平面向量教案

(5)平移公式:
① 點平移公式,如果點p(x,y)按 =(h,k)平移至p'(x',y'),則
分別稱(x,y),(x',y')為舊、新坐標, 為平移法則
在點p新、舊坐標及平移法則三組坐標中,已知兩組坐標,一定可以求第三組坐標
②圖形平移:設曲線c:y=f(x)按 =(h,k)平移,則平移后曲線c'對應的解析式為y-k=f(x-h)
當h,k中有一個為零時,就是前面已經研究過的左右及上下移
利用平移變換可以化簡函數解析式,從而便于研究曲線的幾何性質
(6)正弦定理,余弦定理
正弦定理:
余弦定理:a2=b2 c2-2cbcosa
b2=c2 a2-2cacosb
c2=a2 b2-2abcosc
定理變形:cosa= ,cosb= ,cosc=
正弦定理及余弦定理是解決三角形的重要而又基本的工具。通過閱讀課本,理解用向量法推導正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的數學概念,也是有力的解題工具。利用向量可以證明線線垂直,線線平行,求夾角等,特別是直角坐標系的引入,體現了向量解決問題的"程序性"特點。
四、典型例題
例1、如圖, , 為單位向量, 與 夾角為1200, 與 的夾角為450,| |=5,用 , 表示 。
分析:
以 , 為鄰邊, 為對角線構造平行四邊形
把向量 在 , 方向上進行分解,如圖,設 =λ , =μ ,λ>0,μ>0
則 =λ μ
∵ | |=| |=1
∴ λ=| |,μ=| |
△ oec中,∠e=600,∠oce=750,由 得:
∴
∴
說明:用若干個向量的線性組合表示一個向量,是向量中的基本而又重要的問題,通常通過構造平行四邊形來處理
例2、已知△abc中,a(2,-1),b(3,2),c(-3,-1),bc邊上的高為ad,求點d和向量 坐標。
分析:
用解方程組思想
設d(x,y),則 =(x-2,y 1)
∵ =(-6,-3), · =0
∴ -6(x-2)-3(y 1)=0,即2x y-3=0 ①
∵ =(x-3,y-2), ∥
∴ -6(y-2)=-3(x-3),即x-2y 1=0 ②
由①②得:
∴ d(1,1), =(-1,2)
例3、求與向量 = ,-1)和 =(1, )夾角相等,且模為 的向量 的坐標。
分析:
用解方程組思想
法一:設 =(x,y),則 · = x-y, · =x y
∵ < , >=< , >
∴&nb

∴
即 ①
又| |=
∴ x2 y2=2 ②
由①②得 或 (舍)
∴ =
法二:從分析形的特征著手
∵ | |=| |=2
· =0
∴ △aob為等腰直角三角形,如圖
∵ | |= ,∠aoc=∠boc
∴ c為ab中點
∴ c( )
說明:數形結合是學好向量的重要思想方法,分析圖中的幾何性質可以簡化計算。
例4、在△oab的邊oa、ob上分別取點m、n,使| |∶| |=1∶3,| |∶| |=1∶4,設線段an與bm交于點p,記 = , = ,用 , 表示向量 。
分析:
∵ b、p、m共線
∴ 記 =s
∴ ①
同理,記
∴ = ②
∵ , 不共線
∴ 由①②得 解之得:
∴
說明:從點共線轉化為向量共線,進而引入參數(如s,t)是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用該定理唯一性的性質得到關于s,t的方程。
例5、已知長方形abcd,ab=3,bc=2,e為bc中點,p為ab上一點
(1) 利用向量知識判定點p在什么位置時,∠ped=450;
(2) 若∠ped=450,求證:p、d、c、e四點共圓。