下學期 5.3實數與向量的積1

（第一課時）

一.教學目標 

1.理解并掌握實數與向量的積的意義.

2.理解兩個向量共線的充要條件，能根據條件判斷兩個向量是否共線；

3.通過對實數與向量的積的學習培養學生的觀察、分析、歸納、抽象的思維能力，了解事物運動變化的辯證思想.

二.教學重點：實數與向量的積的定義、運算律，向量共線的充要條件；

教學難點 ：理解實數與向量的積的定義，向量共線的充要條件；

三.教學具準備

直尺、投影儀.

四.教學過程 

1.設置情境

我們知道，位移、力、速度、加速度等都是向量，而時間、質量等都是數量，這些向量與數量的關系常常在物理公式中體現，如力與加速度的關系f=ma，位移與速度的關系s=vt.這些公式都是實數與向量間的關系.

師：我們已經學習了向量的加法，請同學們作出 和 向量，（已知向量已作在投影片上），并請同學們指出相加后，和的長度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關？

生： 的長度是 的長度的3倍，其方向與 的方向相同， 的長度是 長度的3倍，其方向與 的方向相反.

師：很好！本節課我們就來討論實數與向量的乘積問題，（板書課題：實數與向量的乘積（一））

2.探索研究

師：請大家根據上述問題并作一下類比，看看怎樣定義實數與向量的積？可結合教材思考.

生：我想這樣規定：實數 與向量 的積就是 ，它還是一個向量.

師：想法很好.不過我們要對實數 與向量 相乘的含義作一番解釋才行.

實數 與向量 的積是一個向量，記作 ，它的長度和方向規定如下：

（1）

（2） 時， 的方向與 的方向相同；當 時， 的方向與 的方向相反；特別地，當 或 時，

下面我們討論作為數乘向量的基本運算律：

師：求作向量 和 （ 為非零向量）并進行比較，向量 與向量 相等嗎？（引導學生從模的大小與方向兩個方面進行比較）

生： ，

師：設 、 為任意向量， ， 為任意實數，則有：

（1） （2） （3）

通常將（1）稱為結合律，（2）（3）稱為分配律，有時為了區別，也把（2）叫第一分配律，（3）叫第二分配律.

請看例題

【例1】計算：（1） ， （2） .

（3）

解：（1）原式

（2）原式

（3）原式 .

下面我們研究共線向量與實乘向量的關系.

師：請同學們觀察 ， ，有什么關系.

生：因為 ，所以 、 是共線向量.

師：若 、 是共線向量，能否得出 ？為什么，可得出 嗎？為什么？

生：可以！因為 、 共線，它們的方向相同或相反.

師：由此可得向量共線的充要條件.向量 與非零向量 共線的充分必要條件是有且僅有一個實數 ，使得

此即教材中的定理.

對此定理的證明，是兩層來說明的.

其一，若存在實數 ，使 ，則由實數與向量乘積定義中的第（2）條知 與 共線，即 與 共線.

其二，若 與 共線，且不妨令 ，設 （這是實數概念）.接下來看 、 方向如何：① 、 同向，則 ，②若 、 反向，則記 ，總而言之，存在實數 （ 或 ）使 .

【例2】如圖：已知 ， ，試判斷 與 是否共線.

解：∵

∴ 與 共線.

練習（投影儀）

設 、 是兩個不共線向量，已 ， ，若 、 、 三點共線，求 的值.

參考答案

∵ 、 、 三點共線.

∴ 、 共線 存在實數 ，使

即

∴ ，

3.練習反饋（投影儀）

（1）若 為 的對角線交點， ， ，則 等于（     ）

A.          B.          C.            D.

（2）在△ 中，點 、 、 分別是邊 、 、 的中點，那么 .

（3）如圖所示，在平行四邊形 中， 是 中點，點 是 上一點， 求證 、 、 三點共線.

參考答案：

（1）B； （2） ；

（3）設 ， 則 又 ，∴ ∴ 、 、 共線.

4.總結提煉

（1） 與 的積還是向量， 與 是共線的.

（2）一維空間向量的基本定理的內容和證明思路，也是應用該定理解決問題的思路.該定理主要用于證明點共線、求系數、證直線平行等題型問題.

（3）運算律暗示我們，化簡向量代數式就像計算多項式一樣去合并同類項.

五.板書設計