復數的加法與減法（通用6篇）

復數的加法與減法 篇1

　　教學目標 

　　（1）掌握復數加法與減法運算法則，能熟練地進行加、減法運算；

　　（2）理解并掌握復數加法與減法的幾何意義，會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題；

　　（3）能初步運用復平面兩點間的距離公式解決有關問題；

　　（4）通過學習平行四邊形法則和三角形法，培養學生的數形結合的數學思想；

　　（5）通過本節內容的學習，培養學生良好思維品質（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）.

　　教學建議

　　一、知識結構

　　二、重點、難點分析

　　本節的重點是復數加法法則。難點是復數加減法的幾何意義。復數加法法則是教材首先規定的法則，它是復數加減法運算的基礎，對于這個規定的合理性，在教學過程 中要加以重視。復數加減法的幾何意義的難點在于復數加減法轉化為向量加減法，以它為根據來解決某些平面圖形的問題，學生對這一點不容易接受。

　　三、教學建議

　　（1）在中，重點是加法.教材首先規定了復數的加法法則.對于這個規定，應通過下面幾個方面，使學生逐步理解這個規定的合理性：①當 時，與實數加法法則一致；②驗證實數加法運算律在復數集中仍然成立；③符合向量加法的平行四邊形法則.

　　（2）復數加法的向量運算講解設 ，畫出向量 ， 后，提問向量加法的平行四邊形法則，并讓學生自己畫出和向量（即合向量） ，畫出向量 后，問與它對應的復數是什么，即求點Z的坐標OR與RZ（證法如教材所示）.

　　（3）向學生介紹復數加法的三角形法則.講過復數加法可按向量加法的平行四邊形法則來進行后，可以指出向量加法還可按三角形法則來進行：如教材中圖8－5（2）所示，求 與 的和，可以看作是求 與 的和.這時先畫出第一個向量 ，再以 的終點為起點畫出第二個向量 ，那么，由第一個向量起點O指向第二個向量終點Z的向量 ，就是這兩個向量的和向量.

　　（4）向學生指出復數加法的三角形法則的好處.向學生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的：例如講到當 與 在同一直線上時，求它們的和，用三角形法則來解釋，可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋容易理解一些；講復數減法的幾何意義時，用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便.

　　（5）講解了教材例2后，應強調 （注意：這里 是起點， 是終點）就是同復數 － 對應的向量.點 ， 之間的距離 就是向量 的模，也就是復數 － 的模，即 .

　　例如，起點對應復數－1、終點對應復數 的那個向量（如圖），可用 來表示.因而點 與 （ ）點間的距離就是復數     的模，它等于 。

　　教學設計示例

　　復數的減法及其幾何意義

　　教學目標 

　　1.理解并掌握復數減法法則和它的幾何意義.

　　2.滲透轉化，數形結合等數學思想和方法，提高分析、解決問題能力.

　　3.培養學生良好思維品質（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）.

　　教學重點和難點

　　重點：復數減法法則.

　　難點：對復數減法幾何意義理解和應用.

　　教學過程 設計

　　（一）引入新課

　　上節課我們學習了復數加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復數減法及其幾何意義.（板書課題：復數減法及其幾何意義）

　　（二）復數減法

　　復數減法是加法逆運算，那么復數減法法則為（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，

　　1.復數減法法則

　　（1）規定：復數減法是加法逆運算；

　　（2）法則：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（ ， ， ， ∈R）.

　　把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推導這個法則.

　　（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i.

　　推導的想法和依據把減法運算轉化為加法運算.

　　推導：設（ + i）-（ + i）= + i（ ， ∈R）.即復數 + i為復數 + i減去復數 + i的差.由規定，得（ + i）+（ + i）= + i，依據加法法則，得（ + ）+（ + ）i= + i，依據復數相等定義，得

　　故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i.這樣推導每一步都有合理依據.

　　我們得到了復數減法法則，兩個復數的差仍是復數.是唯一確定的復數.

　　復數的加（減）法與多項式加（減）法是類似的.就是把復數的實部與實部，虛部與虛部分別相加（減），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i.

　　（三）復數減法幾何意義

　　我們有了做復數減法的依據——復數減法法則，那么復數減法的幾何意義是什么？

　　設z= + i（ ， ∈R），z1= + i（ ， ∈R），對應向量分別為 ， 如圖

　　由于復數減法是加法的逆運算，設z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由復數加法幾何意義，以 為一條對角線， 1為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊 2所表示的向量OZ2就與復數z-z1的差（ - ）+（ - ）i對應，如圖.

　　在這個平行四邊形中與z-z1差對應的向量是只有向量 2嗎？ 

　　還有 . 因為OZ2 Z1Z，所以向量 ，也與z-z1差對應.向量 是以Z1為起點，Z為終點的向量.

　　能概括一下復數減法幾何意義是：兩個復數的差z-z1與連接這兩個向量終點并指向被減數的向量對應.

　　（四）應用舉例

　　在直角坐標系中標Z1（-2，5），連接OZ1，向量 1與多數z1對應，標點Z2（3，2），Z2關于x軸對稱點Z2（3，-2），向量 2與復數對應，連接，向量與的差對應（如圖）.

　　例2 根據復數的幾何意義及向量表示，求復平面內兩點間的距離公式.

　　解：設復平面內的任意兩點Z1，Z2分別表示復數z1，z2，那么Z1Z2就是復數對應的向量，點之間的距離就是向量的模，即復數z2-z1的模.如果用d表示點Z1，Z2之間的距離，那么d=|z2-z1|.

　　例3  在復平面內，滿足下列復數形式方程的動點Z的軌跡是什么.

　　（1）|z-1-i|=|z+2+i|；

　　方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復數Z與復數1+i差的模.

　　幾何意義是是動點Z與定點（1，1）間的距離.方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復數z與復數-2-i差的模，也就是動點Z與定點（-2，-1）間距離.這個方程表示的是到兩點（+1，1），（-2，-1）距離相等的點的軌跡方程，這個動點軌跡是以點（+1，1），（-2，-1）為端點的線段的垂直平分線.

　　（2）|z+i|+|z-i|=4；

　　方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個定點（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動點軌跡.滿足方程的動點軌跡是橢圓.

　　（3）|z+2|-|z-2|=1.

