3.1 等差數列（精選15篇）

3.1 等差數列 篇1

　　教學目的：1.明確等差數列的定義，掌握等差數列的通項公式；    2.會解決知道 中的三個，求另外一個的問題           教學重點：等差數列的概念，等差數列的通項公式 教學難點：等差數列的性質 教學過程： 一、復習引入：（課件第一頁）   二、講解新課：        1.等差數列：一般地，如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的 差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的公差（常用字母“d”表示）。（課件第二頁） ⑴.公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求； ⑵.對于數列{ },若 － =d (與n無關的數或字母)，n≥2，n∈n ，則此數列是等差數列，d 為公差。 2.等差數列的通項公式： 【或 】等差數列定義是由一數列相鄰兩項之間關系而得。若一等差數列 的首項是 ，公差是d，則據其定義可得： 即： 即： 即： …… 由此歸納等差數列的通項公式可得：   （課件第二頁） 第二通項公式             （課件第二頁） 三、例題講解 例1 ⑴求等差數列8，5，2…的第20項(課本p111) ⑵ -401是不是等差數列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？ 例2 在等差數列 中，已知 ， ，求 , , 例3將一個等差數列的通項公式輸入計算器數列 中，設數列的第s項和第t項分別為 和 ，計算 的值，你能發現什么結論？并證明你的結論。  小結：①這就是第二通項公式的變形，②幾何特征，直線的斜率 例4 梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數列，計算中間各級的寬度。（課本p112例3） 例5 已知數列{ }的通項公式 ，其中 、 是常數，那么這個數列是否一定是等差數列？若是，首項與公差分別是什么？（課本p113例4）    分析：由等差數列的定義，要判定 是不是等差數列，只要看 （n≥2）是不是一個與n無關的常數。 注：①若p=0，則{ }是公差為0的等差數列，即為常數列q，q，q，… ②若p≠0, 則{ }是關于n的一次式,從圖象上看,表示數列的各點均在一次函數y=px+q的圖象上,一次項的系數是公差,直線在y軸上的截距為q. ③數列{ }為等差數列的充要條件是其通項 =pn+q (p、q是常數)。稱其為第3通項公式④判斷數列是否是等差數列的方法是否滿足3個通項公式中的一個。 例6.成等差數列的四個數的和為26，第二項與第三項之積為40，求這四個數.四、練習： 1.（1）求等差數列3，7，11，……的第4項與第10項. （2）求等差數列10，8，6，……的第20項. （3）100是不是等差數列2，9，16，……的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. （4）－20是不是等差數列0，－3 ，－7，……的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. 2.在等差數列{ }中，（1）已知 =10, =19,求 與d; 五、課后作業：習題3.2  1（2），（4）  2.（2）， 3， 4，  5， 6 .  8.  9.

3.1 等差數列 篇2

　　教材：（二）目的：通過例題的講解，要求學生進一步認清等差數列的有關性質意義，并且能夠用定義與通項公式來判斷一個數列是否成等差數列。過程：一、復習：等差數列的定義，通項公式    二、例一    在等差數列 中， 為公差，若 且 求證：1°     2°         證明：1°  設首項為 ，則∵   ∴ 2∵   ∴ 注意：由此可以證明一個定理：設成等差數列，則與首末兩項距離相等的兩項和等于首末兩項的和 ，即：                    同樣：若  則        例二  在等差數列 中，                 1° 若     求                 解：  即    ∴                2° 若  求           解： =                3° 若     求            解：   即    ∴                   從而                4° 若     求           解：∵ 6+6=11+1      7+7=12+2   ……                  ∴        ……                 從而 + 2                   ∴ =2 -                                                     =2×80-30=130  三、判斷一個數列是否成等差數列的常用方法      1.定義法：即證明            已知數列 的前 項和 ，求證數列 成等差數列，并求其首項、公差、通項公式。                  解：                             當 時                           時 亦滿足  ∴               首項                     ∴ 成等差數列且公差為6     2.中項法： 即利用中項公式，若  則 成等差數列。          已知 ， ， 成等差數列，求證 ， ， 也成ap。         證明： ∵ ， ， 成ap      ∴  化簡得：                                                                                                                =                            ∴ ， ， 也成等差數列。         3.通項公式法：利用等差數列得通項公式是關于 的一次函數這一性質。            例五  設數列 其前 項和 ，問這個數列成ap嗎？解： 時        時                   ∵    ∴                       ∴ 數列 不成ap   但從第2項起成等差數列。   四、小結： 略   五、作業：

3.1 等差數列 篇3

　　教學目標 

　　1.理解的概念，掌握的通項公式，并能運用通項公式解決簡單的問題.

　　（1）了解公差的概念，明確一個數列是的限定條件，能根據定義判斷一個數列是，了解等差中項的概念；

　　（2）正確認識使用的各種表示法，能靈活運用通項公式求的首項、公差、項數、指定的項；

　　（3）能通過通項公式與圖像認識的性質，能用圖像與通項公式的關系解決某些問題.

　　2.通過的圖像的應用，進一步滲透數形結合思想、函數思想；通過通項公式的運用，滲透方程思想.

　　3.通過概念的歸納概括，培養學生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創新意識；通過對的研究，使學生明確與一般數列的內在聯系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點.

　　關于的教學建議

　　（1）知識結構

　　（2）重點、難點分析

　　①教學重點是的定義和對通項公式的認識與應用，是特殊的數列，定義恰恰是其特殊性、也是本質屬性的準確反映和高度概括，準確把握定義是正確認識，解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數的函數關系，是研究一個數列的重要工具，的通項公式的結構與一次函數的解析式密切相關，通過函數圖象研究數列性質成為可能.

　　②通過不完全歸納法得出的通項公式，所以是教學中的一個難點；另外， 出現在一個等式中，運用方程的思想，已知三個量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多，學生應用時會有一定的困難，通項公式的靈活運用是教學的有一難點.

　　（3）教法建議

　　①本節內容分為兩課時，一節為的定義與表示法，一節為通項公式的應用.

　　②定義的引出可先給出幾組，讓學生觀察、比較，概括共同規律，再由學生嘗試說出的定義，對程度差的學生可以提示定義的結構：“……的數列叫做”，由學生把限定條件一一列舉出來，為等比數列的定義作準備.如果學生給出的定義不準確，可讓學生研究討論，用符合學生的定義但不是的數列作為反例，再由學生修改其定義，逐步完善定義.

　　③的定義歸納出來后，由學生舉一些的例子，以此讓學生思考確定一個的條件.

　　④由學生根據一般數列的表示法嘗試表示，前提條件是已知數列的首項與公差.明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根據圖像觀察項隨項數的變化規律；再看通項公式，項 可看作項數 的一次型（ ）函數，這與其圖像的形狀相對應.

　　⑤有窮的末項與通項是有區別的，數列的通項公式 是數列第 項 與項數 之間的函數關系式，有窮的項數未必是 ，即其末項未必是該數列的第 項，在教學中一定要強調這一點.

　　⑥前 項和的公式推導離不開的性質，所以在本節課應補充一些重要的性質；另外可讓學生研究的子數列，有規律的子數列會引起學生的興趣.

　　⑦是現實生活中廣泛存在的數列的數學模型，如教材中的例題、習題等，還可讓學生去搜集，然后彼此交流，提出相關問題，自己嘗試解決，為學生提供相互學習的機會，創設相互研討的課堂環境.

