下學期 4.4 同角三角函數的基本關系式

同角三角函數的基本關系式

教學目標 ：

1.掌握同角三角函數之間的三組常用關系，平方關系、商數關系、倒數關系.

2.會運用同角三角函數之間的關系求三角函數值或化簡三角式.

教學重點：

理解并掌握同角三角函數關系式.

教學難點 ：

已知某角的一個三角函數值，求它的其余各三角函數值時正負號的選擇；

教學用具：

直尺、投影儀.

教學步驟 ：

1.設置情境

與初中學習銳角三角函數一樣，本節課我們來研究同角三角函數之間關系，弄清同角各不同三角函數之間的聯系，實現不同函數值之間的互相轉化.

2.探索研究

（1）復習任意角三角函數定義

上節課我們已學習了任意角三角函數定義，如圖1所示，任意角 的六個三角函數是如何定義的呢？

在 的終邊上任取一點 ，它與原點的距離是 ，則角 的六個三角函數的值是：

；    ；    

；    ；    

（2）推導同角三角函數關系式

觀察 及 ，當 時，有何關系？

當 且 時 、 及 有沒有商數關系？

通過計算發現 與 互為倒數：∵ .

由于 ，

這些三角函數中還存在平方關系，請計算 的值.

由三角函數定義我們可以看到： .

∴ ，現在我們將同角三角函數的基本關系式總結如下：

①平方關系：

②商數關系：

③倒數關系：

即同一個角 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 的正切，同一個角的正切、余切之積等于1（即同一個角的正切、余切互為倒數）.上面這三個關系式，我們稱之為恒等式，即當 取使關系式兩邊都有意義的任意值時，關系式兩邊的值相等，在第二個式中， 在第三個式中， 的終邊不在坐標軸上，這時式中兩邊都有意義，以后解題時，如果沒有特別說明，一般都把關系式看成是意義的.其次，在利用同角三角函數的基本關系式時，要注意其前提“同角”的條件.

（3）同角三角函數關系式的應用

同角三角函數關系式十分重要，應用廣泛，其中一個重要應用是根據一個角的某一個三角函數，求出這個角的其他三角函數值.

【例1】已知 ，且 是第二象限角，求 ， ， 的值.

解：∵ ，且 ，∴ 是第二或第三象限角.

如果 是第二象限角，那么

如果 是第三象限角，那么 ，

說明：本題沒有具體指出 是第幾象限的角，則必須由 的函數值決定 可能是哪幾象限的角，再分象限加以討論.

【例2】已知 ，求 的值.

解： ，且 ， 是第二或第三象限角.

如果 是第二象限角，那么

如果 是第三象限角，那么 .

說明：本題沒有具體指出 是第幾象限角，則必須由 的函數值決定 可能是哪幾象限的角，再分象限加以討論.

【例3】已知 為非零實數，用 表示 ， .

解：因為 ，所以

又因為 ，所以

于是     ∴

由 為非零實數，可知角 的終邊不在坐標軸上，考慮 的符號分第一、第四象限及第二、三象限，從而：

在三角求值過程中應盡量避免開方運算，在不可避免時，先計算與已知函數有平方關系的三角函數，這樣可只進行一次開方運算，并可只進行一次符號說明.

同角三角函數關系式還經常用于化簡三角函數式，請看例4

【例4】化簡下列各式：

（1） ；（2） .

解：（1）               （2）

3.演練反饋（投影）

（1）已知： ，求 的其他各三角函數值.

（2）已知 ，求 ， .

（3）化簡：

解答：（1）解：∵ ，所以 是第二、第三象限的角.

如果 是第二象限的角，則：

又     

如果 是第三象限的角，那么

（2）解：∵    ∴ 是第二或第四象限的角

由【例3】的求法可知當 是第二象限時

當 是第四象限時

（3）解：原式

4.本課小結

（1）同角三角函數的三組關系式的前提是“同角”，因此 ， …….

（2）諸如 ， ，……它們都是條件等式，即它們成立的前提是表達式有意義.

（3）利用平方關系時，往往要開方，因此要先根據角所在象限確定符號，即要就角所在象限進行分類討論.

課時作業 ：

1.已知 ， ，則 等于（      ）

A.        B.       C.          D.

2.若 ，則 的值是（      ）

A.－2        B.2         C.±2            D.

3.化簡

4.化簡 ，其中 為第二象限角.

5.已知 ，求 的值.

6.已知 是三角形的內角， ，求 值.

參考答案：1.D； 2.B； 3.1； 4. ； 5.3； 6.

注：4.略解：原式

∵ 在第二象限

∴

∴ .

6.略解：

由 ，平方得， ，

∴

∵ 是三角形內角

∴只有

∴ ，

由

及 ，聯立，得： ， ，

∴