　　這個方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個定點（-2，0），（2，0）距離差等于1的點的軌跡，這個軌跡是雙曲線.是雙曲線右支.

　　由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復平面內兩點間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復數方程.使有些曲線方程形式變得更為簡捷.且反映曲線的本質特征.

　　例4  設動點Z與復數z= + i對應，定點P與復數p= + i對應.求

　　（1）復平面內圓的方程；

　　解：設定點P為圓心，r為半徑，如圖

　　由圓的定義，得復平面內圓的方程|z-p|=r.

　　（2）復平面內滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點Z的集合是什么圖形？

　　解：復平面內滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）.利用復平面內兩點間距離公式，可以用復數解決解析幾何中某些曲線方程.不等式等問題.

　　（五）小結

　　我們通過推導得到復數減法法則，并進一步得到了復數減法幾何意義，應用復數減法幾何意義和復平面內兩點間距離公式，可以用復數研究解析幾何問題，不等式以及最值問題.

　　（六）布置作業 P193習題二十七：2，3，8，9.

　　探究活動

　　復數等式的幾何意義

　　復數等式 在復平面上表示以 為圓心，以1為半徑的圓。請再舉三個復數等式并說明它們在復平面上的幾何意義。

　　分析與解

　　1.  復數等式 在復平面上表示線段 的中垂線。

　　2.  復數等式 在復平面上表示一個橢圓。

　　3.  復數等式 在復平面上表示一條線段。

　　4.  復數等式 在復平面上表示雙曲線的一支。

　　5.  復數等式 在復平面上表示原點為O、 構成一個矩形。

　　說明 復數與復平面上的點有一一對應的關系，如果我們對復數的代數形式工（幾何意義）之

　　間的關系比較熟悉的話，必然會強化對復數知識的掌握。

復數的加法與減法 篇2

　　教學目標

　　（1）掌握復數加法與減法運算法則，能熟練地進行加、減法運算；

　　（2）理解并掌握復數加法與減法的幾何意義，會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題；

　　（3）能初步運用復平面兩點間的距離公式解決有關問題；

　　（4）通過學習平行四邊形法則和三角形法，培養學生的數形結合的數學思想；

　　（5）通過本節內容的學習，培養學生良好思維品質（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）.

　　教學建議

　　一、知識結構

　　二、重點、難點分析

　　本節的重點是復數加法法則。難點是復數加減法的幾何意義。復數加法法則是教材首先規定的法則，它是復數加減法運算的基礎，對于這個規定的合理性，在教學過程中要加以重視。復數加減法的幾何意義的難點在于復數加減法轉化為向量加減法，以它為根據來解決某些平面圖形的問題，學生對這一點不容易接受。

　　三、教學建議

　　（1）在中，重點是加法.教材首先規定了復數的加法法則.對于這個規定，應通過下面幾個方面，使學生逐步理解這個規定的合理性：①當 時，與實數加法法則一致；②驗證實數加法運算律在復數集中仍然成立；③符合向量加法的平行四邊形法則.

　　（2）復數加法的向量運算講解設 ，畫出向量 ， 后，提問向量加法的平行四邊形法則，并讓學生自己畫出和向量（即合向量） ，畫出向量 后，問與它對應的復數是什么，即求點Z的坐標OR與RZ（證法如教材所示）.

　　（3）向學生介紹復數加法的三角形法則.講過復數加法可按向量加法的平行四邊形法則來進行后，可以指出向量加法還可按三角形法則來進行：如教材中圖8－5（2）所示，求 與 的和，可以看作是求 與 的和.這時先畫出第一個向量 ，再以 的終點為起點畫出第二個向量 ，那么，由第一個向量起點O指向第二個向量終點Z的向量 ，就是這兩個向量的和向量.

　　（4）向學生指出復數加法的三角形法則的好處.向學生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的：例如講到當 與 在同一直線上時，求它們的和，用三角形法則來解釋，可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋容易理解一些；講復數減法的幾何意義時，用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便.

　　（5）講解了教材例2后，應強調 （注意：這里 是起點， 是終點）就是同復數 － 對應的向量.點 ， 之間的距離 就是向量 的模，也就是復數 － 的模，即 .

　　例如，起點對應復數－1、終點對應復數 的那個向量（如圖），可用 來表示.因而點 與 （ ）點間的距離就是復數     的模，它等于 。

　　教學設計示例

　　復數的減法及其幾何意義

　　教學目標

　　1.理解并掌握復數減法法則和它的幾何意義.

　　2.滲透轉化，數形結合等數學思想和方法，提高分析、解決問題能力.

　　3.培養學生良好思維品質（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）.

　　教學重點和難點

　　重點：復數減法法則.

　　難點：對復數減法幾何意義理解和應用.

　　教學過程設計

　　（一）引入新課

　　上節課我們學習了復數加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復數減法及其幾何意義.（板書課題：復數減法及其幾何意義）

　　（二）復數減法

　　復數減法是加法逆運算，那么復數減法法則為（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，

　　1.復數減法法則

　　（1）規定：復數減法是加法逆運算；

　　（2）法則：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（ ， ， ， ∈R）.

　　把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推導這個法則.

　　（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i.

　　推導的想法和依據把減法運算轉化為加法運算.

　　推導：設（ + i）-（ + i）= + i（ ， ∈R）.即復數 + i為復數 + i減去復數 + i的差.由規定，得（ + i）+（ + i）= + i，依據加法法則，得（ + ）+（ + ）i= + i，依據復數相等定義，得

　　故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i.這樣推導每一步都有合理依據.

　　我們得到了復數減法法則，兩個復數的差仍是復數.是唯一確定的復數.

　　復數的加（減）法與多項式加（減）法是類似的.就是把復數的實部與實部，虛部與虛部分別相加（減），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i.

　　（三）復數減法幾何意義

　　我們有了做復數減法的依據——復數減法法則，那么復數減法的幾何意義是什么？

　　設z= + i（ ， ∈R），z1= + i（ ， ∈R），對應向量分別為 ， 如圖

　　由于復數減法是加法的逆運算，設z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由復數加法幾何意義，以 為一條對角線， 1為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊 2所表示的向量OZ2就與復數z-z1的差（ - ）+（ - ）i對應，如圖.

