上學(xué)期2.5 指數(shù)

教學(xué)目標(biāo) ：

1.理解 次方根和 次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進行簡單的根式計算.

2.通過對根式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能進一步認(rèn)清各種運算間的聯(lián)系，提高歸納，概括的能力.

3.通過對根式的化簡，使學(xué)生了解由特殊到一般的解決問題的方法，滲透分類討論的思想.

教學(xué)重點難點：

重點是 次方根的概念及其取值規(guī)律.

難點是 次方根的概念及其運算根據(jù)的研究.

教學(xué)用具：投影儀

教學(xué)方法：啟發(fā)探索式.

教學(xué)過程 ：

一.    復(fù)習(xí)引入

今天我們將學(xué)習(xí)新的一節(jié)指數(shù).指數(shù)與其說它是一個概念，不如說它是一種重要的運算，且這種運算在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過，今天只不過把它進一步向前發(fā)展.

下面從我們熟悉的指數(shù)的復(fù)習(xí)開始.能舉一個具體的指數(shù)運算的例子嗎?

以 為例，是指數(shù)運算要求學(xué)生指明各部分的名稱，其中2稱為底數(shù)，4為指數(shù)， 稱為冪.

教師還可引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)運算的由來，是從乘方而來，因此最初指數(shù)只能是正整數(shù)，同時引出正整數(shù)指數(shù)冪的定義. .然后繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生回憶零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義，分別寫出 及 ，同時追問這里 的由來.最后將三條放在一起，用投影儀打出整數(shù)指數(shù)冪的概念

2.5指數(shù)(板書)

1.       關(guān)于整數(shù)指數(shù)冪的復(fù)習(xí)

(1)    概念

既然是一種運算，除了定義之外，自然要給出它的運算規(guī)律，再來回顧一下關(guān)于整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).可以找一個學(xué)生說出相應(yīng)的運算性質(zhì)，教師用投影儀依次打出： 

(2)    運算性質(zhì)： ; ; .

復(fù)習(xí)后直接提出新課題，今天在此基礎(chǔ)上把指數(shù)從整數(shù)范圍推廣到分?jǐn)?shù)范圍.在剛才的復(fù)習(xí)我們已經(jīng)看到當(dāng)指數(shù)在整數(shù)范圍內(nèi)時，運算最多也就是與分式有關(guān)，如果指數(shù)推廣到分指數(shù)會與什么有關(guān)呢?應(yīng)與根式有關(guān).初中時雖然也學(xué)過一點根式，但不夠用，因此有必要先從根式說起.

2.       根式(板書)

我們知道根式來源于開方，開方是乘方的逆運算，所以談根式還是先從大家熟悉的乘方說起.

如

如果給出了4和2進行運算，那就是乘方運算.如果是知道了16和2，求4即 ，求?

問題也就是： 誰的平方是16 ，大家都能回答是4和-4，這就是開方運算，且4和-4 有個名字叫16的平方根.

再如

知3和8，問題就是誰的立方是8?這就是開方運算，大家也知道結(jié)果為2，同時指出2叫做8的立方根.

(根據(jù)情況教師可再適當(dāng)舉幾個例子，如 ，要求學(xué)生用語言描述式子的含義，I再說出結(jié)果分別為 和-2，同時指出它們分別稱為9的四次方根和-8的立方根)

在以上幾個式子會解釋的基礎(chǔ)上，提出 即一個數(shù)的 次方等于 ，求這個數(shù)，即開 次方，那么這個數(shù)叫做 的 次方根.

(1) 次方根的定義：如果一個數(shù)的 次方等于 ( ，那么這個數(shù)叫做 的 次方根.

   (板書)

對定義理解的第一步就是能把上述語言用數(shù)學(xué)符號表示，請同學(xué)們試試看.

