數列與探索性新題型的解題技巧
【命題趨向】1.等差(比)數列的基本知識是必考內容,這類問題既有選擇題、填空題,也有解答題;難度易、中、難三類皆有.
2.數列中an與sn之間的互化關系也是高考的一個熱點.
3.函數思想、方程思想、分類討論思想等數學思想方法在解決問題中常常用到,解答試題時要注意靈活應用.
4.解答題的難度有逐年增大的趨勢,還有一些新穎題型,如與導數和極限相結合等.
因此復習中應注意:
1.數列是一種特殊的函數,學習時要善于利用函數的思想來解決.如通項公式、前n項和公式等.
2.運用方程的思想解等差(比)數列,是常見題型,解決此類問題需要抓住基本量a1、d(或q),掌握好設未知數、列出方程、解方程三個環節,常通過"設而不求,整體代入"來簡化運算.
3.分類討論的思想在本章尤為突出.學習時考慮問題要全面,如等比數列求和要注意q=1和q≠1兩種情況等等.
4.等價轉化是數學復習中常常運用的,數列也不例外.如an與sn的轉化;將一些數列轉化成等差(比)數列來解決等.復習時,要及時總結歸納.
5.深刻理解等差(比)數列的定義,能正確使用定義和等差(比)數列的性質是學好本章的關鍵.
6.解題要善于總結基本數學方法.如觀察法、類比法、錯位相減法、待定系數法、歸納法、數形結合法,養成良好的學習習慣,定能達到事半功倍的效果.
7.數列應用題將是命題的熱點,這類題關鍵在于建模及數列的一些相關知識的應用.
【考點透視】
1.理解數列的概念,了解數列通項公式的意義,了解遞推公式是給出數列的一種方法,并能根據遞推公式寫出數列的前幾項.
2.理解等差數列的概念,掌握等差數列的通項公式與前n項和公式,并能運用公式解答簡單的問題.
3.理解等比數列的概念,掌握等比數列的通項公式與前n項和公式,并能運用公式解決簡單的問題.
4.數列是高中數學的重要內容,又是學習高等數學的基礎,所以在高考中占有重要的地位.高考對本章的考查比較全面,等差數列,等比數列的考查每年都不會遺漏.解答題多為中等以上難度的試題,突出考查考生的思維能力,解決問題的能力,試題大多有較好的區分度.有關數列的試題經常是綜合題,經常把數列知識和指數函數、對數函數和不等式的知識綜合起來,試題也常把等差數列、等比數列,求極限和數學歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點,常在數列解答題中出現。本章中還蘊含著豐富的數學思想,在主觀題中著重考查函數與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想,以及配方法、換元法、待定系數法等基本數學方法.應用問題考查的重點是現實客觀事物的數學化,常需構造數列模型,將現實問題轉化為數學問題來解決.
【例題解析】
考點1 正確理解和運用數列的概念與通項公式
理解數列的概念,正確應用數列的定義,能夠根據數列的前幾項寫出數列的通項公式.
典型例題
例1.(XX年廣東卷)在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間,某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆"正三棱錐"形的展品,其中第1堆只有1層,就一個球;第2,3,4,…堆最底層(第一層)分別按圖4所示方式固定擺放,從第二層開始,每層的小球自然壘放在下一層之上,第n堆第n層就放一個乒乓球,以f (n)表示第n堆的乒乓球總數,則 ; (答案用n表示).