　　在這個平行四邊形中與z-z1差對應的向量是只有向量 2嗎？ 

　　還有 . 因為OZ2 Z1Z，所以向量 ，也與z-z1差對應.向量 是以Z1為起點，Z為終點的向量.

　　能概括一下復數減法幾何意義是：兩個復數的差z-z1與連接這兩個向量終點并指向被減數的向量對應.

　　（四）應用舉例

　　在直角坐標系中標Z1（-2，5），連接OZ1，向量 1與多數z1對應，標點Z2（3，2），Z2關于x軸對稱點Z2（3，-2），向量 2與復數對應，連接，向量與的差對應（如圖）.

　　例2 根據復數的幾何意義及向量表示，求復平面內兩點間的距離公式.

　　解：設復平面內的任意兩點Z1，Z2分別表示復數z1，z2，那么Z1Z2就是復數對應的向量，點之間的距離就是向量的模，即復數z2-z1的模.如果用d表示點Z1，Z2之間的距離，那么d=|z2-z1|.

　　例3  在復平面內，滿足下列復數形式方程的動點Z的軌跡是什么.

　　（1）|z-1-i|=|z+2+i|；

　　方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復數Z與復數1+i差的模.

　　幾何意義是是動點Z與定點（1，1）間的距離.方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復數z與復數-2-i差的模，也就是動點Z與定點（-2，-1）間距離.這個方程表示的是到兩點（+1，1），（-2，-1）距離相等的點的軌跡方程，這個動點軌跡是以點（+1，1），（-2，-1）為端點的線段的垂直平分線.

　　（2）|z+i|+|z-i|=4；

　　方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個定點（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動點軌跡.滿足方程的動點軌跡是橢圓.

　　（3）|z+2|-|z-2|=1.

　　這個方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個定點（-2，0），（2，0）距離差等于1的點的軌跡，這個軌跡是雙曲線.是雙曲線右支.

　　由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復平面內兩點間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復數方程.使有些曲線方程形式變得更為簡捷.且反映曲線的本質特征.

　　例4  設動點Z與復數z= + i對應，定點P與復數p= + i對應.求

　　（1）復平面內圓的方程；

　　解：設定點P為圓心，r為半徑，如圖

　　由圓的定義，得復平面內圓的方程|z-p|=r.

　　（2）復平面內滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點Z的集合是什么圖形？

　　解：復平面內滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）.利用復平面內兩點間距離公式，可以用復數解決解析幾何中某些曲線方程.不等式等問題.

　　（五）小結

　　我們通過推導得到復數減法法則，并進一步得到了復數減法幾何意義，應用復數減法幾何意義和復平面內兩點間距離公式，可以用復數研究解析幾何問題，不等式以及最值問題.

　　（六）布置作業 P193習題二十七：2，3，8，9.

　　探究活動

　　復數等式的幾何意義

　　復數等式 在復平面上表示以 為圓心，以1為半徑的圓。請再舉三個復數等式并說明它們在復平面上的幾何意義。

　　分析與解

　　1.  復數等式 在復平面上表示線段 的中垂線。

　　2.  復數等式 在復平面上表示一個橢圓。

　　3.  復數等式 在復平面上表示一條線段。

　　4.  復數等式 在復平面上表示雙曲線的一支。

　　5.  復數等式 在復平面上表示原點為O、 構成一個矩形。

　　說明 復數與復平面上的點有一一對應的關系，如果我們對復數的代數形式工（幾何意義）之

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復數的加法與減法 篇3

　　教學目標

　　(1)把握復數加法與減法運算法則,能熟練地進行加、減法運算;

　　(2)理解并把握復數加法與減法的幾何意義,會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題;

　　(3)能初步運用復平面兩點間的距離公式解決有關問題;

　　(4)通過學習平行四邊形法則和三角形法,培養學生的數形結合的數學思想;

　　(5)通過本節內容的學習,培養學生良好思維品質(思維的嚴謹性,深刻性,靈活性等).

　　教學建議

　　一、知識結構

　　二、重點、難點分析

　　本節的重點是復數加法法則。難點是復數加減法的幾何意義。復數加法法則是教材首先規定的法則,它是復數加減法運算的基礎,對于這個規定的合理性,在教學過程中要加以重視。復數加減法的幾何意義的難點在于復數加減法轉化為向量加減法,以它為根據來解決某些平面圖形的問題,學生對這一點不輕易接受。

　　三、教學建議

　　(1)在復數的加法與減法中,重點是加法.教材首先規定了復數的加法法則.對于這個規定,應通過下面幾個方面,使學生逐步理解這個規定的合理性:①當 時,與實數加法法則一致;②驗證實數加法運算律在復數集中仍然成立;③符合向量加法的平行四邊形法則.

　　(2)復數加法的向量運算講解設 ,畫出向量 , 后,提問向量加法的平行四邊形法則,并讓學生自己畫出和向量(即合向量) ,畫出向量 后,問與它對應的復數是什么,即求點z的坐標or與rz(證法如教材所示).

　　(3)向學生介紹復數加法的三角形法則.講過復數加法可按向量加法的平行四邊形法則來進行后,可以指出向量加法還可按三角形法則來進行:如教材中圖8-5(2)所示,求 與 的和,可以看作是求 與 的和.這時先畫出第一個向量 ,再以 的終點為起點畫出第二個向量 ,那么,由第一個向量起點o指向第二個向量終點z的向量 ,就是這兩個向量的和向量.

　　(4)向學生指出復數加法的三角形法則的好處.向學生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的:例如講到當 與 在同一直線上時,求它們的和,用三角形法則來解釋,可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋輕易理解一些;講復數減法的幾何意義時,用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便.

　　(5)講解了教材例2后,應強調 (注重:這里 是起點, 是終點)就是同復數 - 對應的向量.點 , 之間的距離 就是向量 的模,也就是復數 - 的模,即 .

　　例如,起點對應復數-1、終點對應復數 的那個向量(如圖),可用 來表示.因而點 與 ( )點間的距離就是復數 的模,它等于 。

　　教學設計示例

　　復數的減法及其幾何意義

　　教學目標

　　1.理解并把握復數減法法則和它的幾何意義.

　　2.滲透轉化,數形結合等數學思想和方法,提高分析、解決問題能力.