　　通項公式的教學設計示例

　　教學目標 

　　1.通過教與學的互動，使學生加深對通項公式的認識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；

　　2.利用通項公式求的項、項數、公差、首項，使學生進一步體會方程思想；

　　3.通過參與編題解題，激發學生學習的興趣.

　　教學重點，難點

　　教學重點是通項公式的認識；教學難點 是對公式的靈活運用.

　　教學用具

　　實物投影儀，多媒體軟件，電腦.

　　教學方法

　　研探式.

　　教學過程 

　　一.復習提問

　　前一節課我們學習了的概念、表示法，請同學們回憶的定義，其表示法都有哪些？

　　的概念是從相鄰兩項的關系加以定義的，這個關系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用.

　　二.主體設計

　　通項公式 反映了項 與項數 之間的函數關系，當的首項與公差確定后，數列的每一項便確定了，可以求指定的項（即已知 求 ）.找學生試舉一例如：“已知 中，首項 ，公差 ，求 .”這是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.

　　1.方程思想的運用

　　（1）已知 中，首項 ，公差 ，則－397是該數列的第______項.

　　（2）已知 中，首項 ， 則公差

　　（3）已知 中，公差 ， 則首項

　　這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量 ， 在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量.

　　2.基本量方法的使用

　　（1）已知 中， ，求 的值.

　　（2）已知 中， ， 求 .

　　若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關于 和 的二元方程組，所以這些是確定的，由 和 寫出通項公式，便可歸結為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關于 和 的二元方程組，以求得 和 ， 和 稱作基本量.

　　教師提出新的問題，已知的一個條件（等式），能否確定一個？學生回答后，教師再啟發，由這一個條件可得到關于 和 的二元方程，這是一個 和 的制約關系，從這個關系可以得到什么結論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）.

　　如：已知 中， …

　　由條件可得 即 ，可知 ，這是比較顯然的，與之相關的還能有什么結論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項有關？多項有關？由學生發現規律，完善問題

　　（3）已知 中， 求 ； ； ； ；….

　　類似的還有

　　（4）已知 中， 求 的值.

　　以上屬于對數列的項進行定量的研究，有無定性的判斷？引出

　　3.研究的單調性

　　，考察 隨項數 的變化規律.著重考慮 的情況. 此時 是 的一次函數，其單調性取決于 的符號，由學生敘述結果.這個結果與考察相鄰兩項的差所得結果是一致的.

　　4.研究項的符號

　　這是為研究前 項和的最值所做的準備工作.可配備的題目如

　　（1）已知數列 的通項公式為 ，問數列從第幾項開始小于0？

　　（2） 從第________項起以后每項均為負數.

　　三.小結

　　1. 用方程思想認識通項公式；

　　2. 用函數思想解決問題.

　　四.板書設計 

　　通項公式  1. 方程思想的運用

　　2. 基本量方法的使用

　　3. 研究的單調性

　　4. 研究項的符號

3.1 等差數列 篇4

　　教材：（一）目的：要求學生掌握等差數列的意義，通項公式及等差中項的有關概念、計算公式，并能用來解決有關問題。過程：

　　一、引導觀察數列：4，5，6，7，8，9，10，……                         3，0，-3，-6，……                     ， ， ， ，……                        12，9，6，3，……       特點：從第二項起，每一項與它的前一項的差是常數 — “等差”

　　二、得出等差數列的定義：        注意：從第二項起，后一項減去前一項的差等于同一個常數。1.名稱：   首項   公差 2.若   則該數列為常數列3.尋求等差數列的通項公式：                    由此歸納為     當 時  （成立）       注意:  1° 等差數列的通項公式是關于 的一次函數              2° 如果通項公式是關于 的一次函數，則該數列成ap          證明：若                 它是以 為首項， 為公差的ap。              3° 公式中若  則數列遞增，  則數列遞減  4° 圖象： 一條直線上的一群孤立點三、例題： 注意在 中 ， ， ， 四數中已知三個可以求           出另一個。例一 （見教材）例二 （見教材）

　　四、關于等差中項： 如果 成等差數列則       證明：設公差為 ，則               ∴    例四  《教學與測試》p77 例一：在-1與7之間順次插入三個數 使這五個數成ap，求此數列。五、小結：等差數列的定義、通項公式、等差中項六、作業：           

3.1 等差數列 篇5

　　教學目標

　　1.理解等差數列的概念,把握等差數列的通項公式,并能運用通項公式解決簡單的問題.

　　(1)了解公差的概念,明確一個數列是等差數列的限定條件,能根據定義判定一個數列是等差數列,了解等差中項的概念;

　　(2)正確熟悉使用等差數列的各種表示法,能靈活運用通項公式求等差數列的首項、公差、項數、指定的項;

　　(3)能通過通項公式與圖像熟悉等差數列的性質,能用圖像與通項公式的關系解決某些問題.

　　2.通過等差數列的圖像的應用,進一步滲透數形結合思想、函數思想;通過等差數列通項公式的運用,滲透方程思想.

　　3.通過等差數列概念的歸納概括,培養學生的觀察、分析資料的能力,積極思維,追求新知的創新意識;通過對等差數列的研究,使學生明確等差數列與一般數列的內在聯系,從而滲透非凡與一般的辯證唯物主義觀點.

　　關于等差數列的教學建議

　　(1)知識結構

　　(2)重點、難點分析

　　①教學重點是等差數列的定義和對通項公式的熟悉與應用,等差數列是非凡的數列,定義恰恰是其非凡性、也是本質屬性的準確反映和高度概括,準確把握定義是正確熟悉等差數列,解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數的函數關系,是研究一個數列的重要工具,等差數列的通項公式的結構與一次函數的解析式密切相關,通過函數圖象研究數列性質成為可能.

　　②通過不完全歸納法得出等差數列的通項公式,所以是教學中的一個難點;另外, 出現在一個等式中,運用方程的思想,已知三個量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多,學生應用時會有一定的困難,通項公式的靈活運用是教學的有一難點.

　　(3)教法建議

　　①本節內容分為兩課時,一節為等差數列的定義與表示法,一節為等差數列通項公式的應用.

　　②等差數列定義的引出可先給出幾組等差數列,讓學生觀察、比較,概括共同規律,再由學生嘗試說出等差數列的定義,對程度差的學生可以提示定義的結構:“……的數列叫做等差數列”,由學生把限定條件一一列舉出來,為等比數列的定義作預備.假如學生給出的定義不準確,可讓學生研究討論,用符合學生的定義但不是等差數列的數列作為反例,再由學生修改其定義,逐步完善定義.

　　③等差數列的定義歸納出來后,由學生舉一些等差數列的例子,以此讓學生思考確定一個等差數列的條件.

　　④由學生根據一般數列的表示法嘗試表示等差數列,前提條件是已知數列的首項與公差.明確指出其圖像是一條直線上的一些點,根據圖像觀察項隨項數的變化規律;再看通項公式,項 可看作項數 的一次型( )函數,這與其圖像的外形相對應.

　　⑤有窮等差數列的末項與通項是有區別的,數列的通項公式 是數列第 項 與項數 之間的函數關系式,有窮等差數列的項數未必是 ,即其末項未必是該數列的第 項,在教學中一定要強調這一點.

　　⑥等差數列前 項和的公式推導離不開等差數列的性質,所以在本節課應補充一些重要的性質;另外可讓學生研究等差數列的子數列,有規律的子數列會引起學生的愛好.

