組合

教學(xué)目標(biāo)
（1）使學(xué)生正確理解的意義，正確區(qū)分排列、問題；
（2）使學(xué)生掌握數(shù)的計(jì)算公式、數(shù)的性質(zhì)用數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；
（3）通過學(xué)習(xí)知識(shí)，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；
（4）通過對(duì)排列、問題求解與剖析，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和思維深刻性，學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

教學(xué)建議

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)難點(diǎn)分析

本小節(jié)的重點(diǎn)是的定義、數(shù)及數(shù)的公式，數(shù)的性質(zhì)。難點(diǎn)是解的應(yīng)用題。突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對(duì)加法原理與乘法原理的掌握和應(yīng)用，并將這兩個(gè)原理的基本思想貫穿在解決應(yīng)用題當(dāng)中。

與數(shù)，也有上面類似的關(guān)系。從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)。所有這些不同的的個(gè)數(shù)叫做數(shù)。從集合的角度看，從n個(gè)元素的有限集中取出m個(gè)組成的一個(gè)集合（無序集），相當(dāng)于一個(gè)，而這種集合的個(gè)數(shù)，就是相應(yīng)的數(shù)。

解排列應(yīng)用題時(shí)主要應(yīng)抓住是排列問題還是問題，其次要搞清需要分類，還是需要分步.切記：排組分清（有序排列、無序），加乘明確（分類為加、分步為乘）.

三、教法設(shè)計(jì)

1.對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，建議把排列與的概念進(jìn)行對(duì)比的進(jìn)行學(xué)習(xí)，這樣有利于搞請(qǐng)這兩組概念的區(qū)別與聯(lián)系.

2.學(xué)生與老師可以合編一些排列問題，如“45人中選出5人當(dāng)班干部有多少種選法？”與“45人中選出5人分別擔(dān)任班長、副班長、體委、學(xué)委、生委有多少種選法？”這是兩個(gè)相近問題，同學(xué)們會(huì)根據(jù)自己身邊的實(shí)際可以編出各種各樣的具有特色的問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生辨認(rèn)哪個(gè)是排列問題，哪個(gè)是問題.這樣既調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又在編題辨題中澄清了概念.

為了理解排列與的概念，建議大家學(xué)會(huì)畫排列與的樹圖.如，從a,b,c,d 4個(gè)元素中取出3個(gè)元素的排列樹圖與樹圖分別為：

排列樹圖

由排列樹圖得到，從a,b,c,d 取出3個(gè)元素的所有排列有24個(gè)，它們分別是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.

樹圖

由樹圖可得，從a,b,c,d中取出3個(gè)元素的有4個(gè)，它們是(abc),(abd),(acd),(bcd).

從以上兩組樹圖清楚的告訴我們，排列樹圖是對(duì)稱的，圖式不是對(duì)稱的，之所以排列樹圖具有對(duì)稱性，是因?yàn)閷?duì)于a,b,c,d四個(gè)字母哪一個(gè)都有在第一位的機(jī)會(huì)，哪一個(gè)都有在第二位的機(jī)會(huì)，哪一個(gè)都有在第三位的機(jī)會(huì)，而只考慮字母不考慮順序，為實(shí)現(xiàn)無順序的要求，我們可以限定a,b,c,d的順序是從前至后，固定了死順序等于無順序，這樣就有了自己的樹圖.

學(xué)會(huì)畫樹圖，不僅有利于理解排列與的概念，還有助于推導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式.

3.排列的應(yīng)用問題，教師應(yīng)從簡單問題問題入手，逐步到有一個(gè)附加條件的單純排列問題或問題，最后在設(shè)及排列與的綜合問題.

對(duì)于每一道題目，教師必須先讓學(xué)生獨(dú)立思考，在進(jìn)行全班討論，對(duì)于學(xué)生的每一種解法，教師要先讓學(xué)生判斷正誤，在給予點(diǎn)播.對(duì)于排列、應(yīng)用問題的解決我們提倡一題多解，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析問題解決問題的能力，在學(xué)生的多種解法基礎(chǔ)上教師要引導(dǎo)學(xué)生選擇最佳方案，總結(jié)解題規(guī)律.對(duì)于學(xué)生解題中的常見錯(cuò)誤，教師一定要講明道理，認(rèn)真分析錯(cuò)誤原因，使學(xué)生在是非的判斷得以提高.

4.兩個(gè)性質(zhì)定理教學(xué)時(shí)，對(duì)定理1，可以用下例來說明：從4個(gè)不同的元素a，b，c，d里每次取出3個(gè)元素的及每次取出1個(gè)元素的分別是

這就說明從4個(gè)不同的元素里每次取出3個(gè)元素的與從4個(gè)元素里每次取出1個(gè)元素的是—一對(duì)應(yīng)的.

對(duì)定理2，可啟發(fā)學(xué)生從下面問題的討論得出.從n個(gè)不同元素 ， ，…， 里每次取出m個(gè)不同的元素（ ），問：（1）可以組成多少個(gè)；（2）在這些里，有多少個(gè)是不含有 的； （3）在這些里，有多少個(gè)是含有 的；（4）從上面的結(jié)果，可以得出一個(gè)怎樣的公式.在此基礎(chǔ)上引出定理2.

