平面向量教案

二、復習要求
1、 向量的概念;
2、向量的線性運算:即向量的加減法,實數與向量的乘積,兩個向量的數量積等的定義,運算律;
3、向量運算的運用
三、學習指導
1、向量是數形結合的典范。向量的幾何表示法--有向線段表示法是運用幾何性質解決向量問題的基礎。在向量的運算過程中,借助于圖形性質不僅可以給抽象運算以直觀解釋,有時甚至更簡捷。
向量運算中的基本圖形:①向量加減法則:三角形或平行四邊形;②實數與向量乘積的幾何意義--共線;③定比分點基本圖形--起點相同的三個向量終點共線等。
2、 向量的三種線性運算及運算的三種形式。
向量的加減法,實數與向量的乘積,兩個向量的數量積都稱為向量的線性運算,前兩者的結果是向量,兩個向量數量積的結果是數量。每一種運算都可以有三種表現形式:圖形、符號、坐標語言。
主要內容列表如下:
運 算 圖形語言 符號語言 坐標語言
加法與減法
=
- =
記 =(x1,y1), =(x1,y2)
則 =(x1 x2,y1 y2)
- =(x2-x1,y2-y1) =
實數與向量
的乘積
=λ
λ∈r 記 =(x,y)
則λ =(λx,λy) 兩個向量
的數量積
· =| || |
cos< , >
記 =(x1,y1), =(x2,y2)
則 · =x1x2 y1y2
3、 運算律
加法: = ,( ) = ( )
實數與向量的乘積:λ( )=λ λ ;(λ μ) =λ μ ,λ(μ )=
(λμ)
兩個向量的數量積: · = · ;(λ )· = ·(λ )=λ( · ),( )· = · ·
說明:根據向量運算律可知,兩個向量之間的線性運算滿足實數多項式乘積的運算法則,正確遷移實數的運算性質可以簡化向量的運算,例如( ± )2=
4、 重要定理、公式
(1)平面向量基本定理;如果 是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于該平面內任一向量 ,有且只有一對數數λ1,λ2,滿足 =λ1 λ2 ,稱λ1 λ λ2 為 , 的線性組合。
根據平面向量基本定理,任一向量 與有序數對(λ1,λ2)一一對應,稱(λ1,λ2)為 在基底{ , }下的坐標,當取{ , }為單位正交基底{ , }時定義(λ1,λ2)為向量 的平面直角坐標。
向量坐標與點坐標的關系:當向量起點在原點時,定義向量坐標為終點坐標,即若a(x,y),則 =(x,y);當向量起點不在原點時,向量 坐標為終點坐標減去起點坐標,即若a(x1,y1),b(x2,y2),則 =(x2-x1,y2-y1)
(2)兩個向量平行的充要條件
符號語言:若 ∥ , ≠ ,則 =λ
坐標語言為:設 =(x1,y1), =(x2,y2),則 ∥ (x1,y1)=λ(x2,y2),即 ,或x1y2-x2y1=0
在這里,實數λ是唯一存在的,當 與 同向時,λ>0;當 與 異向時,λ<0。
|λ|= ,λ的大小由 及 的大小確定。因此,當 , 確定時,λ的符號與大小就確定了。這就是實數乘向量中λ的幾何意義。
(3)兩個向量垂直的充要條件
符號語言: ⊥ · =0
坐標語言:設 =(x1,y1), =(x2,y2),則 ⊥ x1x2 y1y2=0
(4)線段定比分點公式
如圖,設
則定比分點向量式:
定比分點坐標式:設p(x,y),p1(x1,y1),p2(x2,y2)
則
特例:當λ=1時,就得到中點公式:
,
實際上,對于起點相同,終點共線三個向量 , , (o與p1p2不共線),總有 =u v ,u v=1,即總可以用其中兩個向量的線性組合表示第三個向量,且系數和為1。