　　3.培養學生良好思維品質(思維的嚴謹性,深刻性,靈活性等).

　　教學重點和難點

　　重點:復數減法法則.

　　難點:對復數減法幾何意義理解和應用.

　　教學過程設計

　　(一)引入新課

　　上節課我們學習了復數加法法則及其幾何意義,今天我們研究的課題是復數減法及其幾何意義.(板書課題:復數減法及其幾何意義)

　　(二)復數減法

　　復數減法是加法逆運算,那么復數減法法則為( i)( i)=( ) ( )i,

　　1.復數減法法則

　　(1)規定:復數減法是加法逆運算;

　　(2)法則:( i)( i)=( ) ( )i( , , , ∈r).

　　把( i)( i)看成( i) (1)( i)如何推導這個法則.

　　( i)( i)=( i) (1)( i)=( i) ( i)=( ) ( )i.

　　推導的想法和依據把減法運算轉化為加法運算.

　　推導:設( i)( i)= i( , ∈r).即復數 i為復數 i減去復數 i的差.由規定,得( i) ( i)= i,依據加法法則,得( ) ( )i= i,依據復數相等定義,得

　　故( i)( i)=( ) ( )i.這樣推導每一步都有合理依據.

　　我們得到了復數減法法則,兩個復數的差仍是復數.是唯一確定的復數.

　　復數的加(減)法與多項式加(減)法是類似的.就是把復數的實部與實部,虛部與虛部分別相加(減),即( i)±( i)=( ± ) ( ± )i.

　　(三)復數減法幾何意義

　　我們有了做復數減法的依據——復數減法法則,那么復數減法的幾何意義是什么?

　　設z= i( , ∈r),z1= i( , ∈r),對應向量分別為 , 如圖

　　由于復數減法是加法的逆運算,設z=( ) ( )i,所以zz1=z2,z2 z1=z,由復數加法幾何意義,以 為一條對角線, 1為一條邊畫平行四邊形,那么這個平行四邊形的另一邊 2所表示的向量oz2就與復數zz1的差( ) ( )i對應,如圖.

　　在這個平行四邊形中與zz1差對應的向量是只有向量 2嗎?

　　還有 . 因為oz2 z1z,所以向量 ,也與zz1差對應.向量 是以z1為起點,z為終點的向量.

　　能概括一下復數減法幾何意義是:兩個復數的差zz1與連接這兩個向量終點并指向被減數的向量對應.

　　(四)應用舉例

　　在直角坐標系中標z1(2,5),連接oz1,向量 1與多數z1對應,標點z2(3,2),z2關于x軸對稱點z2(3,2),向量 2與復數對應,連接,向量與的差對應(如圖).

　　例2根據復數的幾何意義及向量表示,求復平面內兩點間的距離公式.

　　解:設復平面內的任意兩點z1,z2分別表示復數z1,z2,那么z1z2就是復數對應的向量,點之間的距離就是向量的模,即復數z2z1的模.假如用d表示點z1,z2之間的距離,那么d=|z2z1|.

　　例3 在復平面內,滿足下列復數形式方程的動點z的軌跡是什么.

　　(1)|z1i|=|z 2 i|;

　　方程左式可以看成|z(1 i)|,是復數z與復數1 i差的模.

　　幾何意義是是動點z與定點(1,1)間的距離.方程右式也可以寫成|z(2i)|,是復數z與復數2i差的模,也就是動點z與定點(2,1)間距離.這個方程表示的是到兩點( 1,1),(2,1)距離相等的點的軌跡方程,這個動點軌跡是以點( 1,1),(2,1)為端點的線段的垂直平分線.

　　(2)|z i| |zi|=4;

　　方程可以看成|z(i)| |zi|=4,表示的是到兩個定點(0,1)和(0,1)距離和等于4的動點軌跡.滿足方程的動點軌跡是橢圓.

　　(3)|z 2||z2|=1.

　　這個方程可以寫成|z(2)||z2|=1,所以表示到兩個定點(2,0),(2,0)距離差等于1的點的軌跡,這個軌跡是雙曲線.是雙曲線右支.

　　由z1z2幾何意義,將z1z2取模得到復平面內兩點間距離公式d=|z1z2|,由此得到線段垂直平分線,橢圓、雙曲線等復數方程.使有些曲線方程形式變得更為簡捷.且反映曲線的本質特征.

　　例4 設動點z與復數z= i對應,定點p與復數p= i對應.求

　　(1)復平面內圓的方程;

　　解:設定點p為圓心,r為半徑,如圖

　　由圓的定義,得復平面內圓的方程|zp|=r.

　　(2)復平面內滿足不等式|zp|<r(r∈r )的點z的集合是什么圖形?

　　解:復平面內滿足不等式|zp|<r(r∈r )的點的集合是以p為圓心,r為半徑的圓面部分(不包括周界).利用復平面內兩點間距離公式,可以用復數解決解析幾何中某些曲線方程.不等式等問題.

　　(五)小結

　　我們通過推導得到復數減法法則,并進一步得到了復數減法幾何意義,應用復數減法幾何意義和復平面內兩點間距離公式,可以用復數研究解析幾何問題,不等式以及最值問題.

　　(六)布置作業p193習題二十七:2,3,8,9.

　　探究活動

　　復數等式的幾何意義

　　復數等式 在復平面上表示以 為圓心,以1為半徑的圓。請再舉三個復數等式并說明它們在復平面上的幾何意義。

　　分析與解

　　1. 復數等式 在復平面上表示線段 的中垂線。

　　2. 復數等式 在復平面上表示一個橢圓。

　　3. 復數等式 在復平面上表示一條線段。

　　4. 復數等式 在復平面上表示雙曲線的一支。

　　5. 復數等式 在復平面上表示原點為o、 構成一個矩形。

　　說明復數與復平面上的點有一一對應的關系,假如我們對復數的代數形式工(幾何意義)之間的關系比較熟悉的話,必然會強化對復數知識的把握。

復數的加法與減法 篇4

　　教學目標 

　　（1）掌握復數加法與減法運算法則，能熟練地進行加、減法運算；

　　（2）理解并掌握復數加法與減法的幾何意義，會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題；

　　（3）能初步運用復平面兩點間的距離公式解決有關問題；

　　（4）通過學習平行四邊形法則和三角形法，培養學生的數形結合的數學思想；

　　（5）通過本節內容的學習，培養學生良好思維品質（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）.

