組合

教學目標 
（1）使學生正確理解的意義，正確區分排列、問題；
（2）使學生掌握數的計算公式、數的性質用數與排列數之間的關系；
（3）通過學習知識，讓學生掌握類比的學習方法，并提高學生分析問題和解決問題的能力；
（4）通過對排列、問題求解與剖析，培養學生學習興趣和思維深刻性，學生具有嚴謹的學習態度。

教學建議

一、知識結構

二、重點難點分析

本小節的重點是的定義、數及數的公式，數的性質。難點是解的應用題。突破重點、難點的關鍵是對加法原理與乘法原理的掌握和應用，并將這兩個原理的基本思想貫穿在解決應用題當中。

與數，也有上面類似的關系。從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中任取m個元素的一個。所有這些不同的的個數叫做數。從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出m個組成的一個集合（無序集），相當于一個，而這種集合的個數，就是相應的數。

解排列應用題時主要應抓住是排列問題還是問題，其次要搞清需要分類，還是需要分步.切記：排組分清（有序排列、無序），加乘明確（分類為加、分步為乘）.

三、教法設計

1.對于基礎較好的學生，建議把排列與的概念進行對比的進行學習，這樣有利于搞請這兩組概念的區別與聯系.

2.學生與老師可以合編一些排列問題，如“45人中選出5人當班干部有多少種選法？”與“45人中選出5人分別擔任班長、副班長、體委、學委、生委有多少種選法？”這是兩個相近問題，同學們會根據自己身邊的實際可以編出各種各樣的具有特色的問題，教師要引導學生辨認哪個是排列問題，哪個是問題.這樣既調動了學生學習的積極性，又在編題辨題中澄清了概念.

為了理解排列與的概念，建議大家學會畫排列與的樹圖.如，從a,b,c,d 4個元素中取出3個元素的排列樹圖與樹圖分別為：

排列樹圖

由排列樹圖得到，從a,b,c,d 取出3個元素的所有排列有24個，它們分別是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.

樹圖

由樹圖可得，從a,b,c,d中取出3個元素的有4個，它們是(abc),(abd),(acd),(bcd).

從以上兩組樹圖清楚的告訴我們，排列樹圖是對稱的，圖式不是對稱的，之所以排列樹圖具有對稱性，是因為對于a,b,c,d四個字母哪一個都有在第一位的機會，哪一個都有在第二位的機會，哪一個都有在第三位的機會，而只考慮字母不考慮順序，為實現無順序的要求，我們可以限定a,b,c,d的順序是從前至后，固定了死順序等于無順序，這樣就有了自己的樹圖.

學會畫樹圖，不僅有利于理解排列與的概念，還有助于推導數的計算公式.

3.排列的應用問題，教師應從簡單問題問題入手，逐步到有一個附加條件的單純排列問題或問題，最后在設及排列與的綜合問題.

對于每一道題目，教師必須先讓學生獨立思考，在進行全班討論，對于學生的每一種解法，教師要先讓學生判斷正誤，在給予點播.對于排列、應用問題的解決我們提倡一題多解，這樣有利于培養學生的分析問題解決問題的能力，在學生的多種解法基礎上教師要引導學生選擇最佳方案，總結解題規律.對于學生解題中的常見錯誤，教師一定要講明道理，認真分析錯誤原因，使學生在是非的判斷得以提高.

4.兩個性質定理教學時，對定理1，可以用下例來說明：從4個不同的元素a，b，c，d里每次取出3個元素的及每次取出1個元素的分別是

這就說明從4個不同的元素里每次取出3個元素的與從4個元素里每次取出1個元素的是—一對應的.

對定理2，可啟發學生從下面問題的討論得出.從n個不同元素 ， ，…， 里每次取出m個不同的元素（ ），問：（1）可以組成多少個；（2）在這些里，有多少個是不含有 的； （3）在這些里，有多少個是含有 的；（4）從上面的結果，可以得出一個怎樣的公式.在此基礎上引出定理2.

對于 ，和 一樣，是一種規定.而學生常常誤以為是推算出來的，因此，教學時要講清楚.

教學設計示例

教學目標 

（1）使學生正確理解的意義，正確區分排列、問題；

（2）使學生掌握數的計算公式；

（3）通過學習知識，讓學生掌握類比的學習方法，并提高學生分析問題和解決問題的能力；

教學重點難點

重點是的定義、數及數的公式；

難點是解的應用題.

教學過程 設計

（－）導入  新課

（教師活動）提出下列思考問題，打出字幕.

［字幕］一條鐵路線上有6個火車站，（1）需準備多少種不同的普通客車票？（2）有多少種不同票價的普通客車票？上面問題中，哪一問是排列問題？哪一問是問題？

（學生活動）討論并回答.

答案提示：（1）排列；（2）.

［評述］問題（1）是從6個火車站中任選兩個，并按一定的順序排列，要求出排法的種數，屬于排列問題；（2）是從6個火車站中任選兩個并成一組，兩站無順序關系，要求出不同的組數，屬于問題.這節課著重研究問題.

設計意圖：與排列所研究的問題幾乎是平行的.上面設計的問題目的是從排列知識中發現并提出新的問題.

（二）新課講授

［提出問題 創設情境］

（教師活動）指導學生帶著問題閱讀課文.

［字幕］1.排列的定義是什么？

2.舉例說明一個是什么？

3.一個與一個排列有何區別？

（學生活動）閱讀回答.

（教師活動）對照課文，逐一評析.