由學(xué)生翻譯為：若 ( ，則 叫做 的 次方根.(把它補在定義的后面)

翻譯后教師在此基礎(chǔ)上再次提出翻譯的不夠徹底，如結(jié)論中的 的 次方根就沒有用符號表示，原因是什么?(如果學(xué)生不知從何入手，可引導(dǎo)學(xué)生回到剛才的幾個例子，在符號表示上存在的問題，并一起研究解決的辦法)最終把問題引向?qū)?SUB> 的 次方根的取值規(guī)律的研究.

(2) 的 次方根的取值規(guī)律： (板書)

先讓學(xué)生看到 的 次方根的個數(shù)是由 的奇偶性決定的，所以應(yīng)對 分奇偶情況討論

當(dāng) 為奇數(shù)時，再問學(xué)生 的 次方根是個什么樣的數(shù)，與誰有關(guān)，再提出對 的正負(fù)的討論，從而明確分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，按 的正負(fù)分為三種情況.

Ⅰ當(dāng) 為奇數(shù)時

， 的 次方根為一個正數(shù);

， 的 次方根為一個負(fù)數(shù);

， 的 次方根為零.      (板書)

當(dāng)奇數(shù)情況討論完之后，再用幾個具體例子輔助說明 為偶數(shù)時的結(jié)論，再由學(xué)生總結(jié)歸納

Ⅱ當(dāng) 為偶數(shù)時

， 的 次方根為兩個互為相反數(shù)的數(shù);

， 的 次方根不存在;

， 的 次方根為零.

對于這個規(guī)律的總結(jié)，還可以先看 的正負(fù)，再分 的奇偶，換個角度加深理解.

有了這個規(guī)律之后，就可以用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號去描述 次方根了.

(3)    的 次方根的符號表示 (板書)

可由學(xué)生試說一說，若學(xué)生說不好，教師可與學(xué)生一起總結(jié)，當(dāng) 為奇數(shù)時，由于無論 為何值， 次方根都只有一個值，可用統(tǒng)一的符號 表示，此時要求學(xué)生解釋符號的含義： 為正數(shù)，則 為一個確定的正數(shù)， 為負(fù)數(shù)， 則 為一個確定的負(fù)數(shù)， 為零，則 為零.

當(dāng) 為偶數(shù)時， 為正數(shù)時，有兩個值，而 只能表示其中一個且應(yīng)表示是正的，另一個應(yīng)與它互為相反數(shù)，故只需在前面放一個負(fù)號，寫成 ，其含義為 為偶數(shù)時，正數(shù)的 次方根有兩個分別為 和 .

為了加深對符號的認(rèn)識，還可以提出這樣的問題： 一定表示一個正數(shù)嗎? 中的 一定是正數(shù)或非負(fù)數(shù)嗎?讓學(xué)生來回答，在回答中進一步認(rèn)清符號的含義，再從另一個角度進行總結(jié) .對于符號 ，當(dāng) 為偶數(shù)是，它有意義的條件是 ;當(dāng) 為奇數(shù)時，它有意義的條件時 .

把 稱為根式，其中 為根指數(shù)， 叫做被開方數(shù).(板書)

(4)    根式運算的依據(jù) (板書)

由于 是個數(shù)值，數(shù)值自然要進行運算，運算就要有根據(jù)，因此下面有必要進一步研究根式運算的依據(jù).但我們并不過分展開，只研究一些最基本的最簡單的依據(jù).

如 應(yīng)該得什么?有學(xué)生講出理由，根據(jù) 次方根的定義，可得Ⅰ = .(板書)

再問： 應(yīng)該得什么?也得 嗎?

若學(xué)生想不清楚，可用具體例子提示學(xué)生，如 嗎? 嗎?讓學(xué)生能發(fā)現(xiàn)結(jié)果與 有關(guān)，從而得到Ⅱ = .(板書)

為進一步熟悉這個運算依據(jù)，下面通過練習(xí)來體會一下.

三.鞏固練習(xí)

例1. 求值

(1) .      (2) .    

(3) .   (4) .

(5) .(

要求學(xué)生口答，并說出簡要步驟.

四.小結(jié)

1. 次方根與 次根式的概念

2.二者的區(qū)別

3.運算依據(jù)

五.作業(yè)   略

六.板書設(shè)計