　　教學建議

　　一、知識結構

　　二、重點、難點分析

　　本節的重點是復數加法法則。難點是復數加減法的幾何意義。復數加法法則是教材首先規定的法則，它是復數加減法運算的基礎，對于這個規定的合理性，在教學過程 中要加以重視。復數加減法的幾何意義的難點在于復數加減法轉化為向量加減法，以它為根據來解決某些平面圖形的問題，學生對這一點不容易接受。

　　三、教學建議

　　（1）在中，重點是加法.教材首先規定了復數的加法法則.對于這個規定，應通過下面幾個方面，使學生逐步理解這個規定的合理性：①當 時，與實數加法法則一致；②驗證實數加法運算律在復數集中仍然成立；③符合向量加法的平行四邊形法則.

　　（2）復數加法的向量運算講解設 ，畫出向量 ， 后，提問向量加法的平行四邊形法則，并讓學生自己畫出和向量（即合向量） ，畫出向量 后，問與它對應的復數是什么，即求點Z的坐標OR與RZ（證法如教材所示）.

　　（3）向學生介紹復數加法的三角形法則.講過復數加法可按向量加法的平行四邊形法則來進行后，可以指出向量加法還可按三角形法則來進行：如教材中圖8－5（2）所示，求 與 的和，可以看作是求 與 的和.這時先畫出第一個向量 ，再以 的終點為起點畫出第二個向量 ，那么，由第一個向量起點O指向第二個向量終點Z的向量 ，就是這兩個向量的和向量.

　　（4）向學生指出復數加法的三角形法則的好處.向學生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的：例如講到當 與 在同一直線上時，求它們的和，用三角形法則來解釋，可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋容易理解一些；講復數減法的幾何意義時，用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便.

　　（5）講解了教材例2后，應強調 （注意：這里 是起點， 是終點）就是同復數 － 對應的向量.點 ， 之間的距離 就是向量 的模，也就是復數 － 的模，即 .

　　例如，起點對應復數－1、終點對應復數 的那個向量（如圖），可用 來表示.因而點 與 （ ）點間的距離就是復數     的模，它等于 。

　　教學設計示例

　　復數的減法及其幾何意義

　　教學目標 

　　1.理解并掌握復數減法法則和它的幾何意義.

　　2.滲透轉化，數形結合等數學思想和方法，提高分析、解決問題能力.

　　3.培養學生良好思維品質（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）.

　　教學重點和難點

　　重點：復數減法法則.

　　難點：對復數減法幾何意義理解和應用.

　　教學過程 設計

　　（一）引入新課

　　上節課我們學習了復數加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復數減法及其幾何意義.（板書課題：復數減法及其幾何意義）

　　（二）復數減法

　　復數減法是加法逆運算，那么復數減法法則為（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，

　　1.復數減法法則

　　（1）規定：復數減法是加法逆運算；

　　（2）法則：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（ ， ， ， ∈R）.

　　把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推導這個法則.

　　（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i.

　　推導的想法和依據把減法運算轉化為加法運算.

　　推導：設（ + i）-（ + i）= + i（ ， ∈R）.即復數 + i為復數 + i減去復數 + i的差.由規定，得（ + i）+（ + i）= + i，依據加法法則，得（ + ）+（ + ）i= + i，依據復數相等定義，得

　　故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i.這樣推導每一步都有合理依據.

　　我們得到了復數減法法則，兩個復數的差仍是復數.是唯一確定的復數.

　　復數的加（減）法與多項式加（減）法是類似的.就是把復數的實部與實部，虛部與虛部分別相加（減），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i.

　　（三）復數減法幾何意義

　　我們有了做復數減法的依據——復數減法法則，那么復數減法的幾何意義是什么？

　　設z= + i（ ， ∈R），z1= + i（ ， ∈R），對應向量分別為 ， 如圖

　　由于復數減法是加法的逆運算，設z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由復數加法幾何意義，以 為一條對角線， 1為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊 2所表示的向量OZ2就與復數z-z1的差（ - ）+（ - ）i對應，如圖.

　　在這個平行四邊形中與z-z1差對應的向量是只有向量 2嗎？ 

　　還有 . 因為OZ2 Z1Z，所以向量 ，也與z-z1差對應.向量 是以Z1為起點，Z為終點的向量.

　　能概括一下復數減法幾何意義是：兩個復數的差z-z1與連接這兩個向量終點并指向被減數的向量對應.

　　（四）應用舉例

　　在直角坐標系中標Z1（-2，5），連接OZ1，向量 1與多數z1對應，標點Z2（3，2），Z2關于x軸對稱點Z2（3，-2），向量 2與復數對應，連接，向量與的差對應（如圖）.

　　例2 根據復數的幾何意義及向量表示，求復平面內兩點間的距離公式.

　　解：設復平面內的任意兩點Z1，Z2分別表示復數z1，z2，那么Z1Z2就是復數對應的向量，點之間的距離就是向量的模，即復數z2-z1的模.如果用d表示點Z1，Z2之間的距離，那么d=|z2-z1|.

　　例3  在復平面內，滿足下列復數形式方程的動點Z的軌跡是什么.

　　（1）|z-1-i|=|z+2+i|；

　　方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復數Z與復數1+i差的模.

　　幾何意義是是動點Z與定點（1，1）間的距離.方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復數z與復數-2-i差的模，也就是動點Z與定點（-2，-1）間距離.這個方程表示的是到兩點（+1，1），（-2，-1）距離相等的點的軌跡方程，這個動點軌跡是以點（+1，1），（-2，-1）為端點的線段的垂直平分線.

　　（2）|z+i|+|z-i|=4；

　　方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個定點（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動點軌跡.滿足方程的動點軌跡是橢圓.

　　（3）|z+2|-|z-2|=1.

　　這個方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個定點（-2，0），（2，0）距離差等于1的點的軌跡，這個軌跡是雙曲線.是雙曲線右支.

　　由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復平面內兩點間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復數方程.使有些曲線方程形式變得更為簡捷.且反映曲線的本質特征.

