下學期 4.2 弧度制
教學目標 ：
1.明確引入弧度制的必要性，理解新單位制意義.
2.熟練掌握角度制與弧度制的換算.
教學重點：理解弧度制引入的必要性，掌握定義，能熟練地進行角度制與弧度制的互化.
教學難點 ：弧度制定義的理解.
教學用具：投影儀.
教學過程
1.設置情境
在角度制下，當把兩個帶著度、分、秒各單位的角相加、相減時，由于運算進率非十進制，總給我們帶來不少困難.那么我們能否重新選擇角單位，使在該單位制下兩角的加、減運算與常規的十進制加減法一樣去做呢？本節課就來嘗試選擇這種新單位.
2.探索研究
（1）復習角度制
我們在平面幾何中研究角的度量，當時是用度做單位來度量角， 的角是如何定義的？
規定把周角的 作為1度的角.
我們把用度做單位來度量角的制度叫做角度制，在數學和其他許多科學研究中還要經常用到另一種度量角的制度—弧度制，它是如何定義呢？
（2）弧度制定義
我們把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，如圖1，弧 的長等于半徑 ， 所對的圓心角 就是1弧度的角，弧度制的單位符號是 ，讀作弧度.
圖1
的弧度數 的弧度數
提問：若弧是一個半圓，則其圓心角的弧度數是多少？若弧是一個整圓呢？
因為半圓的弧長 ，其圓心角的弧度數是 ，同理，若弧是一個整圓，其圓心角的弧度數是 .
在 到 的角的弧度數 必然適合不等式 ，角的概念推廣后，弧的概念也隨之推廣，任一正角的弧度數都是一個正數.如果圓心角表示一個負角，且它以所對的弧長 ，則這個圓心角的弧度數是 ，由此我們給出弧度制的定義：一般地，可以得到：正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0；角 的弧度數的絕對值 ，其中 是以角 作為圓心角時所對的弧長， 是圓的半徑，這種以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制.
提問：為什么可以用弧長與其半徑的比值來度量角的大小呢？即這個比值是否與所取的圓的半徑大小無關呢？
如圖2，設 為 的角，圓弧 和 的長分別為 和 ，點 和 到點 的距離（即圓半徑）分別為 和 ，由初中學過的弧長公式可得： ， ，于是 .上式表明，以角 為圓心角所對的弧長與其半徑的比值，由 的大小來確定，與所取的半徑大小無關，僅與角的大小有關.
因 ，可以得到 ，那弧長等于圓弧所對圓心角的弧度數的絕對值與半徑的積，這個公式比采用角度制時相應公式 要簡單.
（3）角度制與弧度制的換算
用“弧度”與“度”去度量每一個角時，除了零角以外，所得到的量數都是不同的，但它們既然是度量同一個角的結果，二者就可以相互換算.我們已經知識若弧是一個整圓，它的圓心角是周角，其弧度數是 ，而在角度制里它是 ，因此 ，兩邊除以2.
得 等式兩邊同除180
得
同理，把弧度換成角度.
【例1】把 化成弧度.
解：∵
∴
【例2】把 化成度.
解：
同學們在進行角度制與弧度制互化時要抓住 弧度這個關鍵.
下面請大家寫出一些特殊角的弧度數.
角度 |
|
|
|
|
|
| |||||
弧度 |
|
|
|
|
|
按從左至右順序其答案是：0、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 .今后我們用弧度制表示角的時候，“弧度”二字或“ ”通常省略不寫，而只寫相應的弧度數.例如：角 就表示 是 的角， 就表示 的角的余弦，即 .
（4）角度制與弧度制的比較
引進弧度制后，我們應將它與角度制進行比較，同學們應明確：①弧度制是以“弧度”為單位度量角的制度，角度制是以“度”為單位度量角的制度；②1弧度是等于半徑長的圓弧所對的圓心角（或該弧）的大小，而 是圓的 所對的圓心角（或該弧）的大小；③不論是以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與半徑大小無關的定值.
【例3】計算：
（1） ；（2） .
解：（1）∵ ∴
（2）∵
練習（用投影儀）
1.把下列各角化成 的形式：
（1） ；（2） ；
（3） .
2.求右圖3中公路彎道處弧 的長 （精確到 ，圖中長度單位： ）.
參考答案：
1.（1）
（2）
（3）
2.∵
∴
答：彎道處 的長約為 .
3.練習反饋
（1）若三角形的三個內角之比是2：3：4，求其三個內角的弧度數.
（2）已知扇形的周長為 ，面積為 ，求扇形的中心角的弧度數.
（3）下列終邊相同的是（ ）.
A. 與
B. 與
C. 與
D. 與
參考答案：（1） 、 、 ； （2）2 （3）B
4.總結提煉
（1） 弧度；
（2）“角化弧”時，將 乘以 ；“弧化角”時，將 乘以
（3）弧長公式：
扇形面積公式： .（其中 為圓心角 所對的弧長， 為圓心角的弧度數， 為圓半徑.）
課時作業
1.角集合 與 之間的關系為（ ）
A. B. C. D.不確定
2.若角 和 的終邊互為反向延長線，則有（ ）
A. B.
C. D.
3.中心角為 的扇形，它的弧長為 ，則該扇形所在圓的半徑為______________.
4.若 ，且 與 的角的終邊垂直，則 .
5.已知直徑為 的滑輪上有一條長為 的弦， 是此弦的中點，若滑輪以每秒5弧度的角速度旋轉，則經過5秒鐘后點 轉過的弧長等于多少？
6.已知一個扇形周長為 ，當扇形的中心角為多大時，它有最大面積
參考答案：1.C 2.D 3.6； 4. 或 ； 5. ； 6.中心角 時， .