下學期 5.5 線段的定比分點
一.教學目標
1.理解點P分有向線段所成的比λ的含義，能確定λ的正負號；
2.掌握有向線段的定比分點和中點的坐標公式，并能熟練運用這兩個公式解決實際問題；
3.向學生滲透數形結合的思想，培養學生的思維能力，發現事物間的變化規律.
二.教學重點 線段的定比分點和終點的坐標公式的應用.
教學難點 用線段的定比分點坐標公式解題時區分λ＞0還時λ＜0.
三.教學具準備
投影儀，直尺.
四.教學過程
1.設置情境
已知線段 的兩個端點 、 ， 為線段 所在直線上任一點，由共線向量知識，必有 .我們能否解決這樣的問題，（1）已知 及 、 ，求P點坐標 ；（2）已知 、 及 ，求 值.
本節課就來討論上述兩個問題，（板書課題——線段的定比分點）
2.探索研究
（1）師：請同學們回憶敘述向量的加、減、實數與向量的積的坐標運算法則.
生：兩個向量的和（差）的坐標，等于這兩個向量的相應的坐標的和（差）；實數與向量的積的坐標，等于這個實數與這個向量的相應坐標的積.
師：已知直線l上兩點 、 ，在直線l上取不同于 、 的任一點P，則P點的位置有哪幾種情形？
生：有三種情形，P在 之間；P在 的延長線上，P在 的延長線上.
師：請得很好，下面我們就P在直線 上的三種情況給出定義：
設 、 是直線l上的兩點，點P是l上不同于 、 的任意一點，若存在一個實數 使 ，則 叫做點P分有向線段 所成的比.
你能根據P點的三種不同的位置和實數與向量的積的向量方向確定 的取值范圍嗎？（啟發學生從向量的方向上考慮）
生：當P在 之間時， 與 方向相同，所以 ；當點P在 的延長線上時， ；若點P在 的延長線上時，同理可得 .
下面我們利用平面向量的坐標運算推導定比分點坐標公式
師：設 ， ，P分 所成的比為 ，如何求P點的坐標呢？
（按以下思路引導學生進行思考）
師：設 ，你能用坐標表示等式 嗎？
生：
師：由兩個向量相等的條件，可以得出什么結論呢？
生：
師：對！這就是線段 的定比分點P的坐標公式，特別地，當 時，得中點P的坐標公式：
（2）例題分析
【例1】 已知兩點 ， ，求點 分 所成的比 及y的值.
解：由線段的定比分點坐標公式得
【例2】 如圖所示， 的三個頂點的坐標分別為 ， ， ，D是邊AB的中點，G是CD上的一點，且 ，求點G的坐標.
解：∵D是AB的中點
∴點D的坐標為
∵
∴
由定比分點坐標公式可得G點坐標為：
即點G的坐標為 ，也就是 的重心的坐標公式.
3.演練反饋（投影）
（1）如圖所示，點B分有向線段 的比為 ，點C分有向線段 的比為 ，點A分有向線段 的比為 .
（2）連結A（4，1）和B（－2，4）兩點的直線，和x軸交點的坐標是 ，和y軸交點的坐標是 .
（3）如圖所示， 中，AB的中點是D（－2，1），AC的中點是E（2，3），重心是G（0，1），求A、B、C的坐標.
參考答案：（1） ；（2）（6，0）、（0，3）；（3）用三角形基法作圖得：A（0，5），B（－4，－3），C（4，1）
4.總結提煉
（1）定比分點的幾種表達方式：
……向量式
……坐標式
……公式形式
（2）中點公式，重心公式要熟記.
（3）定比分點公式也是判定或證明兩向量是否共線、平行的有效方法.
五.板書設計
1.定比分點的定義 （1）內分點 3.例1 （2）外分點 a. b. 2.分點坐標公式 4.演練反饋 a. 5.總結提煉 b. |