3.1 等差數列（第二課時，等差數列的性質）
教學目的：1.明確等差中項的概念.2.進一步熟練掌握等差數列的通項公式及推導公式.教學重點：等差數列的定義、通項公式、性質的理解與應用教學難點：靈活應用等差數列的定義及性質解決一些相關問題一、復習引入1.等差數列的定義；2.等差數列的通項公式：（1），（2），（3）3.有幾種方法可以計算公差d
① d= － ② d= ③ d= 二、講解新課： 問題：如果在 與 中間插入一個數a，使 ，a， 成等差數列數列，那么a應滿足什么條件？由定義得a- = -a ，即： 反之，若 ，則a- = -a由此可可得： 成等差數列。也就是說，a= 是a,a,b成等差數列的充要條件定義：若 ，a， 成等差數列，那么a叫做 與 的等差中項。不難發現，在一個等差數列中，從第2項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等差中項。如數列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3和7的等差中項，1和9的等差中項。9是7和11的等差中項，5和13的等差中項。注意到， ，……由此猜測：性質：在等差數列中，若m+n=p+q，則， 即 m+n=p+q (m, n, p, q ∈n ) （以上結論由學生證明）但通常 ①由 推不出m+n=p+q ，② 特例：等差數列{an}中，與首尾“等距離”的任意兩項和相等.即 三、例題例1在等差數列{ }中，若 + =9, =7, 求 , .分析：要求一個數列的某項，通常情況下是先求其通項公式，而要求通項公式，必須知道這個數列中的至少一項和公差，或者知道這個數列的任意兩項（知道任意兩項就知道公差），本題中，只已知一項，和另一個雙項關系式，想到從這雙項關系式 + = + =9入手……（答案： =2, =32）例2 等差數列{ }中， + + =－12, 且 · · =80. 求通項 分析：要求通項，仍然是先求公差和其中至少一項的問題。而已知兩個條件均是三項復合關系式，欲求某項必須消元（項）或再構造一個等式出來。 （答案： =－10+3 (n－1) = 3n－ 13 或 =2 －3 (n－1) = －3n+5）例3在等差數列{ }中, 已知 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 求 ＋ 及前9項和 （ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ）. 提示：由雙項關系式： ＋ ＝2 ， ＋ ＝2 及 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝450, 得5 ＝450, 易得 ＋ ＝2 ＝180. ＝( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋( ＋ )＋ ＝9 ＝810.例4已知a、b、c的倒數成等差數列，那么，a2(b+c), b2(c+a), c2(a+b) 是否成等差數列。分析：將a、b、c的成等差數列轉化為a+c=2b，再探索a2(b+c)+b2(c+a)=c2(a+b)， 即a2(b+c)+b2(c+a) - c2(a+b) = 0 是否成立.例5 已知兩個等差數列5，8，11，…和3，7，11…都有100項，問它們有多少公共項.分析：兩個等差數列的相同的項按原來的前后次序組成一個等差數列，且公差為原來兩個公差的最小公倍數.（答案：25個公共項）四、練習：1.在等差數列 中，已知 ， ，求首項 與公差 2. 在等差數列 中, 若 求 3.在等差數列 中若 ， ， 求 五、作業：課本：p114習題3.2 7. 10，11.《精析精練》p117 智能達標訓練