　　⑦等差數列是現實生活中廣泛存在的數列的數學模型,如教材中的例題、習題等,還可讓學生去搜集,然后彼此交流,提出相關問題,自己嘗試解決,為學生提供相互學習的機會,創設相互研討的課堂環境.

　　等差數列通項公式的教學設計示例

　　教學目標

　　1.通過教與學的互動,使學生加深對等差數列通項公式的熟悉,能參與編擬一些簡單的問題,并解決這些問題;

　　2.利用通項公式求等差數列的項、項數、公差、首項,使學生進一步體會方程思想;

　　3.通過參與編題解題,激發學生學習的愛好.

　　教學重點,難點

　　教學重點是通項公式的熟悉;教學難點是對公式的靈活運用.

　　教學用具

　　實物投影儀,多媒體軟件,電腦.

　　教學方法

　　研探式.

　　教學過程

　　一.復習提問

　　前一節課我們學習了等差數列的概念、表示法,請同學們回憶等差數列的定義,其表示法都有哪些?

　　等差數列的概念是從相鄰兩項的關系加以定義的,這個關系用遞推公式來表示比較簡單,但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用.

　　二.主體設計

　　通項公式 反映了項 與項數 之間的函數關系,當等差數列的首項與公差確定后,數列的每一項便確定了,可以求指定的項(即已知 求 ).找學生試舉一例如:“已知等差數列 中,首項 ,公差 ,求 .”這是通項公式的簡單應用,由學生解答后,要求每個學生出一些運用等差數列通項公式的題目,包括正用、反用與變用,簡單、復雜,定量、定性的均可,教師巡視將好題搜集起來,分類投影在屏幕上.

　　1.方程思想的運用

　　(1)已知等差數列 中,首項 ,公差 ,則-397是該數列的第______項.

　　(2)已知等差數列 中,首項 , 則公差

　　(3)已知等差數列 中,公差 , 則首項

　　這一類問題先由學生解決,之后教師點評,四個量 , 在一個等式中,運用方程的思想方法,已知其中三個量的值,可以求得第四個量.

　　2.基本量方法的使用

　　(1)已知等差數列 中, ,求 的值.

　　(2)已知等差數列 中, , 求 .

　　若學生的題目只有這兩種類型,教師可以小結(最好請出題者、解題者概括):因為已知條件可以化為關于 和 的二元方程組,所以這些等差數列是確定的,由 和 寫出通項公式,便可歸結為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件(等式)化為關于 和 的二元方程組,以求得 和 , 和 稱作基本量.

　　教師提出新的問題,已知等差數列的一個條件(等式),能否確定一個等差數列?學生回答后,教師再啟發,由這一個條件可得到關于 和 的二元方程,這是一個 和 的制約關系,從這個關系可以得到什么結論?舉例說明(例題可由學生或教師給出,視具體情況而定).

　　如:已知等差數列 中, …

　　由條件可得 即 ,可知 ,這是比較顯然的,與之相關的還能有什么結論?若學生答不出可提示,一定得某一項的值么?能否與兩項有關?多項有關?由學生發現規律,完善問題

　　(3)已知等差數列 中, 求 ; ; ; ;….

　　類似的還有

　　(4)已知等差數列 中, 求 的值.

　　以上屬于對數列的項進行定量的研究,有無定性的判定?引出

　　3.研究等差數列的單調性

　　,考察 隨項數 的變化規律.著重考慮 的情況. 此時 是 的一次函數,其單調性取決于 的符號,由學生敘述結果.這個結果與考察相鄰兩項的差所得結果是一致的.

　　4.研究項的符號

　　這是為研究等差數列前 項和的最值所做的預備工作.可配備的題目如

　　(1)已知數列 的通項公式為 ,問數列從第幾項開始小于0?

　　(2)等差數列 從第________項起以后每項均為負數.

　　三.小結

　　1. 用方程思想熟悉等差數列通項公式;

　　2. 用函數思想解決等差數列問題.

　　四.板書設計

　　等差數列通項公式1. 方程思想的運用

　　2. 基本量方法的使用

　　3. 研究等差數列的單調性

　　4. 研究項的符號

3.1 等差數列 篇6

　　教學目標                        1.明確等差中的概念.     2.進一步熟練掌握等差數列的通項公式及推導公式     3.培養學生的應用意識.     教學重點                    等差數列的性質的理解及應用     教學難點                    靈活應用等差數列的定義及性質解決一些相關問題     教學方法                        講練相結合     教具準備                        投影片2張(內容見下面) 教學過程                        (i)復習回顧 師：首先回憶一下上節課所學主要內容： 1.  等差數列定義： （n≥2） 2.  等差數列通項公式： （n≥2） 推導公式： （ⅱ）講授新課 師：先來看這樣兩個例題（放投影片1） 例1：在等差數列 中，已知 ， ，求首項 與公差 例2：梯子最高一級寬33cm，最低一級寬為110cm，中間還有10級，各級的寬度成等差數列，計算中間各級的寬度。1.  解：由題意可知 解之得 即這個數列的首項是-2，公差是3。 或由題意可得： 即：31=10+7d 可求得d=3，再由 求得1=-2 2.  解設 表示梯子自上而上各級寬度所成的等差數列，由已知條件，可知： a1=33,  a12=110，n=12 ∴ ,即時10=33+11 解之得： 因此， 答：梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm. 師：[提問]如果在 與 中間插入一個數a，使 ，a， 成等差數列數列，那么a應滿足什么條件？ 生：由定義得a- = -a 即： 反之，若 ，則a- = -a 師：由此可可得： 成等差數列，若 ，a， 成等差數列，那么a叫做 與 的等差中項。 不難發現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。 如數列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是否和風細雨的等差中項，1和9的等差中項。 9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。 看來， 從而可得在一等差數列中，若m+n=p+q 則， 生：結合例子，熟練掌握此性質 師：再來看例3。（放投影片2） 生：思考例題 例3：已知數列的通項公式為： 分析：由等差數列的定義，要判定 是不是等差數列，只要看 （n≥2）是不是一個與n無關的常數。 解：取數列 中的任意相鄰兩項 與 （n≥2）， 則： 它是一個與n無關的常數，所以 是等差數列。在 中令n=1，得： ，所以這個等差數列的首項是p=q，公差是p.看來，等差數列的通項公式可以表示為： ，其中 、 是常數。 （ⅲ）課堂練習 生：（口答） （書面練習） 師：給出答案 生：自評練習 （ⅳ）課時小結 師：本節主要概念：等差中項 另外，注意靈活應用等差數列定義及通項公式解決相關問題。 （ⅴ）課后作業 一、課本 二、1.預習內容     2.預習提綱：①等差數列的前n項和公式； ②等差數列前n項和的簡單應用。 教學后記                 

3.1 等差數列 篇7

　　教學目標 

　　1.理解的概念，掌握的通項公式，并能運用通項公式解決簡單的問題.

　　（1）了解公差的概念，明確一個數列是的限定條件，能根據定義判斷一個數列是，了解等差中項的概念；

　　（2）正確認識使用的各種表示法，能靈活運用通項公式求的首項、公差、項數、指定的項；

　　（3）能通過通項公式與圖像認識的性質，能用圖像與通項公式的關系解決某些問題.

　　2.通過的圖像的應用，進一步滲透數形結合思想、函數思想；通過通項公式的運用，滲透方程思想.

　　3.通過概念的歸納概括，培養學生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創新意識；通過對的研究，使學生明確與一般數列的內在聯系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點.

