下學期 4.5 正弦、余弦的誘導公式

正弦、余弦的誘導公式教學設計示例（一）

教學目標 ：
1.掌握誘導公式及其推演時過程.
2.會應用誘導公式，進行簡單的求值或化簡.
教學重點：
理解并掌握誘導公式.
教學難點 ：
運用誘導公式求三角函數值，化簡或證明三角函數式.
教學用具：
三角板、圓規、投影儀.
教學過程 ：
1.設置情境
我們已經學過了誘導公式一： ， ， ，（ ），有了它就可以把任一角的三角函數求值問題，轉化為 ～ 間角的三角函數值問題.那么能否再把 ～ 間的角的三角函數求值，繼續化為我們熟悉的 ～ 間的角的三角函數求值問題呢？如果能的話，那么任意角的三角函數求值，都可以化歸為銳角三角函數求值，并通過查表方法而得到最終解決，本課就來討論這一問題.
2.探索研究
（1）出示下列投影內容
設 ，對于任意一個 到 的角 ，以下四種情形中有且僅有一種成立.

首先討論 ，其次討論 ， 以及 的三角函數值與 的三角函數值之間的關系，為了使討論更具一般性，這里假定 為任意角.
（2）學習誘導公式二、三的推導過程.
已知任意角 的終邊與單位圓相交于點 ，請同學們思考回答點 關于 軸、 軸、原點對稱的三個點的坐標間的關系.
點 關于 軸對稱點 ，關于 軸對稱點 ，關于原點對稱點 （可利用演示課件）.
圖1由于 角的終邊與單位圓交于 ，則 的終邊就是角 終邊的反向延長線，角 的終邊與單位圓的交點為 ，則 是與 關于 對稱的點.所以 ，又因單位圓半徑 ，由正弦函數、余弦函數定義，可得
             
             

 
于是得到一組公式（公式二）

我們再來研究角 與 的三角函數值之間的關系，如圖2，利用單位圓作出任意角 與單位圓相交于點 ，角 的終邊與單位圓相交于點 ，這兩個角的終邊關于 軸對稱，所以      
∵
∴

于是又得到一組公式（公式三） 

【例1】求下列三角函數值：
（1） （2） ；
（3） ；（4） .
解：（1）
      
（2）
 

（3）

（4）


【例2】化簡：
解：∵





∴ 原式
（3）推導誘導公式四、五
請同學們思考如何利用已學過的誘導公式推導 ， 與 的三角函值之間的關系？由誘導公式我們可以得到


：

由此可得公式四、五

公式一、二、三、四、五都叫做誘導公式.概括如下： ， ， ， 的三角函數值，等于 的同名函數值，前面加上一個把 看成銳角時原函數值的符號，簡化成“函數名不變，符號看象限”的口訣.
【例3】求下列各三角函數：
（1） ； （2） .
解：（1）


（2）

.
觀察以上的解題過程，請同學們總結，利用誘導公式求任意角的三角函數值的步驟.
學生回答后老師總結得出，在求任意角的三角函數值時一般可按以下步驟：

運用誘導公式解題的本質是多次運用“化歸”思想方法，化負角為正角，化 到 的角為 到 間的角，再求值的過程.
3.演練反饋（投影儀）
（1）已知 ，求 的值
（2）已知 ，求 的值
（3）已知 ，求 的值
參考答案：
（1）若 為Ⅳ象限角，則
若 為Ⅰ象限角，則
（2）
（3）∵


∴
4.本課小結
（1）求任意角的三角函數式的一般程序：負（角）變正（角）→大（角）變小（角）→（一直）變到 ～ 之間（能查表）.
（2）變角是有一定技巧的，如 可寫成 ，也可以寫成 不同表達方法，決定著使用不同的誘導公式.
（3）湊角方法也體現出很大技巧。如，已知角“ ”，求未知角“ ”，可把 改寫成 .
課時作業 ：
1.已知 ， 是第四象限角，則 的值是（       ）
A. B. C. D.

2.下列公式正確的是（      ）
A. B.
C. D.
3. 的成立條件是（       ）
A. 為不等于 的任意角 B.銳角
C. D. ， 且
4.在 中，下列各表達式為常數的是（       ）
A. B.
C.            D.
5.化簡
（1）
（2）
6.證明恒等式

參考答案：
1.A；  2.D；  3.D；  4.C；  5.（1）0，（2） ；
6.左
右