數(shù)學教案－復數(shù)的向量表示

教學目標 

（1）掌握向量的有關(guān)概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量；

（2）理解并掌握復數(shù)集、復平面內(nèi)的點的集合、復平面內(nèi)以原點為起點的向量集合之間的一一對應關(guān)系；

（3）掌握復數(shù)的模的定義及其幾何意義；

（4）通過學習復數(shù)的向量表示，培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想；

（5）通過本節(jié)內(nèi)容的學習，培養(yǎng)學生的觀察能力、分析能力，幫助學生逐步形成科學的思維習慣和方法.

 
 教學建議

一、知識結(jié)構(gòu)

本節(jié)內(nèi)容首先從物理中所遇到的一些矢量出發(fā)引出向量的概念，介紹了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接著介紹了復數(shù)集與復平面內(nèi)以原點為起點的向量集合之間的一一對應關(guān)系，指出了復數(shù)的模的定義及其計算公式.

二、重點、難點分析

本節(jié)的重點是復數(shù)與復平面的向量的一一對應關(guān)系的理解；難點是復數(shù)模的概念.復數(shù)可以用向量表示，二者的對應關(guān)系為什么只能說復數(shù)集與以原點為起點的向量的集合一一對應關(guān)系，而不能說與復平面內(nèi)的向量一一對應，對這一點的理解要加以重視.在復數(shù)向量的表示中，從復數(shù)集與復平面內(nèi)的點以及以原點為起點的向量之間的一一對應關(guān)系是本節(jié)教學的難點.復數(shù)模的概念是一個難點，首先要理解復數(shù)的絕對值與實數(shù)絕對值定義的一致性質(zhì)，其次要理解它的幾何意義是表示向量的長度，也就是復平面上的點到原點的距離.

三、教學建議

1.在學習新課之前一定要復習舊知識，包括實數(shù)的絕對值及幾何意義，復數(shù)的有關(guān)概念、現(xiàn)行高中物理課本中的有關(guān)矢量知識等，特別是對于基礎(chǔ)較差的學生，這一環(huán)節(jié)不可忽視.

2.理解并掌握復數(shù)集、復平面內(nèi)的點集、復平面內(nèi)以原點為起點的向量集合三者之間的關(guān)系

  如圖所示，建立復平面以后，復數(shù)  與復平面內(nèi)的點  形成—一對應關(guān)系，而點  又與復平面的向量 構(gòu)成—一對應關(guān)系.因此，復數(shù)集  與復平面的以 為起點，以 為終點的向量集 形成—一對應關(guān)系.因此，我們常把復數(shù)  說成點Z或說成向量 .點  、向量 是復數(shù)  的另外兩種表示形式，它們都是復數(shù) 的幾何表示.
相等的向量對應的是同一個復數(shù)，復平面內(nèi)與向量 相等的向量有無窮多個，所以復數(shù)集不能與復平面上所有的向量相成—一對應關(guān)系.復數(shù)集只能與復平面上以原點為起點的向量集合構(gòu)成—一對應關(guān)系.

 2.

這種對應關(guān)系的建立，為我們用解析幾何方法解決復數(shù)問題，或用復數(shù)方法解決幾何問題創(chuàng)造了條件.

3.向量的模，又叫向量的絕對值，也就是其有向線段的長度.它的計算公式是  ，當實部為零時，根據(jù)上面復數(shù)的模的公式與以前關(guān)于實數(shù)絕對值及算術(shù)平方根的規(guī)定一致.這些內(nèi)容必須使學生在理解的基礎(chǔ)上牢固地掌握.

4.講解教材第182頁上例2的第（1）小題建議.在講解教材第182頁上例2的第（1）小題時.如果結(jié)合提問  的圖形，可以幫助學生正確理解教材中的“圓”是指曲線而不是指圓面（曲線所包圍的平面部分）.對于倒2的第（2）小題的圖形，畫圖時周界（兩個同心圓）都應畫成虛線.

5.講解復數(shù)的模.講復數(shù)的模的定義和計算公式時，要注意與向量的有關(guān)知識聯(lián)系，結(jié)合復數(shù)與復平面內(nèi)以原點為起點，以復數(shù)所對應的點為終點的向量之間的一一對應關(guān)系，使學生在理解的基礎(chǔ)上記憶。向量  的模，又叫做向量 的絕對值，也就是有向線段OZ的長度  .它也叫做復數(shù)  的模或絕對值.它的計算公式是  .

教學設(shè)計示例

復數(shù)的向量表示

教學目的

1掌握復數(shù)的向量表示 ，復數(shù)模的概念及求法，復數(shù)模的幾何意義.
2 通過數(shù)形結(jié)合研究復數(shù).
3培養(yǎng)學生辯證唯物主義思想.

重點難點

復數(shù)向量的表示及復數(shù)模的概念.

教學學具

投影儀

教學過程 

1復習提問：向量的概念；模；復平面.
2新課：

一、復數(shù)的向量表示：

在復平面內(nèi)以原點為起點，點Z（a，b）為終點的向量OZ，由點Z（a，b）唯一確定.

因此復平面內(nèi)的點集與復數(shù)集C之間存在一一對應關(guān)系，而復平面內(nèi)的點集與以原點為起點的向量一一對應.

常把復數(shù)z=a+bi說成點Z（a，b）或說成向量OZ，并規(guī)定相等向量表示同一復數(shù).

二、復數(shù)的模

向量OZ的模（即有向線段OZ的長度）叫做復數(shù)z=a+bi的模（或絕對值）記作|Z|或|a+bi|

|Z|=|a+bi|=a+b    

例1  求復數(shù)z₁=3+4i及z₂=-1+2i的模，并比較它們的大小.

解：∵|Z₁|²=3²+4²=25     |Z₂|²=（-1）²+2²=5

∴|Z₁|＞|Z₂|

練習： 1已知z₁=1+3i  z₂=-2i  Z₃=4   Z₄=-1+2i

⑴在復平面內(nèi)，描出表示這些向量的點，畫出向量.

⑵計算它們的模.    

三、復數(shù)模的幾何意義

復數(shù)Z=a+bi，當b=0時z∈R |Z|=|a|即a在實數(shù)意義上的絕對值復數(shù)模可看作點Z（a，b）到原點的距離.

例2  設(shè)Z∈C滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？

⑴ |Z|=4    ⑵  2≤|Z|＜4

解：（略）

練習：⑴ 模等于4的虛數(shù)在復平面內(nèi)的點集             .

⑵  比較復數(shù)z₁=－5+12i    z₂=―6―6i的模的大小.

⑶已知：|Z|=|x+yi|=1 求表示復數(shù)x+yi的點的軌跡.

教學后記：

板書設(shè)計 ：    

一、復數(shù)的向量表示：        三、復數(shù)模的幾何意義

二、復數(shù)的模                   例2

例1             

探究活動

已知  要使  ，還要增加什么條件？

解：要使  ，即  由此可知，點  到兩個定點  和  的距離之和為6  ，如把看成動點，則它的軌跡是橢圓  .

因此，所要增加的條件是：點  應滿足條件  .

說明 此題是屬于缺少條件的探索性問題，解決這類問題的一般做法是從結(jié)論出發(fā)，并采用逆推的方法得出終結(jié)的結(jié)論，便理所求的條件.