三角函數教案
二、復習要求1、 三角函數的概念及象限角、弧度制等概念;
2、三角公式,包括誘導公式,同角三角函數關系式和差倍半公式等;
3、三角函數的圖象及性質。
三、學習指導
1、角的概念的推廣。從運動的角度,在旋轉方向及旋轉圈數上引進負角及大于3600的角。這樣一來,在直角坐標系中,當角的終邊確定時,其大小不一定(通常把角的始邊放在x軸正半軸上,角的頂點與原點重合,下同)。為了把握這些角之間的聯系,引進終邊相同的角的概念,凡是與終邊α相同的角,都可以表示成k·3600 α的形式,特例,終邊在x軸上的角集合{α|α=k·1800,k∈z},終邊在y軸上的角集合{α|α=k·1800 900,k∈z},終邊在坐標軸上的角的集合{α|α=k·900,k∈z}。
在已知三角函數值的大小求角的大小時,通常先確定角的終邊位置,然后再確定大小。
弧度制是角的度量的重要表示法,能正確地進行弧度與角度的換算,熟記特殊角的弧度制。在弧度制下,扇形弧長公式l=|α|r,扇形面積公式 ,其中α為弧所對圓心角的弧度數。
2、利用直角坐標系,可以把直角三角形中的三角函數推廣到任意角的三角數。三角函數定義是本章重點,從它可以推出一些三角公式。重視用數學定義解題。
設p(x,y)是角α終邊上任一點(與原點不重合),記 ,則 , , , 。
利用三角函數定義,可以得到(1)誘導公式:即 與α之間函數值關系(k∈z),其規律是"奇變偶不變,符號看象限";(2)同角三角函數關系式:平方關系,倒數關系,商數關系。
3、三角變換公式包括和、差、倍、半公式,誘導公式是和差公式的特例,對公式要熟練地正用、逆用、變用。如倍角公式:cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,變形后得 ,可以作為降冪公式使用。
三角變換公式除用來化簡三角函數式外,還為研究三角函數圖象及性質做準備。
4、三角函數的性質除了一般函數通性外,還出現了前面幾種函數所沒有的周期性。周期性的定義:設t為非零常數,若對f(x)定義域中的每一個x,均有f(x t)=f(x),則稱t為f(x)的周期。當t為f(x)周期時,kt(k∈z,k≠0)也為f(x)周期。
三角函數圖象是性質的重要組成部分。利用單位圓中的三角函數線作函數圖象稱為幾何作圖法,熟練掌握平移、伸縮、振幅等變換法則。
5、本章思想方法
(1) 等價變換。熟練運用公式對問題進行轉化,化歸為熟悉的基本問題;
(2) 數形結合。充分利用單位圓中的三角函數線及三角函數圖象幫助解題;
(3) 分類討論。
四、典型例題
例1、 已知函數f(x)=
(1) 求它的定義域和值域;
(2) 求它的單調區間;
(3) 判斷它的奇偶性;
(4) 判斷它的周期性。
分析:
(1)x必須滿足sinx-cosx>0,利用單位圓中的三角函數線及 ,k∈z
∴ 函數定義域為 ,k∈z
∵
∴ 當x∈ 時,
∴
∴
∴ 函數值域為[ )
(3)∵ f(x)定義域在數軸上對應的點關于原點不對稱
∴ f(x)不具備奇偶性
(4)∵ f(x 2π)=f(x)
∴ 函數f(x)最小正周期為2π
注;利用單位圓中的三角函數線可知,以ⅰ、ⅱ象限角平分線為標準,可區分sinx-cosx的符號;
以ⅱ、ⅲ象限角平分線為標準,可區分sinx cosx的符號,如圖。
例2、 化簡 ,α∈(π,2π)
分析: