一、知識結(jié)構(gòu)

二、重點、難點分析

本節(jié)的重點是復(fù)數(shù)加法法則。難點是復(fù)數(shù)加減法的幾何意義。復(fù)數(shù)加法法則是教材首先規(guī)定的法則，它是復(fù)數(shù)加減法運算的基礎(chǔ)，對于這個規(guī)定的合理性，在教學(xué)過程 中要加以重視。復(fù)數(shù)加減法的幾何意義的難點在于復(fù)數(shù)加減法轉(zhuǎn)化為向量加減法，以它為根據(jù)來解決某些平面圖形的問題，學(xué)生對這一點不容易接受。

三、教學(xué)建議

（1）在中，重點是加法.教材首先規(guī)定了復(fù)數(shù)的加法法則.對于這個規(guī)定，應(yīng)通過下面幾個方面，使學(xué)生逐步理解這個規(guī)定的合理性：①當(dāng) 時，與實數(shù)加法法則一致；②驗證實數(shù)加法運算律在復(fù)數(shù)集中仍然成立；③符合向量加法的平行四邊形法則.
（2）復(fù)數(shù)加法的向量運算講解設(shè) ，畫出向量 ， 后，提問向量加法的平行四邊形法則，并讓學(xué)生自己畫出和向量（即合向量） ，畫出向量 后，問與它對應(yīng)的復(fù)數(shù)是什么，即求點Z的坐標(biāo)OR與RZ（證法如教材所示）.
（3）向?qū)W生介紹復(fù)數(shù)加法的三角形法則.講過復(fù)數(shù)加法可按向量加法的平行四邊形法則來進(jìn)行后，可以指出向量加法還可按三角形法則來進(jìn)行：如教材中圖8－5（2）所示，求 與 的和，可以看作是求 與 的和.這時先畫出第一個向量 ，再以 的終點為起點畫出第二個向量 ，那么，由第一個向量起點O指向第二個向量終點Z的向量 ，就是這兩個向量的和向量.
（4）向?qū)W生指出復(fù)數(shù)加法的三角形法則的好處.向?qū)W生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的：例如講到當(dāng) 與 在同一直線上時，求它們的和，用三角形法則來解釋，可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋容易理解一些；講復(fù)數(shù)減法的幾何意義時，用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便.
（5）講解了教材例2后，應(yīng)強調(diào) （注意：這里 是起點， 是終點）就是同復(fù)數(shù) － 對應(yīng)的向量.點 ， 之間的距離 就是向量 的模，也就是復(fù)數(shù) － 的模，即 .

例如，起點對應(yīng)復(fù)數(shù)－1、終點對應(yīng)復(fù)數(shù) 的那個向量（如圖），可用 來表示.因而點 與 （ ）點間的距離就是復(fù)數(shù)     的模，它等于 。

 教學(xué)設(shè)計示例

復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義

      教學(xué)目標(biāo) 

1.理解并掌握復(fù)數(shù)減法法則和它的幾何意義.

2.滲透轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法，提高分析、解決問題能力.

3.培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)（思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，深刻性，靈活性等）.

教學(xué)重點和難點

重點：復(fù)數(shù)減法法則.

難點：對復(fù)數(shù)減法幾何意義理解和應(yīng)用.

教學(xué)過程 設(shè)計

（一）引入新課

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復(fù)數(shù)減法及其幾何意義.（板書課題：復(fù)數(shù)減法及其幾何意義）

（二）復(fù)數(shù)減法

復(fù)數(shù)減法是加法逆運算，那么復(fù)數(shù)減法法則為（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，

1.復(fù)數(shù)減法法則

（1）規(guī)定：復(fù)數(shù)減法是加法逆運算；

（2）法則：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（ ， ， ， ∈R）.

把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推導(dǎo)這個法則.

（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i.

推導(dǎo)的想法和依據(jù)把減法運算轉(zhuǎn)化為加法運算.

推導(dǎo)：設(shè)（ + i）-（ + i）= + i（ ， ∈R）.即復(fù)數(shù) + i為復(fù)數(shù) + i減去復(fù)數(shù) + i的差.由規(guī)定，得（ + i）+（ + i）= + i，依據(jù)加法法則，得（ + ）+（ + ）i= + i，依據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，得

故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i.這樣推導(dǎo)每一步都有合理依據(jù).

我們得到了復(fù)數(shù)減法法則，兩個復(fù)數(shù)的差仍是復(fù)數(shù).是唯一確定的復(fù)數(shù).