對(duì)于 ，和 一樣，是一種規(guī)定.而學(xué)生常常誤以為是推算出來的，因此，教學(xué)時(shí)要講清楚.

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

教學(xué)目標(biāo)

（1）使學(xué)生正確理解的意義，正確區(qū)分排列、問題；

（2）使學(xué)生掌握數(shù)的計(jì)算公式；

（3）通過學(xué)習(xí)知識(shí)，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)是的定義、數(shù)及數(shù)的公式；

難點(diǎn)是解的應(yīng)用題.

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（－）導(dǎo)入  新課

（教師活動(dòng)）提出下列思考問題，打出字幕.

［字幕］一條鐵路線上有6個(gè)火車站，（1）需準(zhǔn)備多少種不同的普通客車票？（2）有多少種不同票價(jià)的普通客車票？上面問題中，哪一問是排列問題？哪一問是問題？

（學(xué)生活動(dòng)）討論并回答.

答案提示：（1）排列；（2）.

［評(píng)述］問題（1）是從6個(gè)火車站中任選兩個(gè)，并按一定的順序排列，要求出排法的種數(shù)，屬于排列問題；（2）是從6個(gè)火車站中任選兩個(gè)并成一組，兩站無順序關(guān)系，要求出不同的組數(shù)，屬于問題.這節(jié)課著重研究問題.

設(shè)計(jì)意圖：與排列所研究的問題幾乎是平行的.上面設(shè)計(jì)的問題目的是從排列知識(shí)中發(fā)現(xiàn)并提出新的問題.

（二）新課講授

［提出問題 創(chuàng)設(shè)情境］

（教師活動(dòng)）指導(dǎo)學(xué)生帶著問題閱讀課文.

［字幕］1.排列的定義是什么？

2.舉例說明一個(gè)是什么？

3.一個(gè)與一個(gè)排列有何區(qū)別？

（學(xué)生活動(dòng)）閱讀回答.

（教師活動(dòng)）對(duì)照課文，逐一評(píng)析.

設(shè)計(jì)意圖：激活學(xué)生的思維，使其將所學(xué)的知識(shí)遷移過渡，并盡快適應(yīng)新的環(huán)境.

【歸納概括  建立新知】

（教師活動(dòng)）承接上述問題的回答，展示下面知識(shí).

［字幕］模型：從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素并成一組，叫做從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的一個(gè).如前面思考題：6個(gè)火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價(jià)相同的車票，是從6個(gè)元素中取出2個(gè)元素的一個(gè).

數(shù)：從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的所有的個(gè)數(shù)，稱之，用符號(hào) 表示，如從6個(gè)元素中取出2個(gè)元素的數(shù)為 .

［評(píng)述］區(qū)分一個(gè)排列與一個(gè)的關(guān)鍵是：該問題是否與順序有關(guān)，當(dāng)取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題；若改變順序，仍得原來的取法，就是問題.

（學(xué)生活動(dòng)）傾聽、思索、記錄.

（教師活動(dòng)）提出思考問題.

［投影］ 與 的關(guān)系如何？

（師生活動(dòng)）共同探討.求從 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的排列數(shù) ，可分為以下兩步：

第1步，先求出從這 個(gè)不同元素中取出 個(gè)元素的數(shù)為 ；

第2步，求每一個(gè)中 個(gè)元素的全排列數(shù)為 .

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到

［字幕］公式1：

公式2：

（學(xué)生活動(dòng)）驗(yàn)算 ，即一條鐵路上6個(gè)火車站有15種不同的票價(jià)的普通客車票.

設(shè)計(jì)意圖：本著以認(rèn)識(shí)概念為起點(diǎn)，以問題為主線，以培養(yǎng)能力為核心的宗旨，逐步展示知識(shí)的形成過程，使學(xué)生思維層層被激活、逐漸深入到問題當(dāng)中去.

【例題示范  探求方法】

（教師活動(dòng)）打出字幕，給出示范，指導(dǎo)訓(xùn)練.

［字幕］例1  列舉從4個(gè)元素 中任取2個(gè)元素的所有.

例2  計(jì)算：（1） ；（2） .

（學(xué)生活動(dòng)）板演、示范.

（教師活動(dòng)）講評(píng)并指出用兩種方法計(jì)算例2的第2小題.

［字幕］例3  已知 ，求 的所有值.

（學(xué)生活動(dòng)）思考分析.

解  首先，根據(jù)的定義，有

①

其次，由原不等式轉(zhuǎn)化為

即

解得 ②

綜合①、②，得 ，即

［點(diǎn)評(píng)］這是數(shù)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是公式的選擇.

設(shè)計(jì)意圖：例題教學(xué)循序漸進(jìn)，讓學(xué)生鞏固知識(shí)，強(qiáng)化公式的應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力.

【反饋練習(xí)  學(xué)會(huì)應(yīng)用】

（教師活動(dòng)）給出練習(xí)，學(xué)生解答，教師點(diǎn)評(píng).

［課堂練習(xí)］課本P99練習(xí)第2，5，6題.

［補(bǔ)充練習(xí)］

［字幕］1.計(jì)算：

2.已知 ，求 .

 （學(xué)生活動(dòng)）板演、解答.

設(shè)計(jì)意圖：課堂教學(xué)體現(xiàn)以學(xué)生為本，讓全體學(xué)生參與訓(xùn)練，深刻揭示排列數(shù)公式的結(jié)構(gòu)、特征及應(yīng)用.

【點(diǎn)評(píng)矯正  交流提高】

（教師活動(dòng)）依照學(xué)生的板演，給予指正并總結(jié).

補(bǔ)充練習(xí)答案：

1.解：原式：

2.解：由題設(shè)得

整理化簡得 ，

解之，得 或 （因 ，舍去），

所以 ，所求

［字幕］小結(jié)：

1.前一個(gè)公式主要用于計(jì)算具體的數(shù)，而后一個(gè)公式則主要用于對(duì)含有字母的式子進(jìn)行化簡和論證.

2.在解含數(shù)的方程或不等式時(shí)，一定要注意數(shù)的上、下標(biāo)的限制條件.

（學(xué)生活動(dòng)）交流討論，總結(jié)記錄.

設(shè)計(jì)意圖：由“實(shí)踐——認(rèn)識(shí)——一實(shí)踐”的認(rèn)識(shí)論，教學(xué)時(shí)抓住“學(xué)習(xí)—一練習(xí)——反饋———小結(jié)”這些環(huán)節(jié)，使教學(xué)目標(biāo)得以強(qiáng)化和落實(shí).

（三）小結(jié)

（師生活動(dòng)）共同小結(jié).

本節(jié)主要內(nèi)容有

1.概念.

2.數(shù)計(jì)算的兩個(gè)公式.

（四）布置作業(yè) 

1.課本作業(yè) ：習(xí)題10 3第1（1）、（4），3題.

2.思考題：某學(xué)習(xí)小組有8個(gè)同學(xué)，從男生中選2人，女生中選1人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三種學(xué)科競賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學(xué)各有多少人？

3.研究性題：

在 的 邊上除頂點(diǎn) 外有 5個(gè)點(diǎn)，在 邊上有 4個(gè)點(diǎn)，由這些點(diǎn)（包括 ）能組成多少個(gè)四邊形？能組成多少個(gè)三角形？

    （五）課后點(diǎn)評(píng)

    在學(xué)習(xí)了排列知識(shí)的基礎(chǔ)上，本節(jié)課引進(jìn)了概念，并推導(dǎo)出數(shù)公式，同時(shí)調(diào)控進(jìn)行訓(xùn)練，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

    作業(yè) 參考答案

    2.解；設(shè)有男同學(xué) 人，則有女同學(xué) 人，依題意有 ，由此解得 或 或2.即男同學(xué)有5人或6人，女同學(xué)相應(yīng)為3人或2人.

    3.能組成 （注意不能用 點(diǎn)為頂點(diǎn)）個(gè)四邊形， 個(gè)三角形.

探究活動(dòng)

同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，那么四張不同的分配萬式可有多少種？

解  設(shè)四人分別為甲、乙、丙、丁，可從多種角度來解.

解法一  可將拿賀卡的情況，按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情形分為三類，即：

甲拿乙制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種分配方法.

甲拿丙制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種分配方法.

甲拿丁制作的賀卡時(shí)，則賀卡有3種分配方法.

由加法原理得，賀卡分配方法有3+3+3=9種.

解法二  可從利用排列數(shù)和數(shù)公式角度來考慮.這時(shí)還存在正向與逆向兩種思考途徑.

正向思考，即從滿足題設(shè)條件出發(fā)，分步完成分配.先可由甲從乙、丙、丁制作的賀卡中選取1張，有 種取法，剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張，也有 種，最后剩下2人可選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡，其取法只有互取對(duì)方制作賀卡1種取法.根據(jù)乘法原理，賀卡的分配方法有 （種）.

逆向思考，即從4人取4張不同賀卡的所有取法中排除不滿足題設(shè)條件的取法.不滿足題設(shè)條件的取法為，其中只有1人取自己制作的賀卡，其中有2人取自己制作的賀卡，其中有3人取自己制作的賀卡（此時(shí)即為4人均拿自己制作的賀卡）.其取法分別為   1.故符合題設(shè)要求的取法共有 （種）.

說明（1）對(duì)一類元素不太多而利用排列或計(jì)算公式計(jì)算比較復(fù)雜，且容易重復(fù)遺漏計(jì)算的排列問題，常可采用直接分類后用加法原理進(jìn)行計(jì)算，如本例采用解法一的做法.

（2）設(shè)集合 ，如果S中元素的一個(gè)排列 滿足 ，則稱該排列為S的一個(gè)錯(cuò)位排列.本例就屬錯(cuò)位排列問題.如將S的所有錯(cuò)位排列數(shù)記為 ，則 有如下三個(gè)計(jì)算公式（李宇襄編著《數(shù)學(xué)》，北京師范大學(xué)出版社出版）：

①

②

③