上學期 3.1數列

教學目標 

1.通過教學使學生理解數列的概念，了解數列的表示法，能夠根據通項公式寫出數列的項.

2.通過數列定義的歸納概括，初步培養學生的觀察、抽象概括能力；滲透函數思想.

3.通過有關數列實際應用的介紹，激發學生學習研究數列的積極性.

教學重點，難點

教學重點是數列的定義的歸納與認識；教學難點 是數列與函數的聯系與區別.

教學用具：電腦，課件（媒體資料），投影儀，幻燈片

教學方法：講授法為主

教學過程 

一.揭示課題

今天開始我們研究一個新課題.

先舉一個生活中的例子：場地上堆放了一些圓鋼，最底下的一層有100根，在其上一層（稱作第二層）碼放了99根，第三層碼放了98根，依此類推，問：最多可放多少層？第57層有多少根？從第1層到第57層一共有多少根？我們不能滿足于一層層的去數，而是要但求如何去研究，找出一般規律.實際上我們要研究的是這樣的一列數

（板書） 象這樣排好隊的數就是我們的研究對象——數列.

（板書）第三章 數列

（一）數列的概念

二.講解新課

要研究數列先要知道何為數列，即先要給數列下定義，為幫助同學概括出數列的定義，再給出幾列數：

（幻燈片）                     ①

自然數排成一列數：

②

3個1排成一列：

③

無數個1排成一列：

④

的不足近似值，分別近似到 排列起來：

                          ⑤

正整數 的倒數排成一列數：

                                ⑥

函數 當 依次取 時得到一列數：

                              ⑦

函數 當 依次取 時得到一列數：

                           ⑧

請學生觀察8列數，說明每列數就是一個數列，數列中的每個數都有自己的特定的位置，這樣數列就是按一定順序排成的一列數.

（板書）1.數列的定義：按一定次序排成的一列數叫做數列.

為表述方便給出幾個名稱：項，項數，首項（以幻燈片的形式給出）.以上述八個數列為例，讓學生練習指出某一個數列的首項是多少，第二項是多少，指出某一個數列的一些項的項數.

由此可以看出，給定一個數列，應能夠指明第一項是多少，第二項是多少，……，每一項都是確定的，即指明項數，對應的項就確定.所以數列中的每一項與其項數有著對應關系，這與我們學過的函數有密切關系.

（板書）2.數列與函數的關系

數列可以看作特殊的函數，項數是其自變量，項是項數所對應的函數值，數列的定義域是正整數集 ，或是正整數集 的有限子集 .

于是我們研究數列就可借用函數的研究方法，用函數的觀點看待數列.

遇到數學概念不單要下定義，還要給其數學表示，以便研究與交流，下面探討數列的表示法.

（板書）3.數列的表示法

數列可看作特殊的函數，其表示也應與函數的表示法有聯系，首先請學生回憶函數的表示法：列表法，圖象法，解析式法.相對于列表法表示一個函數，數列有這樣的表示法：用 表示第一項，用 表示第一項，……，用 表示第 項，依次寫出成為

（板書）（1）列舉法

.（如幻燈片上的例子）簡記為 .

一個函數的直觀形式是其圖象，我們也可用圖形表示一個數列，把它稱作圖示法.

（板書）（2）圖示法

啟發學生仿照函數圖象的畫法畫數列的圖形.具體方法是以項數 為橫坐標，相應的項 為縱坐標，即以 為坐標在平面直角坐標系中做出點（以前面提到的數列 為例，做出一個數列的圖象），所得的數列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數，所以這些點都在 軸的右側，而點的個數取決于數列的項數.從圖象中可以直觀地看到數列的項隨項數由小到大變化而變化的趨勢.

有些函數可以用解析式來表示，解析式反映了一個函數的函數值與自變量之間的數量關系，類似地有一些數列的項能用其項數的函數式表示出來，即 ，這個函數式叫做數列的通項公式.

（板書）（3）通項公式法

如數列 的通項公式為 ；

  的通項公式為 ；

的通項公式為 ；

數列的通項公式具有雙重身份，它表示了數列的第 項，又是這個數列中所有各項的一般表示.通項公式反映了一個數列項與項數的函數關系，給了數列的通項公式，這個數列便確定了，代入項數就可求出數列的每一項.

例如，數列 的通項公式 ，則 .

值得注意的是，正如一個函數未必能用解析式表示一樣，不是所有的數列都有通項公式，即便有通項公式，通項公式也未必唯一.

除了以上三種表示法，某些數列相鄰的兩項（或幾項）有關系，這個關系用一個公式來表示，叫做遞推公式.

（板書）（4）遞推公式法

如前面所舉的鋼管的例子，第 層鋼管數 與第 層鋼管數 的關系是 ，再給定 ，便可依次求出各項.再如數列 中， ，這個數列就是 .

像這樣，如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系用一個公式來表示，這個公式叫做這個數列的遞推公式.遞推公式是數列所特有的表示法，它包含兩個部分，一是遞推關系，一是初始條件，二者缺一不可.

可由學生舉例，以檢驗學生是否理解.

三.小結

1.數列的概念

2.數列的四種表示

四.作業   略

五.板書設計