設計意圖：激活學生的思維，使其將所學的知識遷移過渡，并盡快適應新的環境.

【歸納概括  建立新知】

（教師活動）承接上述問題的回答，展示下面知識.

［字幕］模型：從 個不同元素中取出 個元素并成一組，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個.如前面思考題：6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票，是從6個元素中取出2個元素的一個.

數：從 個不同元素中取出 個元素的所有的個數，稱之，用符號 表示，如從6個元素中取出2個元素的數為 .

［評述］區分一個排列與一個的關鍵是：該問題是否與順序有關，當取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題；若改變順序，仍得原來的取法，就是問題.

（學生活動）傾聽、思索、記錄.

（教師活動）提出思考問題.

［投影］ 與 的關系如何？

（師生活動）共同探討.求從 個不同元素中取出 個元素的排列數 ，可分為以下兩步：

第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的數為 ；

第2步，求每一個中 個元素的全排列數為 .

根據分步計數原理，得到

［字幕］公式1：

公式2：

（學生活動）驗算 ，即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票.

設計意圖：本著以認識概念為起點，以問題為主線，以培養能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過程，使學生思維層層被激活、逐漸深入到問題當中去.

【例題示范  探求方法】

（教師活動）打出字幕，給出示范，指導訓練.

［字幕］例1  列舉從4個元素 中任取2個元素的所有.

例2  計算：（1） ；（2） .

（學生活動）板演、示范.

（教師活動）講評并指出用兩種方法計算例2的第2小題.

［字幕］例3  已知 ，求 的所有值.

（學生活動）思考分析.

解  首先，根據的定義，有

①

其次，由原不等式轉化為

即

解得 ②

綜合①、②，得 ，即

［點評］這是數公式的應用，關鍵是公式的選擇.

設計意圖：例題教學循序漸進，讓學生鞏固知識，強化公式的應用，從而培養學生的綜合分析能力.

【反饋練習  學會應用】

（教師活動）給出練習，學生解答，教師點評.

［課堂練習］課本P99練習第2，5，6題.

［補充練習］

［字幕］1.計算：

2.已知 ，求 .

 （學生活動）板演、解答.

設計意圖：課堂教學體現以學生為本，讓全體學生參與訓練，深刻揭示排列數公式的結構、特征及應用.

【點評矯正  交流提高】

（教師活動）依照學生的板演，給予指正并總結.

補充練習答案：

1.解：原式：

2.解：由題設得

整理化簡得 ，

解之，得 或 （因 ，舍去），

所以 ，所求

［字幕］小結：

1.前一個公式主要用于計算具體的數，而后一個公式則主要用于對含有字母的式子進行化簡和論證.

2.在解含數的方程或不等式時，一定要注意數的上、下標的限制條件.

（學生活動）交流討論，總結記錄.

設計意圖：由“實踐——認識——一實踐”的認識論，教學時抓住“學習—一練習——反饋———小結”這些環節，使教學目標 得以強化和落實.

（三）小結

（師生活動）共同小結.

本節主要內容有

1.概念.

2.數計算的兩個公式.

（四）布置作業 

1.課本作業 ：習題10 3第1（1）、（4），3題.

2.思考題：某學習小組有8個同學，從男生中選2人，女生中選1人參加數學、物理、化學三種學科競賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學各有多少人？

3.研究性題：

在 的 邊上除頂點 外有 5個點，在 邊上有 4個點，由這些點（包括 ）能組成多少個四邊形？能組成多少個三角形？

    （五）課后點評

    在學習了排列知識的基礎上，本節課引進了概念，并推導出數公式，同時調控進行訓練，從而培養學生分析問題、解決問題的能力.

    作業 參考答案

    2.解；設有男同學 人，則有女同學 人，依題意有 ，由此解得 或 或2.即男同學有5人或6人，女同學相應為3人或2人.

    3.能組成 （注意不能用 點為頂點）個四邊形， 個三角形.

探究活動

同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，那么四張不同的分配萬式可有多少種？

解  設四人分別為甲、乙、丙、丁，可從多種角度來解.

解法一  可將拿賀卡的情況，按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情形分為三類，即：

甲拿乙制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法.

甲拿丙制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法.

甲拿丁制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法.

由加法原理得，賀卡分配方法有3+3+3=9種.

解法二  可從利用排列數和數公式角度來考慮.這時還存在正向與逆向兩種思考途徑.

正向思考，即從滿足題設條件出發，分步完成分配.先可由甲從乙、丙、丁制作的賀卡中選取1張，有 種取法，剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張，也有 種，最后剩下2人可選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡，其取法只有互取對方制作賀卡1種取法.根據乘法原理，賀卡的分配方法有 （種）.

逆向思考，即從4人取4張不同賀卡的所有取法中排除不滿足題設條件的取法.不滿足題設條件的取法為，其中只有1人取自己制作的賀卡，其中有2人取自己制作的賀卡，其中有3人取自己制作的賀卡（此時即為4人均拿自己制作的賀卡）.其取法分別為   1.故符合題設要求的取法共有 （種）.

說明（1）對一類元素不太多而利用排列或計算公式計算比較復雜，且容易重復遺漏計算的排列問題，常可采用直接分類后用加法原理進行計算，如本例采用解法一的做法.

（2）設集合 ，如果S中元素的一個排列 滿足 ，則稱該排列為S的一個錯位排列.本例就屬錯位排列問題.如將S的所有錯位排列數記為 ，則 有如下三個計算公式（李宇襄編著《數學》，北京師范大學出版社出版）：

①

②

③