　　關于的教學建議

　　（1）知識結構

　　（2）重點、難點分析

　　①教學重點是的定義和對通項公式的認識與應用，是特殊的數列，定義恰恰是其特殊性、也是本質屬性的準確反映和高度概括，準確把握定義是正確認識，解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數的函數關系，是研究一個數列的重要工具，的通項公式的結構與一次函數的解析式密切相關，通過函數圖象研究數列性質成為可能.

　　②通過不完全歸納法得出的通項公式，所以是教學中的一個難點；另外， 出現在一個等式中，運用方程的思想，已知三個量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多，學生應用時會有一定的困難，通項公式的靈活運用是教學的有一難點.

　　（3）教法建議

　　①本節內容分為兩課時，一節為的定義與表示法，一節為通項公式的應用.

　　②定義的引出可先給出幾組，讓學生觀察、比較，概括共同規律，再由學生嘗試說出的定義，對程度差的學生可以提示定義的結構：“……的數列叫做”，由學生把限定條件一一列舉出來，為等比數列的定義作準備.如果學生給出的定義不準確，可讓學生研究討論，用符合學生的定義但不是的數列作為反例，再由學生修改其定義，逐步完善定義.

　　③的定義歸納出來后，由學生舉一些的例子，以此讓學生思考確定一個的條件.

　　④由學生根據一般數列的表示法嘗試表示，前提條件是已知數列的首項與公差.明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根據圖像觀察項隨項數的變化規律；再看通項公式，項 可看作項數 的一次型（ ）函數，這與其圖像的形狀相對應.

　　⑤有窮的末項與通項是有區別的，數列的通項公式 是數列第 項 與項數 之間的函數關系式，有窮的項數未必是 ，即其末項未必是該數列的第 項，在教學中一定要強調這一點.

　　⑥前 項和的公式推導離不開的性質，所以在本節課應補充一些重要的性質；另外可讓學生研究的子數列，有規律的子數列會引起學生的興趣.

　　⑦是現實生活中廣泛存在的數列的數學模型，如教材中的例題、習題等，還可讓學生去搜集，然后彼此交流，提出相關問題，自己嘗試解決，為學生提供相互學習的機會，創設相互研討的課堂環境.

　　通項公式的教學設計示例

　　教學目標 

　　1.通過教與學的互動，使學生加深對通項公式的認識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；

　　2.利用通項公式求的項、項數、公差、首項，使學生進一步體會方程思想；

　　3.通過參與編題解題，激發學生學習的興趣.

　　教學重點，難點

　　教學重點是通項公式的認識；教學難點 是對公式的靈活運用.

　　教學用具

　　實物投影儀，多媒體軟件，電腦.

　　教學方法

　　研探式.

　　教學過程 

　　一.復習提問

　　前一節課我們學習了的概念、表示法，請同學們回憶的定義，其表示法都有哪些？

　　的概念是從相鄰兩項的關系加以定義的，這個關系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用.

　　二.主體設計

　　通項公式 反映了項 與項數 之間的函數關系，當的首項與公差確定后，數列的每一項便確定了，可以求指定的項（即已知 求 ）.找學生試舉一例如：“已知 中，首項 ，公差 ，求 .”這是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.

　　1.方程思想的運用

　　（1）已知 中，首項 ，公差 ，則－397是該數列的第______項.

　　（2）已知 中，首項 ， 則公差

　　（3）已知 中，公差 ， 則首項

　　這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量 ， 在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量.

　　2.基本量方法的使用

　　（1）已知 中， ，求 的值.

　　（2）已知 中， ， 求 .

　　若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關于 和 的二元方程組，所以這些是確定的，由 和 寫出通項公式，便可歸結為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關于 和 的二元方程組，以求得 和 ， 和 稱作基本量.

　　教師提出新的問題，已知的一個條件（等式），能否確定一個？學生回答后，教師再啟發，由這一個條件可得到關于 和 的二元方程，這是一個 和 的制約關系，從這個關系可以得到什么結論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）.

　　如：已知 中， …

　　由條件可得 即 ，可知 ，這是比較顯然的，與之相關的還能有什么結論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項有關？多項有關？由學生發現規律，完善問題

　　（3）已知 中， 求 ； ； ； ；….

　　類似的還有

　　（4）已知 中， 求 的值.

　　以上屬于對數列的項進行定量的研究，有無定性的判斷？引出

　　3.研究的單調性

　　，考察 隨項數 的變化規律.著重考慮 的情況. 此時 是 的一次函數，其單調性取決于 的符號，由學生敘述結果.這個結果與考察相鄰兩項的差所得結果是一致的.

　　4.研究項的符號

　　這是為研究前 項和的最值所做的準備工作.可配備的題目如

　　（1）已知數列 的通項公式為 ，問數列從第幾項開始小于0？

　　（2） 從第________項起以后每項均為負數.

　　三.小結

　　1. 用方程思想認識通項公式；

　　2. 用函數思想解決問題.

　　四.板書設計 

　　通項公式  1. 方程思想的運用

　　2. 基本量方法的使用

　　3. 研究的單調性

　　4. 研究項的符號

3.1 等差數列 篇8

　　教學目標 

　　1.理解的概念，掌握的通項公式，并能運用通項公式解決簡單的問題.

　　（1）了解公差的概念，明確一個數列是的限定條件，能根據定義判斷一個數列是，了解等差中項的概念；

　　（2）正確認識使用的各種表示法，能靈活運用通項公式求的首項、公差、項數、指定的項；

　　（3）能通過通項公式與圖像認識的性質，能用圖像與通項公式的關系解決某些問題.

　　2.通過的圖像的應用，進一步滲透數形結合思想、函數思想；通過通項公式的運用，滲透方程思想.

　　3.通過概念的歸納概括，培養學生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創新意識；通過對的研究，使學生明確與一般數列的內在聯系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點.

　　關于的教學建議

　　（1）知識結構

　　（2）重點、難點分析

　　①教學重點是的定義和對通項公式的認識與應用，是特殊的數列，定義恰恰是其特殊性、也是本質屬性的準確反映和高度概括，準確把握定義是正確認識，解決相關問題的前提條件.通項公式是項與項數的函數關系，是研究一個數列的重要工具，的通項公式的結構與一次函數的解析式密切相關，通過函數圖象研究數列性質成為可能.

　　②通過不完全歸納法得出的通項公式，所以是教學中的一個難點；另外， 出現在一個等式中，運用方程的思想，已知三個量可以求出第四個量.由于一個公式中字母較多，學生應用時會有一定的困難，通項公式的靈活運用是教學的有一難點.

　　（3）教法建議

　　①本節內容分為兩課時，一節為的定義與表示法，一節為通項公式的應用.

　　②定義的引出可先給出幾組，讓學生觀察、比較，概括共同規律，再由學生嘗試說出的定義，對程度差的學生可以提示定義的結構：“……的數列叫做”，由學生把限定條件一一列舉出來，為等比數列的定義作準備.如果學生給出的定義不準確，可讓學生研究討論，用符合學生的定義但不是的數列作為反例，再由學生修改其定義，逐步完善定義.

　　③的定義歸納出來后，由學生舉一些的例子，以此讓學生思考確定一個的條件.

　　④由學生根據一般數列的表示法嘗試表示，前提條件是已知數列的首項與公差.明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根據圖像觀察項隨項數的變化規律；再看通項公式，項 可看作項數 的一次型（ ）函數，這與其圖像的形狀相對應.

　　⑤有窮的末項與通項是有區別的，數列的通項公式 是數列第 項 與項數 之間的函數關系式，有窮的項數未必是 ，即其末項未必是該數列的第 項，在教學中一定要強調這一點.

　　⑥前 項和的公式推導離不開的性質，所以在本節課應補充一些重要的性質；另外可讓學生研究的子數列，有規律的子數列會引起學生的興趣.

　　⑦是現實生活中廣泛存在的數列的數學模型，如教材中的例題、習題等，還可讓學生去搜集，然后彼此交流，提出相關問題，自己嘗試解決，為學生提供相互學習的機會，創設相互研討的課堂環境.

　　通項公式的教學設計示例

　　教學目標 

　　1.通過教與學的互動，使學生加深對通項公式的認識，能參與編擬一些簡單的問題，并解決這些問題；

　　2.利用通項公式求的項、項數、公差、首項，使學生進一步體會方程思想；

　　3.通過參與編題解題，激發學生學習的興趣.

　　教學重點，難點

　　教學重點是通項公式的認識；教學難點 是對公式的靈活運用.

　　教學用具

　　實物投影儀，多媒體軟件，電腦.

　　教學方法

　　研探式.

　　教學過程 

　　一.復習提問

　　前一節課我們學習了的概念、表示法，請同學們回憶的定義，其表示法都有哪些？

　　的概念是從相鄰兩項的關系加以定義的，這個關系用遞推公式來表示比較簡單，但我們要圍繞通項公式作進一步的理解與應用.

　　二.主體設計

　　通項公式 反映了項 與項數 之間的函數關系，當的首項與公差確定后，數列的每一項便確定了，可以求指定的項（即已知 求 ）.找學生試舉一例如：“已知 中，首項 ，公差 ，求 .”這是通項公式的簡單應用，由學生解答后，要求每個學生出一些運用通項公式的題目，包括正用、反用與變用，簡單、復雜，定量、定性的均可，教師巡視將好題搜集起來，分類投影在屏幕上.

　　1.方程思想的運用

　　（1）已知 中，首項 ，公差 ，則－397是該數列的第______項.

　　（2）已知 中，首項 ， 則公差

　　（3）已知 中，公差 ， 則首項

　　這一類問題先由學生解決，之后教師點評，四個量 ， 在一個等式中，運用方程的思想方法，已知其中三個量的值，可以求得第四個量.

　　2.基本量方法的使用

　　（1）已知 中， ，求 的值.

　　（2）已知 中， ， 求 .

　　若學生的題目只有這兩種類型，教師可以小結（最好請出題者、解題者概括）：因為已知條件可以化為關于 和 的二元方程組，所以這些是確定的，由 和 寫出通項公式，便可歸結為前一類問題.解決這類問題只需把兩個條件（等式）化為關于 和 的二元方程組，以求得 和 ， 和 稱作基本量.

　　教師提出新的問題，已知的一個條件（等式），能否確定一個？學生回答后，教師再啟發，由這一個條件可得到關于 和 的二元方程，這是一個 和 的制約關系，從這個關系可以得到什么結論？舉例說明（例題可由學生或教師給出，視具體情況而定）.

　　如：已知 中， …

　　由條件可得 即 ，可知 ，這是比較顯然的，與之相關的還能有什么結論？若學生答不出可提示，一定得某一項的值么？能否與兩項有關？多項有關？由學生發現規律，完善問題

　　（3）已知 中， 求 ； ； ； ；….

　　類似的還有

　　（4）已知 中， 求 的值.

　　以上屬于對數列的項進行定量的研究，有無定性的判斷？引出

　　3.研究的單調性

　　，考察 隨項數 的變化規律.著重考慮 的情況. 此時 是 的一次函數，其單調性取決于 的符號，由學生敘述結果.這個結果與考察相鄰兩項的差所得結果是一致的.

　　4.研究項的符號

　　這是為研究前 項和的最值所做的準備工作.可配備的題目如

　　（1）已知數列 的通項公式為 ，問數列從第幾項開始小于0？

　　（2） 從第________項起以后每項均為負數.

　　三.小結

　　1. 用方程思想認識通項公式；

　　2. 用函數思想解決問題.

　　四.板書設計 

　　通項公式  1. 方程思想的運用

　　2. 基本量方法的使用

　　3. 研究的單調性

　　4. 研究項的符號

3.1 等差數列 篇9

　　教學目的：1.明確等差中項的概念.2.進一步熟練掌握等差數列的通項公式及推導公式.教學重點：等差數列的定義、通項公式、性質的理解與應用教學難點：靈活應用等差數列的定義及性質解決一些相關問題一、復習引入1.等差數列的定義；2.等差數列的通項公式：（1），（2），（3）3.有幾種方法可以計算公差d

　　① d= －     ② d=     ③ d=       二、講解新課：   問題：如果在 與 中間插入一個數a，使 ，a， 成等差數列數列，那么a應滿足什么條件？由定義得a- = -a    ，即： 反之，若 ，則a- = -a由此可可得： 成等差數列。也就是說，a= 是a,a,b成等差數列的充要條件定義：若 ，a， 成等差數列，那么a叫做 與 的等差中項。不難發現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。如數列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。注意到， ，……由此猜測：性質：在等差數列中，若m+n=p+q，則， 即  m+n=p+q  (m, n, p, q ∈n )  （以上結論由學生證明）但通常 ①由  推不出m+n=p+q ，② 特例：等差數列{an}中，與首尾“等距離”的任意兩項和相等.即      三、例題例1在等差數列{ }中，若 + =9, =7, 求  ,  .分析：要求一個數列的某項，通常情況下是先求其通項公式，而要求通項公式，必須知道這個數列中的至少一項和公差，或者知道這個數列的任意兩項（知道任意兩項就知道公差），本題中，只已知一項，和另一個雙項關系式，想到從這雙項關系式 + = +  =9入手……（答案：   =2, =32）例2 等差數列{ }中， + + =－12, 且 · · =80. 求通項  分析：要求通項，仍然是先求公差和其中至少一項的問題。而已知兩個條件均是三項復合關系式，欲求某項必須消元（項）或再構造一個等式出來。      （答案： =－10+3 (n－1) = 3n－ 13 或 =2 －3 (n－1) = －3n+5）例3在等差數列{ }中, 已知 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 求 ＋ 及前9項和 （ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）. 提示：由雙項關系式： ＋ ＝2 ， ＋ ＝2 及 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 得5 ＝450, 易得 ＋ ＝2 ＝180.    ＝( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋ ＝9 ＝810.例4已知a、b、c的倒數成等差數列，那么，a2(b+c), b2(c+a), c2(a+b) 是否成等差數列。分析：將a、b、c的成等差數列轉化為a+c=2b，再探索a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)， 即a2(b+c)+b2(c+a) - c2(a+b) = 0 是否成立.例5 已知兩個等差數列5，8，11，…和3，7，11…都有100項，問它們有多少公共項.分析：兩個等差數列的相同的項按原來的前后次序組成一個等差數列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數.（答案：25個公共項）四、練習：1.在等差數列 中，已知 ， ，求首項 與公差 2. 在等差數列 中, 若     求  3.在等差數列 中若 ， ， 求 五、作業：課本：p114習題3.2  7. 10，11.《精析精練》p117 智能達標訓練