復(fù)數(shù)的加（減）法與多項式加（減）法是類似的.就是把復(fù)數(shù)的實部與實部，虛部與虛部分別相加（減），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i.

（三）復(fù)數(shù)減法幾何意義

我們有了做復(fù)數(shù)減法的依據(jù)——復(fù)數(shù)減法法則，那么復(fù)數(shù)減法的幾何意義是什么？
設(shè)z= + i（ ， ∈R），z₁= + i（ ， ∈R），對應(yīng)向量分別為 ， 如圖

由于復(fù)數(shù)減法是加法的逆運算，設(shè)z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z₁=z₂，z₂+z₁=z，由復(fù)數(shù)加法幾何意義，以 為一條對角線， ₁為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊 ₂所表示的向量OZ₂就與復(fù)數(shù)z-z₁的差（ - ）+（ - ）i對應(yīng)，如圖.

在這個平行四邊形中與z-z₁差對應(yīng)的向量是只有向量 ₂嗎？ 

還有 . 因為OZ₂ Z₁Z，所以向量 ，也與z-z₁差對應(yīng).向量 是以Z₁為起點，Z為終點的向量.

能概括一下復(fù)數(shù)減法幾何意義是：兩個復(fù)數(shù)的差z-z₁與連接這兩個向量終點并指向被減數(shù)的向量對應(yīng).

（四）應(yīng)用舉例

在直角坐標(biāo)系中標(biāo)Z₁（-2，5），連接OZ₁，向量 ₁與多數(shù)z₁對應(yīng)，標(biāo)點Z₂（3，2），Z₂關(guān)于x軸對稱點Z₂（3，-2），向量 ₂與復(fù)數(shù)對應(yīng)，連接，向量與的差對應(yīng)（如圖）.

例2 根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及向量表示，求復(fù)平面內(nèi)兩點間的距離公式.

解：設(shè)復(fù)平面內(nèi)的任意兩點Z₁，Z₂分別表示復(fù)數(shù)z₁，z₂，那么Z₁Z₂就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，點之間的距離就是向量的模，即復(fù)數(shù)z₂-z₁的模.如果用d表示點Z₁，Z₂之間的距離，那么d=|z₂-z₁|.

例3  在復(fù)平面內(nèi)，滿足下列復(fù)數(shù)形式方程的動點Z的軌跡是什么.

（1）|z-1-i|=|z+2+i|；

方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復(fù)數(shù)Z與復(fù)數(shù)1+i差的模.

幾何意義是是動點Z與定點（1，1）間的距離.方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)-2-i差的模，也就是動點Z與定點（-2，-1）間距離.這個方程表示的是到兩點（+1，1），（-2，-1）距離相等的點的軌跡方程，這個動點軌跡是以點（+1，1），（-2，-1）為端點的線段的垂直平分線.

（2）|z+i|+|z-i|=4；

方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個定點（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動點軌跡.滿足方程的動點軌跡是橢圓.

（3）|z+2|-|z-2|=1.

這個方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個定點（-2，0），（2，0）距離差等于1的點的軌跡，這個軌跡是雙曲線.是雙曲線右支.

由z₁-z₂幾何意義，將z₁-z₂取模得到復(fù)平面內(nèi)兩點間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復(fù)數(shù)方程.使有些曲線方程形式變得更為簡捷.且反映曲線的本質(zhì)特征.

例4  設(shè)動點Z與復(fù)數(shù)z= + i對應(yīng)，定點P與復(fù)數(shù)p= + i對應(yīng).求

（1）復(fù)平面內(nèi)圓的方程；

解：設(shè)定點P為圓心，r為半徑，如圖

由圓的定義，得復(fù)平面內(nèi)圓的方程|z-p|=r.

（2）復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|z-p|＜r（r∈R₊）的點Z的集合是什么圖形？

解：復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|z-p|＜r（r∈R₊）的點的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）.利用復(fù)平面內(nèi)兩點間距離公式，可以用復(fù)數(shù)解決解析幾何中某些曲線方程.不等式等問題.

（五）小結(jié)

我們通過推導(dǎo)得到復(fù)數(shù)減法法則，并進(jìn)一步得到了復(fù)數(shù)減法幾何意義，應(yīng)用復(fù)數(shù)減法幾何意義和復(fù)平面內(nèi)兩點間距離公式，可以用復(fù)數(shù)研究解析幾何問題，不等式以及最值問題.

（六）布置作業(yè) P193習(xí)題二十七：2，3，8，9.

 探究活動