　　例4  設動點Z與復數z= + i對應，定點P與復數p= + i對應.求

　　（1）復平面內圓的方程；

　　解：設定點P為圓心，r為半徑，如圖

　　由圓的定義，得復平面內圓的方程|z-p|=r.

　　（2）復平面內滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點Z的集合是什么圖形？

　　解：復平面內滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）.利用復平面內兩點間距離公式，可以用復數解決解析幾何中某些曲線方程.不等式等問題.

　　（五）小結

　　我們通過推導得到復數減法法則，并進一步得到了復數減法幾何意義，應用復數減法幾何意義和復平面內兩點間距離公式，可以用復數研究解析幾何問題，不等式以及最值問題.

　　（六）布置作業 P193習題二十七：2，3，8，9.

　　探究活動

　　復數等式的幾何意義

　　復數等式 在復平面上表示以 為圓心，以1為半徑的圓。請再舉三個復數等式并說明它們在復平面上的幾何意義。

　　分析與解

　　1.  復數等式 在復平面上表示線段 的中垂線。

　　2.  復數等式 在復平面上表示一個橢圓。

　　3.  復數等式 在復平面上表示一條線段。

　　4.  復數等式 在復平面上表示雙曲線的一支。

　　5.  復數等式 在復平面上表示原點為O、 構成一個矩形。

　　說明 復數與復平面上的點有一一對應的關系，如果我們對復數的代數形式工（幾何意義）之

　　間的關系比較熟悉的話，必然會強化對復數知識的掌握。

復數的加法與減法 篇5

　　教學目標 

　　（1）掌握復數加法與減法運算法則，能熟練地進行加、減法運算；

　　（2）理解并掌握復數加法與減法的幾何意義，會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題；

　　（3）能初步運用復平面兩點間的距離公式解決有關問題；

　　（4）通過學習平行四邊形法則和三角形法，培養學生的數形結合的數學思想；

　　（5）通過本節內容的學習，培養學生良好思維品質（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）.

　　教學建議

　　一、知識結構

　　二、重點、難點分析

　　本節的重點是復數加法法則。難點是復數加減法的幾何意義。復數加法法則是教材首先規定的法則，它是復數加減法運算的基礎，對于這個規定的合理性，在教學過程 中要加以重視。復數加減法的幾何意義的難點在于復數加減法轉化為向量加減法，以它為根據來解決某些平面圖形的問題，學生對這一點不容易接受。

　　三、教學建議

　　（1）在中，重點是加法.教材首先規定了復數的加法法則.對于這個規定，應通過下面幾個方面，使學生逐步理解這個規定的合理性：①當 時，與實數加法法則一致；②驗證實數加法運算律在復數集中仍然成立；③符合向量加法的平行四邊形法則.

　　（2）復數加法的向量運算講解設 ，畫出向量 ， 后，提問向量加法的平行四邊形法則，并讓學生自己畫出和向量（即合向量） ，畫出向量 后，問與它對應的復數是什么，即求點Z的坐標OR與RZ（證法如教材所示）.

　　（3）向學生介紹復數加法的三角形法則.講過復數加法可按向量加法的平行四邊形法則來進行后，可以指出向量加法還可按三角形法則來進行：如教材中圖8－5（2）所示，求 與 的和，可以看作是求 與 的和.這時先畫出第一個向量 ，再以 的終點為起點畫出第二個向量 ，那么，由第一個向量起點O指向第二個向量終點Z的向量 ，就是這兩個向量的和向量.

　　（4）向學生指出復數加法的三角形法則的好處.向學生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的：例如講到當 與 在同一直線上時，求它們的和，用三角形法則來解釋，可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋容易理解一些；講復數減法的幾何意義時，用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便.

　　（5）講解了教材例2后，應強調 （注意：這里 是起點， 是終點）就是同復數 － 對應的向量.點 ， 之間的距離 就是向量 的模，也就是復數 － 的模，即 .

　　例如，起點對應復數－1、終點對應復數 的那個向量（如圖），可用 來表示.因而點 與 （ ）點間的距離就是復數     的模，它等于 。

　　教學設計示例

　　復數的減法及其幾何意義

　　教學目標 

　　1.理解并掌握復數減法法則和它的幾何意義.

　　2.滲透轉化，數形結合等數學思想和方法，提高分析、解決問題能力.

　　3.培養學生良好思維品質（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）.

　　教學重點和難點

　　重點：復數減法法則.

　　難點：對復數減法幾何意義理解和應用.

　　教學過程 設計

　　（一）引入新課

　　上節課我們學習了復數加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復數減法及其幾何意義.（板書課題：復數減法及其幾何意義）

　　（二）復數減法

　　復數減法是加法逆運算，那么復數減法法則為（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，

　　1.復數減法法則

　　（1）規定：復數減法是加法逆運算；

　　（2）法則：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（ ， ， ， ∈R）.

　　把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推導這個法則.

　　（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i.

　　推導的想法和依據把減法運算轉化為加法運算.

　　推導：設（ + i）-（ + i）= + i（ ， ∈R）.即復數 + i為復數 + i減去復數 + i的差.由規定，得（ + i）+（ + i）= + i，依據加法法則，得（ + ）+（ + ）i= + i，依據復數相等定義，得

　　故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i.這樣推導每一步都有合理依據.

　　我們得到了復數減法法則，兩個復數的差仍是復數.是唯一確定的復數.

　　復數的加（減）法與多項式加（減）法是類似的.就是把復數的實部與實部，虛部與虛部分別相加（減），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i.

　　（三）復數減法幾何意義

　　我們有了做復數減法的依據——復數減法法則，那么復數減法的幾何意義是什么？

　　設z= + i（ ， ∈R），z1= + i（ ， ∈R），對應向量分別為 ， 如圖

　　由于復數減法是加法的逆運算，設z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z1=z2，z2+z1=z，由復數加法幾何意義，以 為一條對角線， 1為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊 2所表示的向量OZ2就與復數z-z1的差（ - ）+（ - ）i對應，如圖.

　　在這個平行四邊形中與z-z1差對應的向量是只有向量 2嗎？ 

　　還有 . 因為OZ2 Z1Z，所以向量 ，也與z-z1差對應.向量 是以Z1為起點，Z為終點的向量.