3.1 等差數列 篇10

　　教學目標：（1）理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式；

　　(2) 利用等差數列的通項公式能由a1, d , n ,an“知三求一”，了解等差數列的通項公式的推導過程及思想；

　　（3）通過作等差數列的圖像，進一步滲透數形結合思想、函數思想；通過等差數列的通項公式應用，滲透方程思想。

　　教學重、難點：等差數列的定義及等差數列的通項公式。

　　知識結構：   一般數列定義    通項公式法     

　　遞推公式法

　　等差數列 表示法                   應用

　　圖示法

　　性質           列舉法

　　教學過程：

　　（一）創設情境：

　　1.觀察下列數列：

　　1，2，3，4，……；(軍訓時某排同學報數)   ①

　　10000，9000，8000，7000，……；（溫州市房價平均每月每平方下跌的價位）②

　　2，2，2，2，…… ；（坐38路公交車的車費）③

　　問題：上述三個數列有什么共同特點？（學生會發現很多規律，如都是整數，再舉幾個非整數等差數列例子讓學生觀察）

　　規律：從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一常數。

　　引出等差數列。

　　（二）新課講解：

　　1.等差數列定義：

　　一般地，如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母 表示。

　　問題：（a）能否用數學符號語言描述等差數列的定義？

　　用遞推公式表示為 或 .

　　(b)例 1： 觀察下列數列是否是等差數列：

　　（1）1，-1，1，-1，…

　　( 2 ) 1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , …

　　意在強調定義中“同一個常數”

　　(c)例2：求上述三個數列的公差；公差d可取哪些值？d>0，d=0,d<0時，數列有什么特點

　　（d有不同的分類，如按整數分數分類，再舉幾個等差數列的例子觀察d的分類對數列的影

　　響）

　　說明：等差數列（通常可稱為 數列）的單調性： 為遞增數列， 為常數列，  為遞減數列。

　　例3：求等差數列13，8，3，-2，…的第5項。第89項呢？

　　放手讓學生利用各種方法求a89，從中找出合適的方法，如利用不完全歸納法或累加法，然

　　后引出求一般等差數列的通項公式。

　　2.等差數列的通項公式：已知等差數列 的首項是 ，公差是 ，求 .

　　（1）由遞推公式利用用不完全歸納法得出

　　由等差數列的定義： ， ， ，……

　　∴ ， ， ，……

　　所以，該等差數列的通項公式： .

　　(驗證n=1時成立)。

　　這種由特殊到一般的推導方法，不能代替嚴格證明。要用數學歸納法證明的。

　　（2）累加法求等差數列的通項公式

　　讓學生體驗推導過程。(驗證n=1時成立)

　　3.例題及練習：

　　應用等差數列的通項公式

　　追問 ：（1）-232是否為例3等差數列中的項？若是，是第幾項？

　　（2）此數列中有多少項 屬于區間[-100，0] ？

　　法一：求出a1 ,d,借助等差數列的通項公式求a20。

　　法二：求出d ，a20=a5+15d=a12+8d

　　在例4基礎上，啟發學生猜想證明

　　練習：

　　梯子的最高一級寬31cm，最低一級寬119cm,中間還有3級，各級的寬度成等差數列，請計算中間各級的寬度。

　　觀察圖像特征。

　　思考：an是關于n的一次式，是數列{an}為等差數列的什么條件？

　　課后反思：這節課的重點是等差數列定義和通項公式概念的理解，而不是公式的應用，有些應試教育的味道。有時搶學生的回答，沒有真正放手讓學生的思維發展，學生活動太少，課堂氛圍不好。學生對問題的反應出乎設計的意料時，應該順著學生的思維發展。

3.1 等差數列 篇11

　　以下是初中數學等差數列(第一課時)說課稿范文，僅供參考。希望大家喜歡!

　　等差數列(第一課時)說課稿

　　各位評委老師好，我是4號考生，我今天說課的題目是《等差數列》，我從教材分析，學情教法分析，學法分析，教學過程四方面對本節課的內容加以說明。

　　一、教材分析

　　1、教材的地位和作用：

　　《等差數列》是人教版新課標教材《數學》必修5第二章第二節的內容。數列是高中數學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面,數列作為一種特殊的函數與函數思想密不可分;另一方面,學習數列也為進一步學習數列的極限等內容做好準備。而等差數列是在學生學習了數列的有關概念和給出數列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上，對數列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數列也為今后學習等比數列提供了學習對比的依據。

　　2、教學目標

　　根據教學大綱的要求和學生的實際水平，確定了本次課的教學目標

　　a知識與技能：理解并掌握等差數列的概念;了解等差數列的通項公式的推導過程及思想;初步引入“數學建模”的思想方法并能運用。培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力;在領會函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，培養學生的知識、方法遷移能力;通過階梯性練習，提高學生分析問題和解決問題的能力。

　　b.過程與方法：在教學過程中我采用討論式、啟發式的方法使學生深刻的理解不完全歸納法。

　　c.情感態度與價值觀：通過對等差數列的研究，培養學生主動探索、勇于發現的求知精神;養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣。

　　3、教學重點和難點

　　重點：①等差數列的概念。

　　②等差數列的通項公式的推導過程及應用。

　　難點：①等差數列的通項公式的推導

　　②用數學思想解決實際問題

　　二、學情教法分析：

　　對于高一學生，知識經驗已較為豐富，具備了一定的抽象思維能力和演繹推理能力，所以我本節課我采用啟發式、討論式以及講練結合的教學方法，通過問題激發學生求知欲，使學生主動參與數學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的指導下發現、分析和解決問題。學生在初中時只是簡單的接觸過等差數列，具體的公式還不會用，因些在公式應用上加強學生的理解

　　三、學法分析：

　　在引導分析時，留出學生的思考空間，讓學生去聯想、探索，同時鼓勵學生大膽質疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。

　　四、教學過程

　　1.創設情景 提出問題

　　首先要學生回憶數列的有關概念，數列的兩種方法——通項公式和遞推公式

　　然后本節課開始通過介紹

3.1 等差數列 篇12

　　教學目的：1.進一步熟練掌握等差數列的通項公式和前n項和公式. 2.了解等差數列的一些性質，并會用它們解決一些相關問題. 教學重點：熟練掌握等差數列的求和公式 教學難點：靈活應用求和公式解決問題 教學過程： 一、復習引入：首先回憶一下上一節課所學主要內容： 1.等差數列的前 項和公式1：  2.等差數列的前 項和公式2：  3. ，當d≠0，是一個常數項為零的二次式 4.對等差數列前項和的最值問題有兩種方法:（1） 利用 : 當 >0，d<0，前n項和有最大值。可由 ≥0，且 ≤0，求得n的值。 當 <0，d>0，前n項和有最小值。可由 ≤0，且 ≥0，求得n的值。 （2） 利用 ：由 二次函數配方法求得最值時n的值。    二、例題講解   例1 . 已知等差數列的前 項和為 ，前 項和為 ，求前 項和. 解：由題設       ∴   而 例2 已知一個等差數列的前四項和為21，后四項和為67，前n項和為286，求項數.

　　分析：若把有窮數列{an} 的前n項和sn的平均值 叫做數列的平均值，記為 ，即 則sn=n .根據等差數列的性質易知， .(答案：n=26).

