下學(xué)期 4.1 角的概念的推廣
教學(xué)目標(biāo)
1.理解引入大于 角和負(fù)角的意義.
2.理解并掌握正、負(fù)、零角的定義.
3.掌握終邊相同角的表示法.
4.理解象限角的概念、意義及其表示方法.
重點(diǎn)難點(diǎn)
1.理解并掌握正、負(fù)、零角的定義.
2.掌握終邊相同角的表示法.
教學(xué)用具
直尺、投影儀
教學(xué)過(guò)程
1.設(shè)置情境
設(shè)置實(shí)例（1）用扳手?jǐn)Q螺母（課件）；（2）跳水運(yùn)動(dòng)員身體旋轉(zhuǎn)（視頻）.說(shuō)明旋轉(zhuǎn)第二周、第三周……，則形成了更大范圍內(nèi)的角，這些角顯然超出了我們已有的認(rèn)識(shí)范圍。本節(jié)課將在已掌握 ～ 角的范圍基礎(chǔ)上，重新給出角的定義，并研究這些角的分類及記法.
2.探索研究
（1）正角、負(fù)角、零角概念
①一條射線由原來(lái)位置 ，繞著它的端點(diǎn) ，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)轉(zhuǎn)到 形成的角規(guī)定為正角，如圖中角 ；把按順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)所形成的角規(guī)定為負(fù)角，如圖中的 ；射線沒作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們認(rèn)為它這時(shí)也形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角規(guī)定為零角，與初中所學(xué)角概念一樣， 、 ，點(diǎn) 分別叫該角的始邊、終邊、角頂點(diǎn).
②如果把角頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，角的始邊在 軸的正半軸上，這時(shí)，角的終邊落在第幾象限，就稱這個(gè)角是第幾象限角，特別地，如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上，就說(shuō)該角不屬于任何象限，習(xí)慣上稱其為軸上角.
③我們作出 ， 及 三個(gè)角，易知，它們的終邊相同。還可以看出， ， 的終邊也是與 角終邊重合的，而且可以理解，與 角終邊相同的角，連同 在內(nèi)，可以構(gòu)成一個(gè)集合，記作 .一般地，我們把所有與角 終邊相同的角，連同角 在內(nèi)的一切角，記成 ， 或?qū)懗杉?/SPAN> 形式.
（2）例題分析
【例1】在 ～ 間，找出與列列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角（1） ；（2） ；（3） .
解：（1）∵
∴與 角終邊相同的角是 角，它是第三象限的角；
（2）∵
∴與 終邊相同的角是 ，它是第四象限的角；
（3）
所以與 角終邊相同的角是 ，它是第二象限角.
總結(jié)：草式寫在草稿紙上，正的角度除以 ，按通常除去進(jìn)行；負(fù)的角度除以 ，商是負(fù)數(shù)，它的絕對(duì)值應(yīng)比被除數(shù)為其相反數(shù)時(shí)相應(yīng)的商大1，以使余數(shù)為正值.
練習(xí)：（學(xué)生板演，可用投影給題）
（1）一角為 ，其終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為_______.
（2）集合 中，各角的終邊都在（ ）
A. 軸正半軸上，
B. 軸正半軸上，
C. 軸或 軸上，
D. 軸正半軸或 軸正半軸上
解答：（1） （2）C
【例2】寫出與下列各角終邊相同的角的集合 ，并把 中適合不等式 的元素 寫出來(lái)：
（1） ；（2） ；（3） .
解：（1）
中適合 的元素是
（2）
滿足條件的元素是
（3）
中適合元素是
說(shuō)明：與角 終邊相同的角，連同 在內(nèi)可記為 ， 這里
（1） ； （2） 是任意角；
（3） 與 之間是“＋”連接，如 應(yīng)看做 ；
（4）終邊相同角不一定相等，但相等的角終邊必相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們彼此相差 的整數(shù)倍；
（5）檢查兩角 ， 終邊是否相同，只要看 是否為整數(shù).
練習(xí)：（學(xué)生口答：用投影給出題）
（1）請(qǐng)用集合表示下列各角.
① ～ 間的角 ②第一象限角 ③銳角 ④小于 角.
（2）分別寫出：
①終邊落在 軸負(fù)半軸上的角的集合；
②終邊落在 軸上的角的集合；
③終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合；
④終邊落在四象限角平分線上的角的集合.
解答（1）① ；
② ；
③ ；④
（2）① ；
② ；
③ ；
④ .
說(shuō)明：第一象限角未必是銳角，小于 的角不一定是銳角， ～ 間的角，根據(jù)課本約定它包括 ，但不包含 .
【例3】用集合表示：
（1）第三象限角的集合.
（2）終邊落在 軸右側(cè)的角的集合.
解：（1）在 ～ 中，第三象限角范圍為 ，而與每個(gè) 角終邊相同的角可記為 ， ，故該范圍中每個(gè)角適合 ， ，故第三象限角集合為 .
（2）在 ～ 中， 軸右側(cè)的角可記為 ，同樣把該范圍“旋轉(zhuǎn)” 后，得 ， ，故 軸右側(cè)角的集合為 .
說(shuō)明：一個(gè)角按順、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) （ ）后與原來(lái)角終邊重合，同樣一個(gè)“區(qū)間”內(nèi)的角，按順逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) （ ）角后，所得“區(qū)間”仍與原區(qū)間重疊.
3.練習(xí)反饋
（1）與 的終邊相同且絕對(duì)值最小的角是______________.
（2）若角 與角 的終邊重合，則 與 的關(guān)系是___________，若角 與角 的終邊在一條直線上，則 與 的關(guān)系是____________.
（3）若 是第四象限角，則 是（ ）.
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
答案：（1） ；
（2） ， ， ；
（3）C
4.總結(jié)提煉
判斷一個(gè)角 是第幾象限角，只要把 改寫成 ， ，那么 在第幾象限， 就是第幾象限角，若角 與角 適合關(guān)系： ， ，則 、 終邊相同；若角 與 適合關(guān)系： ， ，則 、 終邊互為反向延長(zhǎng)線.判斷一個(gè)角所有象限或不同角之間的終邊關(guān)系，可首先把它們化為： ， 這種模式（ ），然后只要考查 的相關(guān)問(wèn)題即可.另外，數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)都是學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法.
課時(shí)作業(yè)
1.在 到 范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同角，并指出它們是哪個(gè)象限角
（1） （2） （3） （4）
2.寫出終邊在 軸上的角的集合（用 ～ 的角表示）
3.寫出與 終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式 的元素 寫出來(lái).
4.時(shí)針走過(guò)3小時(shí)20分，則分鐘所轉(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為______________，時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角的度數(shù)為______________.
5.寫出終邊在直線 上的角的集合，并給出集合中介于 和 之間的角.
6.角 是 ～ 中的一個(gè)角，若角 與 角有相同始邊，且又有相同終邊，則角 .
參考答案：
1.（1） （2） （3） （4）
2.
3. ， 或
4. ，
5. ， 或
6.