　　能概括一下復數減法幾何意義是：兩個復數的差z-z1與連接這兩個向量終點并指向被減數的向量對應.

　　（四）應用舉例

　　在直角坐標系中標Z1（-2，5），連接OZ1，向量 1與多數z1對應，標點Z2（3，2），Z2關于x軸對稱點Z2（3，-2），向量 2與復數對應，連接，向量與的差對應（如圖）.

　　例2 根據復數的幾何意義及向量表示，求復平面內兩點間的距離公式.

　　解：設復平面內的任意兩點Z1，Z2分別表示復數z1，z2，那么Z1Z2就是復數對應的向量，點之間的距離就是向量的模，即復數z2-z1的模.如果用d表示點Z1，Z2之間的距離，那么d=|z2-z1|.

　　例3  在復平面內，滿足下列復數形式方程的動點Z的軌跡是什么.

　　（1）|z-1-i|=|z+2+i|；

　　方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復數Z與復數1+i差的模.

　　幾何意義是是動點Z與定點（1，1）間的距離.方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復數z與復數-2-i差的模，也就是動點Z與定點（-2，-1）間距離.這個方程表示的是到兩點（+1，1），（-2，-1）距離相等的點的軌跡方程，這個動點軌跡是以點（+1，1），（-2，-1）為端點的線段的垂直平分線.

　　（2）|z+i|+|z-i|=4；

　　方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個定點（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動點軌跡.滿足方程的動點軌跡是橢圓.

　　（3）|z+2|-|z-2|=1.

　　這個方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個定點（-2，0），（2，0）距離差等于1的點的軌跡，這個軌跡是雙曲線.是雙曲線右支.

　　由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復平面內兩點間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復數方程.使有些曲線方程形式變得更為簡捷.且反映曲線的本質特征.

　　例4  設動點Z與復數z= + i對應，定點P與復數p= + i對應.求

　　（1）復平面內圓的方程；

　　解：設定點P為圓心，r為半徑，如圖

　　由圓的定義，得復平面內圓的方程|z-p|=r.

　　（2）復平面內滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點Z的集合是什么圖形？

　　解：復平面內滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）.利用復平面內兩點間距離公式，可以用復數解決解析幾何中某些曲線方程.不等式等問題.

　　（五）小結

　　我們通過推導得到復數減法法則，并進一步得到了復數減法幾何意義，應用復數減法幾何意義和復平面內兩點間距離公式，可以用復數研究解析幾何問題，不等式以及最值問題.

　　（六）布置作業 P193習題二十七：2，3，8，9.

　　探究活動

　　復數等式的幾何意義

　　復數等式 在復平面上表示以 為圓心，以1為半徑的圓。請再舉三個復數等式并說明它們在復平面上的幾何意義。

　　分析與解

　　1.  復數等式 在復平面上表示線段 的中垂線。

　　2.  復數等式 在復平面上表示一個橢圓。

　　3.  復數等式 在復平面上表示一條線段。

　　4.  復數等式 在復平面上表示雙曲線的一支。

　　5.  復數等式 在復平面上表示原點為O、 構成一個矩形。

　　說明 復數與復平面上的點有一一對應的關系，如果我們對復數的代數形式工（幾何意義）之

　　間的關系比較熟悉的話，必然會強化對復數知識的掌握。

復數的加法與減法 篇6

　　教學目標

　　(1)掌握復數加法與減法運算法則,能熟練地進行加、減法運算;

　　(2)理解并掌握復數加法與減法的幾何意義,會用平行四邊形法則和三角形法則解決一些簡單的問題;

　　(3)能初步運用復平面兩點間的距離公式解決有關問題;

　　(4)通過學習平行四邊形法則和三角形法,培養學生的數形結合的數學思想;

　　(5)通過本節內容的學習,培養學生良好思維品質(思維的嚴謹性,深刻性,靈活性等).

　　教學建議

　　一、知識結構

　　二、重點、難點分析

　　本節的重點是復數加法法則。難點是復數加減法的幾何意義。復數加法法則是教材首先規定的法則,它是復數加減法運算的基礎,對于這個規定的合理性,在教學過程中要加以重視。復數加減法的幾何意義的難點在于復數加減法轉化為向量加減法,以它為根據來解決某些平面圖形的問題,學生對這一點不容易接受。

　　三、教學建議

　　(1)在復數的加法與減法中,重點是加法.教材首先規定了復數的加法法則.對于這個規定,應通過下面幾個方面,使學生逐步理解這個規定的合理性:①當 時,與實數加法法則一致;②驗證實數加法運算律在復數集中仍然成立;③符合向量加法的平行四邊形法則.

　　(2)復數加法的向量運算講解設 ,畫出向量 , 后,提問向量加法的平行四邊形法則,并讓學生自己畫出和向量(即合向量) ,畫出向量 后,問與它對應的復數是什么,即求點z的坐標or與rz(證法如教材所示).

　　(3)向學生介紹復數加法的三角形法則.講過復數加法可按向量加法的平行四邊形法則來進行后,可以指出向量加法還可按三角形法則來進行:如教材中圖8-5(2)所示,求 與 的和,可以看作是求 與 的和.這時先畫出第一個向量 ,再以 的終點為起點畫出第二個向量 ,那么,由第一個向量起點o指向第二個向量終點z的向量 ,就是這兩個向量的和向量.

　　(4)向學生指出復數加法的三角形法則的好處.向學生介紹一下向量加法的三角形法則是有好處的:例如講到當 與 在同一直線上時,求它們的和,用三角形法則來解釋,可能比“畫一個壓扁的平行四邊形”來解釋容易理解一些;講復數減法的幾何意義時,用三角形法則也較平行四邊形法則更為方便.

　　(5)講解了教材例2后,應強調 (注意:這里 是起點, 是終點)就是同復數 - 對應的向量.點 , 之間的距離 就是向量 的模,也就是復數 - 的模,即 .

　　例如,起點對應復數-1、終點對應復數 的那個向量(如圖),可用 來表示.因而點 與 ( )點間的距離就是復數     的模,它等于 。

　　教學設計示例

　　復數的減法及其幾何意義

　　教學目標

　　1.理解并掌握復數減法法則和它的幾何意義.

　　2.滲透轉化,數形結合等數學思想和方法,提高分析、解決問題能力.

