上學期 2.3 函數單調性與奇偶性

教學目標 

1.使學生了解奇偶性的概念,回 會利用定義判斷簡單函數的奇偶性.

2.在奇偶性概念形成過程中,培養學生的觀察,歸納能力,同時滲透數形結合和特殊到一般的思想方法.

3.在學生感受數學美的同時,激發學習的興趣,培養學生樂于求索的精神.

教學重點,難點

重點是奇偶性概念的形成與函數奇偶性的判斷

難點是對概念的認識

教學用具

投影儀,計算機

教學方法

引導發現法

教學過程 

一. 引入新課

前面我們已經研究了函數的單調性,它是反映函數在某一個區間上函數值隨自變量變化而變化的性質,今天我們繼續研究函數的另一個性質.從什么角度呢?將從對稱的角度來研究函數的性質.

對稱我們大家都很熟悉,在生活中有很多對稱,在數學中也能發現很多對稱的問題,大家回憶一下在我們所學的內容中,特別是函數中有沒有對稱問題呢?

(學生可能會舉出一些數值上的對稱問題, 等,也可能會舉出一些圖象的對稱問題,此時教師可以引導學生把函數具體化,如 和 等.)

結合圖象提出這些對稱是我們在初中研究的關于 軸對稱和關于原點對稱問題,而我們還曾研究過關于 軸對稱的問題,你們舉的例子中還沒有這樣的,能舉出一個函數圖象關于 軸對稱的嗎?

學生經過思考,能找出原因,由于函數是映射,一個 只能對一個 ,而不能有兩個不同的,故函數的圖象不可能關于 軸對稱.最終提出我們今天將重點研究圖象關于 軸對稱和關于原點對稱的問題,從形的特征中找出它們在數值上的規律.

二. 講解新課

2.函數的奇偶性(板書)

教師從剛才的圖象中選出 ,用計算機打出,指出這是關于 軸對稱的圖象,然后問學生初中是怎樣判斷圖象關于 軸對稱呢?(由學生回答,是利用圖象的翻折后重合來判定)此時教師明確提出研究方向:今天我們將從數值角度研究圖象的這種特征體現在自變量與函數值之間有何規律?

學生開始可能只會用語言去描述:自變量互為相反數,函數值相等.教師可引導學生先把它們具體化,再用數學符號表示.(借助課件演示令 比較 得出等式 ,再令 ,得到 ,詳見課件的使用)進而再提出會不會在定義域內存在 ,使 與 不等呢?(可用課件幫助演示讓 動起來觀察,發現結論,這樣的 是不存在的)

從這個結論中就可以發現對定義域內任意一個 ,都有 成立.最后讓學生用完整的語言給出定義,不準確的地方教師予以提示或調整.

(1) 偶函數的定義:如果對于函數 的定義域內任意一個 ,都有 ,那么 就叫做偶函數.(板書)

(給出定義后可讓學生舉幾個例子,如 等以檢驗一下對概念的初步認識)

提出新問題:函數圖象關于原點對稱,它的自變量與函數值之間的數值規律是什么呢?(同時打出 或 的圖象讓學生觀察研究)

學生可類比剛才的方法,很快得出結論,再讓學生給出奇函數的定義.

(2) 奇函數的定義: 如果對于函數 的定義域內任意一個 ,都有 ,那么 就叫做奇函數.(板書)

(由于在定義形成時已經有了一定的認識,故可以先作判斷,在判斷中再加深認識)

例1.  判斷下列函數的奇偶性(板書)

(1) ;              (2) ;

  (3) ; ;

(5) ;  (6) .

(要求學生口答,選出1-2個題說過程)

解: (1) 是奇函數.(2) 是偶函數. 

(3) , 是偶函數.

前三個題做完,教師做一次小結,判斷奇偶性,只需驗證 與 之間的關系,但對你們的回答我不滿意,因為題目要求是判斷奇偶性而你們只回答了一半,另一半沒有作答,以第(1)為例,說明怎樣解決它不是偶函數的問題呢?

學生經過思考可以解決問題，指出只要舉出一個反例說明 與 不等.如 即可說明它不是偶函數.(從這個問題的解決中讓學生再次認識到定義中任意性的重要)

從(4)題開始,學生的答案會有不同,可以讓學生先討論,教師再做評述.即第(4)題中表面成立的 = 不能經受任意性的考驗,當 時,由于 ,故 不存在,更談不上與 相等了,由于任意性被破壞,所以它不能是奇偶性.

教師由此引導學生,通過剛才這個題目,你發現在判斷中需要注意些什么?(若學生發現不了定義域的特征,教師可再從定義啟發,在定義域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有 ,就必有 ,有 就必有 ,從而發現定義域應關于原點對稱,再提出定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的什么條件?

可以用(6)輔助說明充分性不成立,用(5)說明必要性成立,得出結論.

(3) 定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要但不充分條件.(板書)

由學生小結判斷奇偶性的步驟之后,教師再提出新的問題:在剛才的幾個函數中有是奇函數不是偶函數,有是偶函數不是奇函數,也有既不是奇函數也不是偶函數,那么有沒有這樣的函數,它既是奇函數也是偶函數呢?若有,舉例說明.

經學生思考,可找到函數 .然后繼續提問:是不是具備這樣性質的函數的解析式都只能寫成這樣呢?能證明嗎?

例2.  已知函數 既是奇函數也是偶函數,求證: .(板書)   (試由學生來完成)

證明: 既是奇函數也是偶函數,

= ,且 ,

= .

,即 .

證后,教師請學生記住結論的同時,追問這樣的函數應有多少個呢?學生開始可能認為只有一個,經教師提示可發現, 只是解析式的特征,若改變函數的定義域,如 , , , ,它們顯然是不同的函數,但它們都是既是奇函數也是偶函數.由上可知函數按其是否具有奇偶性可分為四類

(4) 函數按其是否具有奇偶性可分為四類: (板書)

例3.  判斷下列函數的奇偶性(板書)

(1) ;       (2) ;   (3) .

由學生回答,不完整之處教師補充.

解: (1)當 時, 為奇函數,當 時, 既不是奇函數也不是偶函數.

(2)當 時, 既是奇函數也是偶函數,當 時, 是偶函數.

(3) 當 時, 于是 ,

當 時, ,于是 = ,

綜上 是奇函數.

教師小結 (1)(2)注意分類討論的使用,(3)是分段函數,當 檢驗 ,并不能說明 具備奇偶性,因為奇偶性是對函數整個定義域內性質的刻畫,因此必須 均有 成立,二者缺一不可.

三. 小結

1. 奇偶性的概念

2. 判斷中注意的問題

四. 作業  略

五. 板書設計