第二十八章“銳角三角函數(shù)”簡介
微積分的思想在數(shù)學(xué)中占有重要的地位,其基本思想是“化整為零,積零為整”“化曲為直,以直代曲”,這個(gè)基本思想是很樸素的,是可以在初等數(shù)學(xué)中反映的。教科書在本章最后,結(jié)合解直角三角形的內(nèi)容,采用與測量大壩的高度和測量山的高度相對比的方式,直觀形象地介紹了在確定山的高度時(shí),如何將山坡“化整為零”,如何將山坡的長度“化曲為直、以直代曲”,又如何將每一部分的高度“積零為整”,這樣編寫的目的是要體現(xiàn)微積分的基本思想,讓學(xué)生通過直觀形象的例子對微積分的基本思想有一個(gè)初步的認(rèn)識。綜上所述,本章編寫時(shí)注意突出數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法,這有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。三、幾個(gè)值得關(guān)注的問題(一)注意加強(qiáng)知識間的縱向聯(lián)系第27章“相似”為本章研究銳角三角函數(shù)打下基礎(chǔ),因?yàn)槔谩跋嗨迫切蔚膶?yīng)邊成比例”可以解釋銳角三角函數(shù)定義的合理性。例如,教科書在研究正弦函數(shù)的概念時(shí),利用了“在直角三角形中,所對的邊等于斜邊的一半”,得出了“在一個(gè)直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于,那么不管三角形的大小如何,這個(gè)角的對邊與斜邊的比值都等于”。事實(shí)上,在直角三角形中,如果一個(gè)角等于 ,那么這樣的直角三角形都相似,因此,不管這樣的三角形的大小如何,它們的對應(yīng)邊成比例,這也就是說,對于,雖然教科書是從兩個(gè)特殊的直角三角形(的對邊分別是70和50)歸納得到的,但這個(gè)結(jié)論是可以從三角形相似的角度來解釋的。同樣,對于有類似的情況。當(dāng)然,教科書利用相似三角形的有關(guān)結(jié)論解釋了在一般情形中正弦定義的合理性。因此,銳角三角函數(shù)的內(nèi)容與相似三角形是密切聯(lián)系的,教學(xué)中要注意加強(qiáng)兩者之間的聯(lián)系。全等三角形的有關(guān)理論對理解本章內(nèi)容有積極的作用。例如,在研究解直角三角形時(shí),教科書通過探索得到結(jié)論:事實(shí)上,在直角三角形的六個(gè)元素中,除直角外,如果在知道兩個(gè)元素(其中至少有一個(gè)是邊),這個(gè)三角形就確定下來了,這樣就可以由已知的兩個(gè)元素求出其余的三個(gè)元素,這個(gè)結(jié)論的獲得實(shí)際上利用了直角三角形全等的有關(guān)理論,因?yàn)閷τ趦蓚(gè)直角三角形,如果已知兩個(gè)元素對應(yīng)相等,并且其中有一個(gè)元素是邊,那么這兩個(gè)直角三角形全等,也就是已知一個(gè)直角三角形的除直角外的兩個(gè)元素,其中至少有一個(gè)是邊,這個(gè)三角形就確定下來,因此就可以利用這兩個(gè)元素求出其余的元素。因此,利用三角形全等的理論,有利于理解解直角三角形的相關(guān)內(nèi)容。教學(xué)中要注意加強(qiáng)知識間的相互聯(lián)系,使學(xué)生的學(xué)習(xí)形成正遷移。另外,本章所研究的銳角三角函數(shù)反映了銳角與數(shù)值之間的函數(shù)關(guān)系,這雖然與一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)所反映的數(shù)值與數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系有所不同,但它們都反映了變量之間的對應(yīng)關(guān)系,本質(zhì)上是一致的,因此教學(xué)時(shí),要注意讓學(xué)生體會這些不同函數(shù)之間的共同特征,更好地理解函數(shù)的概念。