下學期 5.6平面向量的數量積及運算律1

（第一課時）

一、教學目標 

1.正確理解平面向量的數量積的概念，能夠運用這一概念求兩個向量的數量積，并能根據條件逆用等式求向量的夾角；

2.掌握平面向量的數量積的重要性質，并能運用這些性質解決有關問題；

3.通過平面向量的數量積的重要性質猜想與證明，培養學生的探索精神和嚴謹的科學態度以及實際動手能力；

4.通過平面向量的數量積的概念，幾何意義，性質的應用，培養學生的應用意識.

二、教學重點  平面向量的數量積概念、性質及其應用

教學難點   平面向量的數量積的概念，平面向量的數量積的重要性質的理解.

三、教學具準備

直尺，投影儀

四、教學過程 

1.設置情境

師：我們學過功的概念：即一個物體在力 的作用下產生位移 ，那么力 所做的功： ，其中 表示一個什么角度？

表示力 的方向與位移 的方向的夾角.

我們對上述物理意義下的“功”概念進行抽象，就一般向量 、 ，來規定 的含義。

2.探索研究

（l）已知兩個非零向量 和 ，在平面上任取一點 ，作 ， ，則 叫做向量 與 的夾角.你能指出下列圖中兩向量的夾角嗎？

① 與 的夾角為 ，② 與 的夾角為 ，③ 與 的夾角是 ，④ 與 的夾角是 .

（2）下面給出數量積定義：

師：（板書）已知兩個非零向量 和 ，它們的夾角為 ，我們把數量 ，叫做向量 與 的數量積或（內積）記作 即

并規定

師：在平面向量的數量積的定義中，它與兩個向量的加減法有什么本質區別.

生：向量的數量積結果是一個數量，而向量的加法和減法的結果還是一個向量.

師：你能從圖中作出 的幾何圖形嗎？ 表示的幾何意義是什么？

生：如圖，過 的終點 作 的垂線段 ，垂足為 ，則由直角三角形的性質得：

所以 叫做向量 在向量 上的投影， 叫做 在 上的投影.

師：因此我們得到 的幾何意義：向量 與 的數量積 等于 的長度 與 在 的方向上的投影 的積.

注意：1°投影也是一個數量，不是向量。

2°當q為銳角時投影為正值；

當q為鈍角時投影為負值；

當q為直角時投影為0；

當q =0°時投影為 |b|；

當q =180°時投影為 -|b|。

向量的數量積的幾何意義：

數量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。

（3）下面討論數量積的性質：

（每寫一條讓學生動手證一條）設 ， 都是非零向量， 是與 的方向相同的單位向量， 是 與 的夾角，則

①

②

③當 與 同向時， ，當 與 反向時， 。

特別地

④

⑤

3.演練反饋（投影）

（通過練習熟練掌握性質）

判斷下列各題是否正確

（1）若 ，則對任意向量 ，有    （    ）

（2）若 ，則對任意非零量 ，有 （    ）

（3）若 ，且 ，則           （    ）

（4）若 ，則 或             （    ）

（5）對任意向量 有                  （    ）

（6）若 ，且 ，則          （   ）

參考答案：（l）√，（2）×，（3）×，（4）×，（5）√，（6）×.

4.總結提煉

（l）向量的數量的物理模型是力的做功.

（2） 的結果是個實數（標量）

（3）利用 ，可以求兩向量夾角，尤其是判定垂直。

（4）二向量夾角范圍 .

（5）五條屬性要掌握.

五、板書設計