　　例3 等差數列 中， 該數列的前多少項和最小？

　　思路1：求出sn的函數解析式（n的二次函數, ），再求函數取得最小值時的n值. 思路2：公差下為0的等差數列等差數列前n項和最小的條件為： 思路3：由s9=s12得s12-s9=a10+a11+a12=0得a11=0. 例4. 已知數列{an}的前n 項和 ，求數列{|an|}的前n項和tn. 解： 當 時， ∵n=1也適合上式，∴數列的通項公式為an=-3n+104 ( ） 由an=-3n+104≥0得n≤34.7，即當n≤34時，an>0,當n≥35時an<0.(1)    即當n≤34時，tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an= . (2)    當n≥35時,   tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)- (a35+a36+…+an)    =2(a1+a2+…+a34)-( a1+a2+…+an)=2s34-sn    三、練習： 1.一個等差數列前4項的和是24，前5項的和與前2項的和的差是27，求這個等差數列的通項公式. 2.兩個數列1, , , ……, , 5和1, , , ……, , 5均成等差數列公差分別是 , , 求 與 的值。   3.在等差數列{ }中, ＝－15, 公差d＝3, 求數列{ }的前n項和 的最小值。 四、作業：課時p119習題3.3 9，10，  《精析精練》p122 智能達標訓練.

3.1 等差數列 篇13

　　一、教學內容分析

　　本節課是《普通高中課程標準實驗教科書·數學5》(人教版)第二章數列第二節等差數列第一課時。

　　數列是高中數學重要內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數列作為一種特殊的函數與函數思想密不可分;另一方面,學習數列也為進一步學習數列的極限等內容做好準備。而等差數列是在學生學習了數列的有關概念和給出數列的兩種方法——通項公式和遞推公式的基礎上，對數列的知識進一步深入和拓廣。同時等差數列也為今后學習等比數列提供了“聯想”、“類比”的思想方法。

　　二、學生學習情況分析

　　教學內容針對的是高二的學生，經過高中一年的學習，大部分學生知識經驗已較為豐富，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也可能有一部分學生的基礎較弱，所以在授課時要從具體的生活實例出發，使學生產生學習的興趣，注重引導、啟發學生的積極主動的去學習數學，從而促進思維能力的進一步提高。

　　三、設計思想

　　1.教法

　　⑴誘導思維法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構;有利于突出重點，突破難點;有利于調動學生的主動性和積極性，發揮其創造性。

　　⑵分組討論法：有利于學生進行交流，及時發現問題，解決問題，調動學生的積極性。

　　⑶講練結合法：可以及時鞏固所學內容，抓住重點，突破難點。 2.學法

　　引導學生首先從四個現實問題(數數問題、女子舉重獎項設置問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數組特點并抽象出等差數列的概念;接著就等差數列概念的特點，推導出等差數列的通項公式;可以對各種能力的同學引導認識多元的推導思維方法。

　　用多種方法對等差數列的通項公式進行推導。

　　在引導分析時，留出“空白”，讓學生去聯想、探索，同時鼓勵學生大膽質疑，圍繞中心各抒己見，把思路方法和需要解決的問題弄清。

　　四、教學目標

　　通過本節課的學習使學生能理解并掌握等差數列的概念，能用定義判斷一個數列是否為等差數列，引導學生了解等差數列的通項公式的推導過程及思想，掌握等差數列的通項公式與前 n 項和公式，并能解決簡單的實際問題;并在此過程中培養學生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領會函數與數列關系的前提下，把研究函數的方法遷移來研究數列，培養學生的知識、方法遷移能力。

　　五、教學重點與難點

　　重點：

　　①等差數列的概念。

　　②等差數列的通項公式的推導過程及應用。 難點：

　　①理解等差數列“等差”的特點及通項公式的含義。 ②理解等差數列是一種函數模型。 關鍵：

　　等差數列概念的理解及由此得到的“性質”的方法。

　　六、教學過程(略)

3.1 等差數列 篇14

　　深圳中學 白教授n}是等差數列，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq.

　　二、教授新課（嘗試推導）

　　師：如果已知等差數列的首項a1，項數為n，第n項an，根據等差數列的性質，如何來導出它的前n項和Sn計算公式呢？根據上面的例子同學們自己完成推導，并請一位學生板演。

　　生4：Sn=a1+a2+......an-1+an也可寫成

　　Sn=an+an-1+......a2+a1

　　兩式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

　　n個

　　=n(a1+an)

　　所以Sn=(I)

　　師：好！如果已知等差數列的首項為a1，公差為d，項數為n，則an=a1+(n-1)d代入公式(1)得

　　Sn=na1+ d(II)

　　上面（I）、（II）兩個式子稱為等差數列的前n項和公式。公式（I）是基本的，我們可以發現，它可與梯形面積公式（上底+下底）×高÷2相類比，這里的上底是等差數列的首項a1，下底是第n項an，高是項數n。引導學生總結：這些公式中出現了幾個量？（a1，d，n，an，Sn），它們由哪幾個關系聯系？[an=a1+(n-1)d，Sn==na1+ d]；這些量中有幾個可自由變化？（三個）從而了解到：只要知道其中任意三個就可以求另外兩個了。下面我們舉例說明公式（I）和（II）的一些應用。

　　三、公式的應用（通過實例演練，形成技能）。

　　1、直接代公式（讓學生迅速熟悉公式，即用基本量觀點認識公式）例2、計算：

　　（1）1+2+3+......+n

　　（2）1+3+5+......+(2n-1)

　　（3）2+4+6+......+2n

　　（4）1-2+3-4+5-6+......+(2n-1)-2n

　　請同學們先完成（1）-（3），并請一位同學回答。

　　生5：直接利用等差數列求和公式（I），得

　　（1）1+2+3+......+n=

　　（2）1+3+5+......+(2n-1)=

　　（3）2+4+6+......+2n==n(n+1)

　　師：第（4）小題數列共有幾項？是否為等差數列？能否直接運用Sn公式求解？若不能，那應如何解答？小組討論后，讓學生發言解答。

　　生6：（4）中的數列共有2n項，不是等差數列，但把正項和負項分開，可看成兩個等差數列，所以

　　原式=[1+3+5+......+(2n-1)]-(2+4+6+......+2n)

　　=n2-n(n+1)=-n

　　生7：上題雖然不是等差數列，但有一個規律，兩項結合都為-1，故可得另一解法：

　　原式=-1-1-......-1=-n

　　n個

　　師：很好！在解題時我們應仔細觀察，尋找規律，往往會尋找到好的方法。注意在運用Sn公式時，要看清等差數列的項數，否則會引起錯解。

　　例3、（1）數列{an}是公差d=-2的等差數列，如果a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，求a1，d，S10。

　　生8：（1）由a1+a2+a3=12得3a1+3d=12，即a1+d=4

　　又∵d=-2，∴a1=6

　　∴S12=12 a1+66×（-2）=-60

　　生9：（2）由a1+a2+a3=12，a1+d=4

　　a8+a9+a10=75，a1+8d=25

　　解得a1=1，d=3 ∴S10=10a1+=145

　　師：通過上面例題我們掌握了等差數列前n項和的公式。在Sn公式有5個變量。已知三個變量，可利用構造方程或方程組求另外兩個變量（知三求二），請同學們根據例3自己編題，作為本節的課外練習題，以便下節課交流。

