上學期 2.4 反函數

教學目標 

1.使學生了解反函數的概念,初步掌握求反函數的方法.

2.通過反函數概念的學習,培養學生分析問題,解決問題的能力及抽象概括的能力.

3.通過反函數的學習,幫助學生樹立辨證唯物主義的世界觀.

教學重點,難點

重點是反函數概念的形成與認識.

難點是掌握求反函數的方法.

教學用具

投影儀

教學方法

自主學習與啟發結合法

教學過程 

一. 揭示課題

今天我們將學習函數中一個重要的概念----反函數.

1.4. 反函數(板書)

(一)反函數的概念(板書)

二.講解新課

教師首先提出這樣一個問題:在函數 中,如果把 當作因變量,把 當作自變量,能否構成一個函數呢?(讓學生思考后回答,要講明理由)可以根據函數的定義在 的允許取值范圍內的任一值,按照法則 都有唯一的 與之相對應.(還可以讓學生畫出函數的圖象,從形的角度解釋“任一 對唯一 ”)

學生解釋后教師指出不管從哪個角度,它都是一個函數,即 有反函數,而且把這個函數稱為 的反函數.那么這個反函數的解析式是什么呢?

由學生回答出應為 .教師再提出 它作為函數是沒有問題的,但不太符合我們的表示習慣,按習慣用 表示自變量,用 表示因變量,故它又可以改寫成 ,改動之后帶來一個新問題: 和 是同一函數嗎?

由學生討論,并說明理由,要求學生能從函數三要素的角度去認識,并給出解釋,讓學生真正承認它們是同一函數.并把 叫做 的反函數.繼而再提出: 有反函數嗎？是哪個函數?

學生很快會意識到 是 的反函數,教師可再引申為 與 是互為反函數的.然后利用問題再引申:是不是所有的函數都有反函數呢?如果有,請舉出例子.在教師啟發下學生可以舉出象 這樣的函數,若將 當自變量, 當作因變量,在 允許取值范圍內一個 可能對兩個 (可畫圖輔助說明,當 時,對應 ),不能構成函數,說明此函數沒有反函數.

通過剛才的例子,了解了什么是反函數,把對 的反函數的研究過程一般化,概括起來就可以得到反函數的定義,但這個數學的抽象概括,要求比較高,因此我們一起閱讀書上相關的內容.

1. 反函數的定義:(板書)(用投影儀打出反函數的定義)

為了幫助學生理解,還可以把定義中的 換成某個具體簡單的函數如 解釋每一步驟,如得 ,再判斷它是個函數,最后改寫為 .給出定義后,再對概念作點深入研究.

2.對概念得理解(板書)

教師先提出問題:反函數的“反”字應當是相對原來給出的函數而言,指的是兩者的關系你能否從函數三要素的角度解釋“反”的含義呢?(仍可以 與 為例來說)

學生很容易先想到對應法則是“反”過來的,把 與 的位置換位了,教師再追問它們的互換還會帶來什么變化?啟發學生找出另兩個要素之間的關系.最后得出結論: 的定義域和值域分別由 的值域和定義域決定的.再把結論從特殊發展到一般,概括為:反函數的三要素是由原來函數的三要素決定的.給出的函數確定了,反函數的三要素就已經確定了.簡記為“三定”.

(1)“三定”(板書)

然后要求學生把剛才的三定具體化,也就是“反”字的具體體現.由學生一一說出反函數的定義域是原來函數的值域,反函數的值域是原來函數的定義域,反函數的對應法則就是把原來函數對應法則中 與 的位置互換.(用投影儀打出互換過程)如圖

最后教師進一步明確“反”實際體現為“三反”, “三反”中起決定作用的是 與 的位置的反置,正是由于它的反置,才把它的范圍也帶走了,引起了另外兩“反”.

(2)“三反”(板書)

此時教師可把問題再次引向深入,提出:如果一個函數存在反函數,應怎樣求這個反函數呢?下面我給出兩個函數,請同學們根據自己對概念的理解來求一下它們的反函數.

例1. 求 的反函數.(板書)

(由學生說求解過程,有錯或不規范之處,暫時不追究,待例2解完之后再一起講評)

解:由 得 , 所求反函數為 .(板書)

例2. 求 , 的反函數.(板書)

解:由 得 ,又 得 ,

故所求反函數為 .(板書)

求完后教師請同學們作評價,學生之間可以討論,充分暴露表述中得問題,讓學生自行發現,自行解決.最后找代表發表意見,指出例2中問題,結果應為 , .

教師可先明知故問 ,與 , 有什么不同?讓學生明確指出兩個函數定義域分別是 和 ,所以它們是不同的函數.再追問 從何而來呢?讓學生能從三定和三反中找出理由,是從原來函數的值域而來.

在此基礎上,教師最后明確要求,由于反函數的定義域必是原來函數的值域,而不是從自身解析式出發尋求滿足的條件,所以求反函數,就必須先求出原來函數的值域.之后由學生調整剛才的求解過程.

解: 由 得 ,又 得 ,

又 的值域是 ,

故所求反函數為 , .

(可能有的學生會提出例1中為什么不求原來函數的值域的問題,此時不妨讓學生去具體算一算,會發現原來函數的值域域求出的函數解析式中所求定義域時一致的,所以使得最后結果沒有出錯.但教師必須指出結論得一致性只是偶然,而不是必然,因此為規范求解過程要求大家一定先求原來函數的值域,并且在最后所求結果上注明反函數的定義域,同時讓學生調整例的表述,將過程補充完整)

最后讓學生一起概括求反函數的步驟.

3.求反函數的步驟(板書)

(1) 反解:

(2) 互換

(3) 改寫:

對以上環節教師可稍作解釋,然后提出再通過下面的練習來檢驗是否真正理解了.

三.鞏固練習

練習:求下列函數的反函數.

 (1)     (2) .(由兩名學生上黑板寫)

解答過程略.

教師可針對學生解答中出現的問題,進行講評.(如正負的選取,值域的計算,符號的使用)

四.小結

1. 對反函數概念的認識:

2. 求反函數的基本步驟:

五.作業 

課本第68頁習題2.4第1題中4,6,8,第2題.

六.板書設計