下學期 5.3實數與向量的積2

（第二課時）

一.教學目標 

1.了解平面向量基本定理的證明.掌握平面向量基本定理及其應用；

2.能夠在解題中適當地選擇基底，使其它向量能夠用選取的基底表示.

二.教學重點：平面向量基本定理

教學難點 ：理解平面向量基本定理.

三.教學具準備

直尺、投影儀.

四.教學過程 

1.設置情境

上節課我們學習了共線向量的基本定理，通過它們判定兩個向量是否平行，而且共線向量可由該集合中的任一非零向量表示出來.這個非零向量叫基向量.那么平面上的任一向量是否也具有類似屬性呢？如果是這樣的話，對平面上任一向量的研究就可以化歸為對基向量的研究了.

2.探索研究

師：向量 與非零向量 共線的充要條件是什么？

生：有且僅有一個實數 ，使得

師：如何作出向量 ？

生：在平面上任取一點 ，作 ， ，則

師：對！我們知道向量 是向量 與 的合成， 、 也可以看做是由向量 的分解，是不是每一個向量都可以分解兩個不共線的向量呢？

平面向量基本定理：如果 、 是同一平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數 ， 使

我們把不共線的向量 、 叫做表示這一平面內所有向量的一組基底.

說明：①實數 ， 的確定是由平面幾何作圖得到的，同時也應用了上節課的共線向量基本定理.

②對該定理重在使用.

下面看例題

【例1】已知向量 、 ，求作 .

【例2】如圖所示， 的兩條對角線相交于點 ，且 ， ，用 、 表示 、 、 和 ？

解：在 中

∵

∴

說明：①這些表示方法很常用，要熟記

②用向量法討論幾何問題，關鍵是選取適當的基向量表示其他向量，本題的基底就是 、 ，由它可以“生”成 ， ，…….

【例3】如圖所示，已知 的兩條對角線 與 交于 ， 是任意一點，求證

證明：∵ 是對角線 和 的交點

∴ ， .在△ 中，

同理：

相加可得：

注：本題也可以取基本向量 ， ， ， ，利用三角形中線公式（向量），得 兩種表示方式：

①

②

①＋②得 證畢.

【例4】如圖所示 、 不共線， （ ），用 ， 表示 .

解   ∵

∴

說明：①本題是個重要題型：設 為平面上任一點.

則： 、 、 三點共線

或令 ， 則 、 、 三點共線 （其中 ）

②當 時， 常稱為△ 的中線公式（向量式）.

3.演練反饋

（1）命題 ：向量 與 共線；命題 ：有且只有一個實數 ，使 ；則 是 的（      ）

A.充分不必要條件               B.必要不充分條件

C.充要條件                     D.不充分不必要條件

（2）已知 和 不共線，若 與 共線，則實數 的值等于____________.

（3）如圖△ 中，點 是 的中點，點 在邊 上，且 ， 與 相交于點 ，求 的值.

參考答案：

（1）B （2）

（3）解：（如圖）設 ， ，則 ，

，∵ 、 、 和 、 、 分別共線，∴存在 、 ，使 ， .

故 ，而 .

∴由基本定理得 ∴ ∴ ，即

4.總結提煉

（1）當平面內取定一組基底 ， 后，任一向量 都被 、 惟一確定，其含義是存在惟一這數對 ，使 ，則必有 且 .

（2）三點 、 、 共線 （其中 且 ）

五.板書設計