3.1.1數列

  教學目標                   

    1.理解數列概念，了解數列和函數之間的關系

    2.了解數列的通項公式，并會用通項公式寫出數列的任意一項

    3.對于比較簡單的數列，會根據其前幾項寫出它的個通項公式

    4.提高觀察、抽象的能力.

  教學重點                  

    1.理解數列概念；

    2.用通項公式寫出數列的任意一項.

  教學難點                   

    根據一些數列的前幾項抽象、歸納數列的通項公式.

教學方法                    

    發現式教學法

教具準備                    

    投影片l張(內容見下頁)

教學過程                     

    （1）復習回顧

師：在前面第二章中我們一起學習了有關映射與函數的知識，現在我們再來回顧一

下函數的定義.

    生：(齊聲回答函數定義).

    師：函數定義(板書)

如果A、B都是非空擻 集，那么A到B的映射 就叫做A到B的函數，記作： ，其中

（Ⅱ）講授新課

師：在學習第二章的基礎上，今天我們一起來學習第三章數列有關知識，首先我們來看一些例子。（放投影片）

師：觀察這些例子，看它們有何共同特點？

（啟發學生發現數列定義）

生：歸納、總結上述例子共同特點：

1.  均是一列數；

2.  有一定次序

師：引出數列及有關定義

一、定義

1.  數列：按一定次序排列的一列數叫做數列；

2.  項：數列中的每一個數都叫做這個數列的項。

各項依次叫做這個數列的第1項（或首項）。第2項，…，第n項…。

如：上述例子均是數列，其中例①：“4”是這個數列的第1項（或首項）“9”是這個數列的第6項。

3.  數列的一般形式： ，或簡記為 ，其中 是數列的第n項

生：綜合上述例子，理解數列及項定義

如：例②中，這是一個數列，它的首項是“1”，“ ”是這個數列的第“3”項，等等。

師：下面我們再來看這些數列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關系？這一關系可否用一個公式表示？（引導學生進一步理解數列與項的定義，從而發現數列的通項公式）對于上面的數列②，第一項與這一項的序號有這樣的對應關系：

項        

↓   ↓    ↓    ↓    ↓

序號  1    2     3     4     5

師：看來，這個數的第一項與這一項的序號可用一個公式： 來表示其對應關系

即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數列相應的各項

生：結合上述其他例子，練習找其對應關系

如：數列①： =n+3(1≤n≤7)

數列③： ≥1）

數列⑤： n≥1）

    4.通項公式：如果數列 的第n項 與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的通項公式。

師：從映射、函數的觀點來看，數列也可以看作是一個定義域為正整數集N⁺（或它的有限子集 的函數，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值，數列的通項公式就是相應函數的解析式。

師：對于函數，我們可以根據其函數解析式畫出其對應圖象。看來，數列也可根據其通項公式來函出其對應圖象，下面同學們練習畫數列①②的圖象。

生：根據扭注通項公式畫出數列①，②的圖象，并總結其特點。

圖3—1

特點：它們都是一群弧立的點

5.有窮數列：項數有限的數列

6.無窮數列：項數無限的數列

二、例題講解

例1：根據下面數列 的通項公式，寫出前5項：

（1）

師：由通項公式定義可知，只要將通項公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到數列的前5項。

解：（1）

    (2)

