下學期 5.4 平面向量的坐標運算1

（第一課時）

一.教學目標 

1.理解平面向量的坐標的概念，會寫出給定向量的坐標，會作出已知坐標表示的向量；

2.掌握平面向量的坐標運算，能準確表述向量的加法、減法、實數與向量的積的坐標運算法則，并能進行相關運算，進一步培養學生的運算能力；

3.通過學習向量的坐標表示，使學生進一步了解數形結合思想，認識事物之間的相互聯系，培養學生辯證思維能力.

二.教學重點  理解平面向量的坐標表示，平面向量的坐標運算.

教學難點   對平面向量坐標表示的理解.

三.教學具準備

直尺、投影儀

四.教學過程 

1.設置情境

師：平面內有點 ，點 ，能否用坐標來表示向量 呢？這就是我們今天要學習的平面向量的坐標運算.

（板書課題）平面向量的坐標運算

2.探索研究

（1）師：平面向量的基本定理的內容是什么？什么叫平面向量的基底？

生：如果 、 是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數 、 ，使

我們把不共線的向全 、 叫做這一平面內所有向量的一組基底，這就是平面向全的基本定理.

師：如果在直角坐標系下，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數x，y使得

我們就把（x，y）叫做向量a的（直角）坐標，記作；

這就叫做向量的坐標表示

顯然i＝（1，0）  j＝（0，1）  0＝（0，0）

 如圖（1）所示，以原點O為起點與向量a相等的向量 ，則A點的坐標就是向量a的坐標，反之設 ，則點A的坐標（x，y）也就是向量 的坐標.

問題： 1°已知 (x₁, y₁)   (x₂, y₂)   求 + ， - 的坐標

2°已知 (x, y)和實數λ,   求λ 的坐標

解： + =(x₁ +y₁ )+( x₂ +y₂ )=(x₁+ x₂) + (y₁+y₂)

即： + =(x₁+ x₂,  y₁+y₂) 同理： - =(x₁- x₂,  y₁-y₂)

結論：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差。

同理可得：一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段終點的坐標減去始點的坐標。

用減法法則：   

∵ = - =( x₂, y₂) - (x₁,  y₁)

=(x₂- x₁, y₂- y₁)

實數與向量積的坐標運算：已知 =(x, y)   實數λ

則λ =λ(x +y )=λx +λy

∴λ =(λx, λy)

結論：實數與向量的積的坐標，等于用這個實數乘原來的向量相應的坐標。

師：如果兩個向量相等，那么這兩個向量的坐標需滿足什么條件呢？是充要條件嗎？

生：a=b .

（2）例題分析

【例1】  如圖所示，用基底i、j分別表示向量a、b、c、d并求出它們的坐標。

解：

師：平面向量可以用坐標表示，向量的運算可以用坐標來運算嗎？如何計算？

（1）已知 ，求 、 。

（2）已知 和實數 ，求 的坐標（由學生完成）。

解：（1）

∴

（2）

∴

師：通過以上計算，你能得出向量運算的加法法則、減法法則和實數與向量的乘積的運算法則嗎？

生：兩個向量的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應的坐標的和與差，實數與向量的積的坐標等于這個實數乘以原來向量的相應坐標。

【例2】  已知 ，求 ， ， 的坐標。

解：

【例3】  已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求頂點D的坐標。

解：設頂點D的坐標為

由   得

由

∴頂點D的坐標為（2，2）

3.演練反饋。（投影儀）

（1）已知三個力 的合力 ，求 的坐標。

（2）已知向量 ，則 等于（   ）

A. B.

C. D.

（3）已知點O（0，0），A（1，2），B（4，5）及 ，求

①t為何值時，點P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？

②四邊形OABP能成為平行四邊形嗎？若能，求出相應的t值，若不能，請說明理由。

參考答案：

（1）

∴

（2）B.

（3）① ，若P在x軸上，只需 ；若P在y軸上，只需 ∴ ；若P在第二象限，則需 解得 。

②

若OABP為平行四邊形，需

于是 無解。故四邊形OABP不能成為平行四邊形。

4.總結提煉

（1）引進向量的坐標后，向量的基本運算轉化為實數的基本運算，可以解方程，可以解不等式，總之問題轉化為我們熟知的領域之中。

（2）要把點坐標 與向量坐標區分開來，兩者不是一個概念。

五.板書設計