　　師：（繼續引導學生，將第（2）小題改編）

　　①數列{an}等差數列，若a1+a2+a3=12，a8+a9+a10=75，且Sn=145，求a1，d，n

　　②若此題不求a1，d而只求S10時，是否一定非來求得a1，d不可呢？引導學生運用等差數列性質，用整體思想考慮求a1+a10的值。

　　2、用整體觀點認識Sn公式。

　　例4，在等差數列{an}， （1）已知a2+a5+a12+a15=36，求S16；（2）已知a6=20，求S11。（教師啟發學生解）

　　師：來看第（1）小題，寫出的計算公式S16==8(a1+a6)與已知相比較，你發現了什么？

　　生10：根據等差數列的性質，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以S16=8×18=144。

　　師：對！（簡單小結）這個題目根據已知等式是不能直接求出a1，a16和d的，但由等差數列的性質可求a1與an的和，于是這個問題就得到解決。這是整體思想在解數學問題的體現。

　　師：由于時間關系，我們對等差數列前n項和公式Sn的運用一一剖析，引導學生觀察當d≠0時，Sn是n的二次函數，那么從二次（或一次）的函數的觀點如何來認識Sn公式后，這留給同學們課外繼續思考。

　　最后請大家課外思考Sn公式（1）的逆命題：

　　已知數列{an}的前n項和為Sn，若對于所有自然數n，都有Sn=。數列{an}是否為等差數列，并說明理由。

　　四、小結與作業 。

　　師：接下來請同學們一起來小結本節課所講的內容。

　　生11：1、用倒序相加法推導等差數列前n項和公式。

　　2、用所推導的兩個公式解決有關例題，熟悉對Sn公式的運用。

　　生12：1、運用Sn公式要注意此等差數列的項數n的值。

　　2、具體用Sn公式時，要根據已知靈活選擇公式（I）或（II），掌握知三求二的解題通法。

　　3、當已知條件不足以求此項a1和公差d時，要認真觀察，靈活應用等差數列的有關性質，看能否用整體思想的方法求a1+an的值。

　　師：通過以上幾例，說明在解題中靈活應用所學性質，要糾正那種不明理由盲目套用公式的學習方法。同時希望大家在學習中做一個有心人，去發現更多的性質，主動積極地去學習。

　　本節所滲透的數學方法；觀察、嘗試、分析、歸納、類比、特定系數等。

　　數學思想：類比思想、整體思想、方程思想、函數思想等。

　　作業 ：P49：13、14、15、17

3.1 等差數列 篇15

　　教學目標

　　1.把握等差數列前 項和的公式,并能運用公式解決簡單的問題.

　　(1)了解等差數列前 項和的定義,了解逆項相加的原理,理解等差數列前 項和公式推導的過程,記憶公式的兩種形式;

　　(2)用方程思想熟悉等差數列前 項和的公式,利用公式求 ;等差數列通項公式與前 項和的公式兩套公式涉及五個字母,已知其中三個量求另兩個值;

　　(3)會利用等差數列通項公式與前 項和的公式研究 的最值.

　　2.通過公式的推導和公式的運用,使學生體會從非凡到一般,再從一般到非凡的思維規律,初步形成熟悉問題,解決問題的一般思路和方法.

　　3.通過公式推導的過程教學,對學生進行思維靈活性與廣闊性的練習,發展學生的思維水平.

　　4.通過公式的推導過程,展現數學中的對稱美;通過有關內容在實際生活中的應用,使學生再一次感受數學源于生活,又服務于生活的實用性,引導學生要善于觀察生活,從生活中發現問題,并數學地解決問題.

　　教學建議

　　(1)知識結構

　　本節內容是等差數列前 項和公式的推導和應用,首先通過具體的例子給出了求等差數列前 項和的思路,而后導出了一般的公式,并加以應用;再與等差數列通項公式組成方程組,共同運用,解決有關問題.

　　(2)重點、難點分析

　　教學重點是等差數列前 項和公式的推導和應用,難點是公式推導的思路.

　　推導過程的展示體現了人類解決問題的一般思路,即從非凡問題的解決中提煉一般方法,再試圖運用這一方法解決一般情況,所以推導公式的過程中所蘊含的思想方法比公式本身更為重要.等差數列前 項和公式有兩種形式,應根據條件選擇適當的形式進行計算;另外反用公式、變用公式、前 項和公式與通項公式的綜合運用體現了方程(組)思想.

　　高斯算法表現了大數學家的聰明和巧思,對一般學生來說有很大難度,但大多數學生都聽說過這個故事,所以難點在于一般等差數列求和的思路上.

　　(3)教法建議

　　①本節內容分為兩課時,一節為公式推導及簡單應用,一節側重于通項公式與前 項和公式綜合運用.

　　②前 項和公式的推導,建議由具體問題引入,使學生體會問題源于生活.

　　③強調從非凡到一般,再從一般到非凡的思考方法與研究方法.

　　④補充等差數列前 項和的最大值、最小值問題.

　　⑤用梯形面積公式記憶等差數列前 項和公式.

　　等差數列的前項和公式教學設計示例

　　教學目標

　　1.通過教學使學生理解等差數列的前 項和公式的推導過程,并能用公式解決簡單的問題.

　　2.通過公式推導的教學使學生進一步體會從非凡到一般,再從一般到非凡的思想方法,通過公式的運用體會方程的思想.

　　教學重點,難點

　　教學重點是等差數列的前 項和公式的推導和應用,難點是獲得推導公式的思路.

　　教學用具

　　實物投影儀,多媒體軟件,電腦.

　　教學方法

　　講授法.

　　教學過程

　　一.新課引入

　　提出問題(播放媒體資料):一個堆放鉛筆的v形架的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放100支.這個v形架上共放著多少支鉛筆?(課件設計見課件展示)

　　問題就是(板書)“ ”

　　這是小學時就知道的一個故事,高斯的算法非常高明,回憶他是怎樣算的.(由一名學生回答,再由學生討論其高明之處)高斯算法的高明之處在于他發現這100個數可以分為50組,第一個數與最后一個數一組,第二個數與倒數第二個數一組,第三個數與倒數第三個數一組,…,每組數的和均相等,都等于101,50個101就等于5050了.高斯算法將加法問題轉化為乘法運算,迅速準確得到了結果.

　　我們希望求一般的等差數列的和,高斯算法對我們有何啟發?

　　二.講解新課

　　(板書)等差數列前 項和公式

　　1.公式推導(板書)

　　問題(幻燈片):設等差數列 的首項為 ,公差為 , 由學生討論,研究高斯算法對一般等差數列求和的指導意義.

　　思路一:運用基本量思想,將各項用 和 表示,得

　　,有以下等式

　　,問題是一共有多少個 ,似乎與 的奇偶有關.這個思路似乎進行不下去了.

　　思路二:

　　上面的等式其實就是 ,為回避個數問題,做一個改寫 , ,兩式左右分別相加,得

　　,

　　于是有: .這就是倒序相加法.

　　思路三:受思路二的啟發,重新調整思路一,可得 ,于是 .

　　于是得到了兩個公式(投影片): 和 .

　　2.公式記憶

　　用梯形面積公式記憶等差數列前 項和公式,這里對圖形進行了割、補兩種處理,對應著等差數列前 項和的兩個公式.

　　3.公式的應用

　　公式中含有四個量,運用方程的思想,知三求一.

　　例1.求和:(1) ;

　　(2) (結果用 表示)

　　解題的關鍵是數清項數,小結數項數的方法.

　　例2.等差數列 中前多少項的和是9900?

　　本題實質是反用公式,解一個關于 的一元二次函數,注重得到的項數 必須是正整數.

　　三.小結

　　1.推導等差數列前 項和公式的思路;

　　2.公式的應用中的數學思想.

　　四.板書設計