創設問題情景,鼓勵學生積極探究。
3. 教學用具:多媒體、實物投影儀.
【授課類型】:新授課
【課時安排】:1課時
【教學思路】:
一、創設情景,揭示課題
二、研探新知
四、鞏固深化,反饋矯正
五、歸納整理,整體認識
1.鞏固倍角公式,會推導半角公式、和差化積及積化和差公式。
2.熟悉"倍角"與"二次"的關系(升角--降次,降角--升次).
3.特別注意公式的三角表達形式,且要善于變形:
4.半角公式左邊是平方形式,只要知道角終邊所在象限,就可以開平方;公式的"本質"是用?角的余弦表示角的正弦、余弦、正切.
5.注意公式的結構,尤其是符號.
六、承上啟下,留下懸念
七、板書設計(略)
八、課后記:略
《三角函數》教案 篇5
一、教材分析
(一)內容說明
函數是中學數學的重要內容,中學數學對函數的研究大致分成了三個階段。
三角函數是代表性的一種基本初等函數。4.8節是第二章《函數》學習的延伸,也是第四章《三角函數》的核心內容,是在前面已經學習過正、余弦函數的圖象、三角函數的有關概念和公式基礎上進行的,其知識和方法將為后續內容的學習打下基礎,有承上啟下的作用。
本節課是數形結合思想方法的良好素材。數形結合是數學研究中的重要思想方法和解題方法。
數學家華羅庚先生的詩句:......數缺形時少直觀,形少數時難入微,數形結合百般好,隔裂分家萬事休......可以說精辟地道出了數形結合的重要性。
本節通過對數形結合的進一步認識,可以改進學習方法,增強學習數學的自信心和興趣。另外,三角函數的曲線性質也體現了數學的對稱之美、和諧之美。
因此,本節課在教材中的知識作用和思想地位是相當重要的。
(二)課時安排
4.8節教材安排為4課時,我計劃用5課時
(三)目標和重、難點
1.教學目標
教學目標的確定,考慮了以下幾點:
(1)高一學生有一定的抽象思維能力,而形象思維在學習中占有不可替代的地位,所以本節要緊緊抓住數形結合方法進行探索;
(2)本班學生對數學科特別是函數內容的學習有畏難情緒,所以在內容上要降低深難度。
(3)學會方法比獲得知識更重要,本節課著眼于新知識的探索過程與方法,鞏固應用主要放在后面的三節課進行。
由此,我確定了以下三個層面的教學目標:
(1)知識層面:結合正弦曲線、余弦曲線,師生共同探索發現正(余)弦函數的性質,讓學生學會正確表述正、余函數的單調性和對稱性,理解體會周期函數性質的研究過程和數形結合的研究方法;
(2)能力層面:通過在教師引導下探索新知的過程,培養學生觀察、分析、歸納的自學能力,為學生學習的可持續發展打下基礎;
(3)情感層面:通過運用數形結合思想方法,讓學生體會(數學)問題從抽象到形象的轉化過程,體會數學之美,從而激發學習數學的信心和興趣。
2. 重、難點
由以上教學目標可知,本節重點是師生共同探索,正、余函數的性質,在探索中體會數形結合思想方法。
難點是:函數周期定義、正弦函數的單調區間和對稱性的理解。
為什么這樣確定呢?
因為周期概念是學生第一次接觸,理解上易錯;單調區間從圖上容易看出,但用一個區間形式表示出來,學生感到困難。
如何克服難點呢?
其一,抓住周期函數定義中的關鍵字眼,舉反例說明;
其二,利用函數的周期性規律,抓住“橫向距離”和“k∈Z"的含義,充分結合圖象來理解單調性和對稱性
二、教法分析
(一)教法說明 教法的確定基于如下考慮:
(1)心理學的研究表明:只有內化的東西才能充分外顯,只有學生自己獲取的知識,他才能靈活應用,所以要注重學生的自主探索。
(2)本節目的是讓學生學會如何探索、理解正、余弦函數的性質。教師始終要注意的是引導學生探索,而不是自己探索、學生觀看,所以教師要引導,而且只能引導不能代辦,否則不但沒有教給學習方法,而且會讓學生產生依賴和倦怠。
(3)本節內容屬于本源性知識,一般采用觀察、實驗、歸納、總結為主的方法,以培養學生自學能力。
所以,根據以人為本,以學定教的原則,我采取以問題為解決為中心、啟發為主的教學方法,形成教師點撥引導、學生積極參與、師生共同探討的課堂結構形式,營造一種民主和諧的課堂氛圍。
(二) 教學手段說明:
為完成本節課的教學目標,突出重點、克服難點,我采取了以下三個教學手段:
(1)精心設計課堂提問,整個課堂以問題為線索,帶著問題探索新知,因為沒有問題就沒有發現。
(2)為便于課堂操作和知識條理化,事先制作正弦函數、余弦函數性質表,讓學生當堂完成表格的填寫;
(3)為節省課堂時間,制作幻燈片演示正、余弦函數圖象和性質,也可以使教學更生動形象和連貫。
三、學法和能力培養
