第二十八章“銳角三角函數”簡介

課程教材研究所　　左懷玲 本章“銳角三角函數”屬于三角學，是《數學課程標準》中“空間與圖形”領域的重要內容。從《數學課程標準》看，中學數學把三角學內容分成兩個部分，第一部分放在義務教育第三學段，第二部分放在高中階段。在義務教育第三學段，主要研究銳角三角函數和解直角三角形的內容，本套教科書安排了一章的內容，就是本章“銳角三角函數”。在高中階段的三角內容是三角學的主體部分，包括解斜三角形、三角函數、反三角函數和簡單的三角方程。無論是從內容上看，還是從思考問題的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基礎，掌握銳角三角函數的概念和解直角三角形的方法，是學習三角函數和解斜三角形的重要準備。

本章包括銳角三角函數的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用銳角三角函數解直角三角形等內容。銳角三角函數為解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在實際當中有著廣泛的應用，這也為銳角三角函數提供了與實際聯系的機會。研究銳角三角函數的直接基礎是相似三角形的一些結論，解直角三角形主要依賴銳角三角函數和勾股定理等內容，因此相似三角形和勾股定理等是學習本章的直接基礎。本章重點是銳角三角函數的概念和直角三角形的解法。銳角三角函數的概念既是本章的難點，也是學習本章的關鍵。難點在于，銳角三角函數的概念反映了角度與數值之間對應的函數關系，這種角與數之間的對應關系，以及用含有幾個字母的符號sina、cosa、tana表示函數等，學生過去沒有接觸過，因此對學生來講有一定的難度。至于關鍵，因為只有正確掌握了銳角三角函數的概念，才能真正理解直角三角形中邊、角之間的關系，從而才能利用這些關系解直角三角形。

本章內容與已學 “相似三角形”“勾股定理”等內容聯系緊密，并為高中數學中三角函數等知識的學習作好準備。

本章教學時間約需12課時，具體分配如下（僅供參考）：

28.1 　銳角三角函數 　　　　　　　　　　　　　　　　約6課時

28.2 　解直角三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　約4課時

數學活動

小結 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　約2課時

一、教科書內容與課程學習目標

（一）本章知識結構框圖

本章知識的展開順序

（二）教科書內容

本章內容分為兩節，第一節主要學習正弦、余弦和正切等銳角三角函數的概念，第二節主要研究直角三角形中的邊角關系和解直角三角形的內容。第一節內容是第二節的基礎，第二節是第一節的應用，并對第一節的學習有鞏固和提高的作用。

在第28.1節 “銳角三角函數”中，教科書先研究了正弦函數，然后在正弦函數的基礎上給出余弦函數和正切函數的概念。對于正弦函數，教科書首先設置了一個實際問題，把這個實際問題抽象成數學問題，就是在直角三角形中，已知一個銳角和這個銳角的對邊求斜邊的問題，由于這個銳角是一個特殊的角，因此可以利用“在直角三角形中，角所對的邊是斜邊的一半” 這個結論來解決這個問題，接下去教科書又提出問題，如果角所對的邊的長度發生改變，那么斜邊的長變為多少？解決這個的問題仍然需要利用上述結論，這樣就能夠使學生體會到“無論直角三角形的大小如何，角所對的邊與斜邊的比總是一個常數”，這里體現了函數的對應的思想，即的角對應數值。接下去，教科書又設置一個“思考”欄目，讓學生進一步探討在直角三角形中，的銳角所對的邊與斜邊的比有什么特點，利用勾股定理就可以發現這個比值也是一個常數，這樣就使學生認識到“無論直角三角形的大小如何，角所對的邊與斜邊的比總是一個常數”，通過探討上面這兩個特殊的直角三角形，能夠使學生感受到在直角三角形中，如果一個銳角的度數分別是和，那么它們所對的邊與斜邊的比分別都是常數，這里體現了函數的思想，這也為引出正弦函數的概念作好鋪墊。有了上面這樣的感受，會使學生自然地想到，在直角三角形中，一個銳角取其他一定的度數時，它的對邊與斜邊的比是否也是常數的問題。這樣教科書就進入對一般情況的討論。對于這個問題，教科書設置了一個“探究”欄目，讓學生探究對于兩個大小不等的直角三角形，如果有一個銳角對應相等，那么這兩個相等的銳角所對的直角邊與斜邊的比是否相等，利用相似三角形對應邊成比例這個結論就可以得到“在直角三角形中，當銳角的度數一定時，不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比是一個固定值”，由此引出正弦函數的概念，這樣引出正弦函數的概念，能夠使學生充分感受到函數的思想，即在直角三角形中，一個銳角的每一個確定的值，sina都有唯一確定的值與它對應。在引出正弦函數的概念之后，教科書在一個“探究”欄目中，類比著正弦的概念，從邊與邊的比的角度提出一個開放性問題：在直角三角形中，當一個銳角確定時，這個角的對邊與斜邊的比就隨之確定，此時，其他邊之間的比是否也確定了呢？提出這個問題的目的是要引出對余弦函數和正切函數的討論。由于教科書比較詳細地討論了正弦函數的概念，因此對余弦函數和正切函數概念的討論采用了直接給出的方式，具體的討論由學生類比著正弦函數自己完成。在余弦函數和正切函數的概念給出之后，教科書在邊注中分析了銳角三角函數的角與數值之間的對應關系，突出了函數的思想。一些特殊角的三角函數值是經常用到的，教科書借助于學生熟悉的兩種三角尺研究了、角的正弦、余弦和正切值，并以例題的形式介紹了已知銳角三角函數值求銳角的問題，當然這時所要求出的角都是、和的特殊角。教科書把求特殊角的三角函數值和已知特殊角的三角函數值求角這兩個相反方向的問題安排在一起，目的是體現銳角三角函數中角與函數值之間的對應關系。本節最后，教科書介紹了如何使用計算器求非特殊角的三角函數值以及如何根據三角函數值求對應的角等內容。由于不同的計算器操作步驟有所不同，教科書只就常見的情況進行介紹。