例2：寫出下面數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數：

（1）1，3，5，7；  （2）

（3）

分析：

（1）項1=2×1-1  3=2×2-1  5=2×3-1  7=2×4-1

 ↓        ↓        ↓        ↓   

序號   1          2        3         4

∴ ；

（2）序號：1      2      3      4

    ↓     ↓     ↓     ↓   

項分母：2=1+1   3=2+1   4=3+1  5=4+1

↓      ↓      ↓     ↓   

項分子： 2²-1     3²-1    4²-1    5²-1

∴ ；

（3）序號                                 

             ‖            ‖                 ‖                 ‖

∴

（Ⅲ）課堂練習

生：思考課本P₁₁₂練習1，2，3，4

師：[提問]練習3，4，并根據學生回答評析

生：板演練習1，2

（Ⅳ）課時小結

師：對于本節內容應著重掌握數列及有關定義，會根據通項公式求其任意一項，并會根據數列的前n項求一些簡單數列的通項公式。

（V）課后作業 

一、課本P₁₁₄習題3.1    1，2

二、1.預習內容：課本P₁₁₂～P₁₃

預習提綱：①什么叫數列的遞推公式？

②遞推公式與通項公式有什么異同點？

板書設計                     

教學后記                 

§3.1.2數列

    教學目標                    

    1.了解數列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同

    2.會根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項

    3.培養學生推理能力.

    教學重點                   

   根據數列的遞推公式寫出數列的前幾項

    教學難點                    

理解遞推公式與通項公式的關系

    教學方法                   

    啟發引導法

    教具準備                   

    投影片1張(內容見下頁)

教學過程                    

    (I)復習回顧

    師：上節課我們學習了數列及有關定義，下面先來回顧一下上節課所學的主要內容.

    師：[提問]上節課我們學習了哪些主要內容？

    生：[回答]數列、項、表示形式、通項公式、數列分類等等.

    (Ⅱ)講授新課

    師：我們所學知識都來源于實踐，最后還要應用于生活。用其來解決一些實際問題.

    下面同學們來看此圖：鋼管堆放示意圖(投影片).

    生：觀察圖片，尋其規律，建立數學模型.

    模型一：自上而下：

    第1層鋼管數為4；即：1 4＝1+3

    第2層鋼管數為5；即：2 5＝2+3

    第3層鋼管數為6；即：3 6＝3+3

    第4層鋼管數為7；即：4 7＝4+3

    第5層鋼管數為8；即：5 8＝5+3

    第6層鋼管數為9；即：6 9＝6+3

    第7層鋼管數為10；即：7 10＝7+3

若用 表示鋼管數，n表示層數，則可得出每一層的鋼管數為一數列，且 ≤n≤7）

師：同學們運用每一層的鋼筋數與其層數之間的對應規律建立了數列模型，這完全正確，運用這一關系，會很快捷地求出每一層的鋼管數。這會給我們的統計與計算帶來很多方便。

師：同學們再來看此圖片，是否還有其他規律可循？（啟發學生尋找規律2，建立模型二）

生：自上而下每一層的鋼管數都比上一層鋼管數多1。

即

依此類推： （2≤n≤7）

師：對于上述所求關系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關系也較為重要。

一、定義：

遞推公式：如果已知數列 的第1項（或前幾項），且任一項 與它的前一項 （或前n項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式。

說明：遞推公式也是給出數列的一種方法。

二、例題講解

例1：已知數列 的第1項是1，以后的各項由公式 給出，寫出這個數列的前5項。

分析：題中已給出 的第1項即

遞推公式：

解：據題意可知：

例2：已知數列 中， ≥3）

試寫出數列的前4項

解：由已知得

（Ⅲ）課堂練習

生：課本P₁₁₃練習  1，2，3（書面練習）

（板演練習1.寫出下面各數列的前4項，根據前4項寫出該數列的一個通項公式。

（1） ≥2）

（2） ≥3）

師：給出答案，結合學生所做進行評析。

（Ⅳ）課時小結

師：這節課我們主要學習了數列的另一種給出方法，即遞推公式及其用法，課后注意理解。注意它與通項公式的區別在于：

1.  通項公式反映的是項與項數之間的關系，而遞推公式反映的是相鄰兩項（或n項）之間的關系。

2.  對于通項公式，只要將公式中的n依次取勝，2，3…即可得到相應的項。而遞推公式則要已知首項（或前n項），才可求得其他的項。

（V）                  課后作業 

一、課本P₁₁₄習題3.1    3，4

二、1.預習內容：課本P₁₁₄—P₁₁₆

3.  預習提綱：①什么是等差數列？②等差數列通項公式的求法？

板書設計                     

教學后記