我發現,許多學生的學習方法是:直接記住函數性質,在解題中套用結論,對結論的來源不理解,知其然不知其所以然,應用中不能變通和遷移。
本節的學習方法對后續內容的學習具有指導意義。為了培養學法,充分關注學生的可持續發展,教師要轉換角色,站在初學者的位置上,和學生共同探索新知,共同體驗數形結合的研究方法,體驗周期函數的研究思路;幫助學生實現知識的意義建構,幫助學生發現和總結學習方法,使教師成為學生學習的高級合作伙伴。
教師要做到:
授之以漁,與之合作而漁,使學生享受漁之樂趣。 因此
1.本節要教給學生看圖象、找規律、思考提問、交流協作、探索歸納的學習方法。
2.通過本課的探索過程,培養學生觀察、分析、交流、合作、類比、歸納的學習能力及數形結合(看圖說話)的意識和能力。
四、教學程序
指導思想是:兩條線索、三大特點、四個環節
(一)導入
引出數形結合思想方法,強調其含義和重要性,告訴學生,本節課將利用數形結合方法來研究,會使學習變得輕松有趣。
采用這樣的引入方法,目的是打消學生對函數學習的畏難情緒,引起學生注意,也激起學生好奇和興趣。
(二)新知探索 主要環節,分為兩個部分
教學過程如下:
第一部分————師生共同研究得出正弦函數的性質
1.定義域、值域 2.周期性
3.單調性 (重難點內容)
為了突出重點、克服難點,采用以下手段和方法:
(1)利用多媒體動態演示函數性質,充分體現數形結合的重要作用;
(2)以層層深入,環環相扣的課堂提問,啟發學生思維,反饋課堂信息,使問題成為探索新知的線索和動力,隨著問題的解決,學生的積極性將被調動起來。
(3)單調區間的探索過程是:
先在靠近原點的一個單調周期內找出正弦函數的一個增區間,由此表示出所有的增區間,體現從特殊到一般的知識認識過程。
教師結合圖象幫助學生理解并強調 “距離”(“長度”)是周期的多少倍
為什么要這樣強調呢?
因為這是對知識的一種意義建構,有助于以后理解記憶正弦型函數的相關性質。
4.對稱性
設計意圖:
(1)因為奇偶性是特殊的對稱性,掌握了對稱性,容易得出奇偶性,所以著重講清對稱性。體現了從一般到特殊的知識再現過程。
(2)從正弦函數的對稱性看到了數學的對稱之美、和諧之美,體現了數學的審美功能。
5.最值點和零值點
有了對稱性的理解,容易得出此性質。
第二部分————學習任務轉移給學生
設計意圖:
(1)通過把學習任務轉移給學生,激發學生的主體意識和成就動機,利于學生作自我評價;
(2)通過學生自主探索,給予學生解決問題的自主權,促進生生交流,利于教師作反饋評價;
(3)通過課堂教學結構的改革,提高課堂教學效率,最終使學生成為獨立的學習者,這也符合建構主義的教學原則。
(三)鞏固練習
補充和選作題體現了課堂要求的差異性。
(四)結課
五、板書說明 既要體現原則性又要考慮靈活性
1.板書要基本體現整堂課的內容與方法,體現課堂進程,能簡明扼要反映知識結構及其相互聯系;能指導教師的教學進程、引導學生探索知識;同時不完全按課本上的呈現方式來編排板書。即體現系統性、程序性、概括性、指導性、啟發性、創造性的原則;(原則性)
2.使用幻燈片輔助板書,節省課堂時間,使課堂進程更加連貫。(靈活性)
六、效果及評價說明
(一)知識診斷
(二)評價說明
1.針對本班學生情況對課本進行了適當改編、細化,有利于難點克服和學生主體性的調動。
2. 根據課堂上師生的雙邊活動,作出適時調整、補充(反饋評價);根據學生課后作業、提問等情況,反復修改并指導下節課的設計(反復評價)。
3. 本節課充分體現了面向全體學生、以問題解決為中心、注重知識的建構過程與方法、重視學生思想與情感的設計理念,積極地探索和實踐我校的科研課題——努力推進課堂教學結構改革。
通過這樣的探索過程,相信學生能從中有所體會,對后續內容的學習和學生的可持續發展會有一定的幫助。希望很久以后留在學生記憶中的不是知識本身,而是方法與思想,是學習的習慣和熱情,這正是我們教育工作者追求的結果
《三角函數》教案 篇6
近段時間一直在學習三角函數的內容,涉及到角度的運算,三角函數的性質及其運用,在教學過程中,力求從基本知識入手,盡可能地使計算簡單化,然后逐步地加深提高,但從實際的效果上來看,學生的基礎知識太差,計算能力薄弱,訓練量在增加,但效果卻不明顯,始終對三角函數性質不熟悉,三角函數的性質運用的很不熟練。在教學過程中,我深深感到;自身的知識面不寬,在講解聯系時很單調,不能夠擴展,沒起到舉一反三的作用,因此我感到很吃力。在以后的教學過程中,還要繼續加強自身的學習,多做習題來擴大知識面,同時不斷鉆研教材教法,力爭講的通俗易懂,以提高自己的業務水平和專業技能。