　　3.培養學生良好思維品質(思維的嚴謹性,深刻性,靈活性等).

　　教學重點和難點

　　重點:復數減法法則.

　　難點:對復數減法幾何意義理解和應用.

　　教學過程設計

　　(一)引入新課

　　上節課我們學習了復數加法法則及其幾何意義,今天我們研究的課題是復數減法及其幾何意義.(板書課題:復數減法及其幾何意義)

　　(二)復數減法

　　復數減法是加法逆運算,那么復數減法法則為( + i)-( + i)=( - )+( - )i,

　　1.復數減法法則

　　(1)規定:復數減法是加法逆運算;

　　(2)法則:( + i)-( + i)=( - )+( - )i( , , , ∈r).

　　把( + i)-( + i)看成( + i)+(-1)( + i)如何推導這個法則.

　　( + i)-( + i)=( + i)+(-1)( + i)=( + i)+(- - i)=( - )+( - )i.

　　推導的想法和依據把減法運算轉化為加法運算.

　　推導:設( + i)-( + i)= + i( , ∈r).即復數 + i為復數 + i減去復數 + i的差.由規定,得( + i)+( + i)= + i,依據加法法則,得( + )+( + )i= + i,依據復數相等定義,得

　　故( + i)-( + i)=( - )+( - )i.這樣推導每一步都有合理依據.

　　我們得到了復數減法法則,兩個復數的差仍是復數.是唯一確定的復數.

　　復數的加(減)法與多項式加(減)法是類似的.就是把復數的實部與實部,虛部與虛部分別相加(減),即( + i)±( + i)=( ± )+( ± )i.

　　(三)復數減法幾何意義

　　我們有了做復數減法的依據——復數減法法則,那么復數減法的幾何意義是什么?

　　設z= + i( , ∈r),z1= + i( , ∈r),對應向量分別為 , 如圖

　　由于復數減法是加法的逆運算,設z=( - )+( - )i,所以z-z1=z2,z2+z1=z,由復數加法幾何意義,以 為一條對角線, 1為一條邊畫平行四邊形,那么這個平行四邊形的另一邊 2所表示的向量oz2就與復數z-z1的差( - )+( - )i對應,如圖.

　　在這個平行四邊形中與z-z1差對應的向量是只有向量 2嗎? 

　　還有 . 因為oz2 z1z,所以向量 ,也與z-z1差對應.向量 是以z1為起點,z為終點的向量.

　　能概括一下復數減法幾何意義是:兩個復數的差z-z1與連接這兩個向量終點并指向被減數的向量對應.

　　(四)應用舉例

　　在直角坐標系中標z1(-2,5),連接oz1,向量 1與多數z1對應,標點z2(3,2),z2關于x軸對稱點z2(3,-2),向量 2與復數對應,連接,向量與的差對應(如圖).

　　例2 根據復數的幾何意義及向量表示,求復平面內兩點間的距離公式.

　　解:設復平面內的任意兩點z1,z2分別表示復數z1,z2,那么z1z2就是復數對應的向量,點之間的距離就是向量的模,即復數z2-z1的模.如果用d表示點z1,z2之間的距離,那么d=|z2-z1|.

　　例3  在復平面內,滿足下列復數形式方程的動點z的軌跡是什么.

　　(1)|z-1-i|=|z+2+i|;

　　方程左

　　可以看成|z-(1+i)|,是復數z與復數1+i差的模.

　　幾何意義是是動點z與定點(1,1)間的距離.方程右式也可以寫成|z-(-2-i)|,是復數z與復數-2-i差的模,也就是動點z與定點(-2,-1)間距離.這個方程表示的是到兩點(+1,1),(-2,-1)距離相等的點的軌跡方程,這個動點軌跡是以點(+1,1),(-2,-1)為端點的線段的垂直平分線.

　　(2)|z+i|+|z-i|=4;

　　方程可以看成|z-(-i)|+|z-i|=4,表示的是到兩個定點(0,-1)和(0,1)距離和等于4的動點軌跡.滿足方程的動點軌跡是橢圓.

　　(3)|z+2|-|z-2|=1.

　　這個方程可以寫成|z-(-2)|-|z-2|=1,所以表示到兩個定點(-2,0),(2,0)距離差等于1的點的軌跡,這個軌跡是雙曲線.是雙曲線右支.

　　由z1-z2幾何意義,將z1-z2取模得到復平面內兩點間距離公式d=|z1-z2|,由此得到線段垂直平分線,橢圓、雙曲線等復數方程.使有些曲線方程形式變得更為簡捷.且反映曲線的本質特征.

　　例4  設動點z與復數z= + i對應,定點p與復數p= + i對應.求

　　(1)復平面內圓的方程;

　　解:設定點p為圓心,r為半徑,如圖

　　由圓的定義,得復平面內圓的方程|z-p|=r.

　　(2)復平面內滿足不等式|z-p|<r(r∈r+)的點z的集合是什么圖形?

　　解:復平面內滿足不等式|z-p|<r(r∈r+)的點的集合是以p為圓心,r為半徑的圓面部分(不包括周界).利用復平面內兩點間距離公式,可以用復數解決解析幾何中某些曲線方程.不等式等問題.

　　(五)小結

　　我們通過推導得到復數減法法則,并進一步得到了復數減法幾何意義,應用復數減法幾何意義和復平面內兩點間距離公式,可以用復數研究解析幾何問題,不等式以及最值問題.

　　(六)布置作業p193習題二十七:2,3,8,9.

　　探究活動

　　復數等式的幾何意義

　　復數等式 在復平面上表示以 為圓心,以1為半徑的圓。請再舉三個復數等式并說明它們在復平面上的幾何意義。

　　分析與解

　　1.  復數等式 在復平面上表示線段 的中垂線。

　　2.  復數等式 在復平面上表示一個橢圓。

　　3.  復數等式 在復平面上表示一條線段。

　　4.  復數等式 在復平面上表示雙曲線的一支。

　　5.  復數等式 在復平面上表示原點為o、 構成一個矩形。

　　說明 復數與復平面上的點有一一對應的關系,如果我們對復數的代數形式工(幾何意義)之

　　間的關系比較熟悉的話,必然會強化對復數知識的掌握。

　　復數的加法與減法