下學期 4.11 已知三角函數值求角2
（第二課時）
一.教學目標
1.掌握已知一角的正切值，求角的方法.
2.掌握給定區間內，用反三角函數表示一個角的方法.
二.教學具準備
投影儀
三.教學過程
1.設置情境
師：請同學們看投影，回答問題
（1）若 ， ，則 .
（2）若 ， 則 .
生：（1） 或 .
（2） 或 .
師：回答正確.請同學結合上面兩個小題的求解過程，總結一下已知三角函數值求角的一般步驟：
生：從上面兩個小題的求解過程看，有三個步驟：
第一步，決定角 可能是第幾象限角.
第二步，如果函數值為正數，則先求出對應的銳角 ；如果函數值為負數，則先求了與其絕對值對應的銳角 ；
第三步，如果函數值為負數，則根據角 可能是第幾象限角，得出 內對應的角—如果它是第二象限角，那么可表示為 ，如果它是第三或第四象限角，那么可表示為 或 .
師：總結得很好，本節課我們繼續學習用反正切表示角的方法，先請同學看問題（投影儀）：
2.探索研究（此部分可由學生仿照正弦、余弦分析解決）
【例1】（1）已知 ，且 ，求 （精確到 ）.
（2）已知 ，且 ，求 的取值集合.
解：（1）由正切函數在開區間 上是增函數和 可知，符合條件的角有且只有一個，利用計算器可得 （或 ）.
（2）由正切函數的周期性，可知 時， ，所以所求的 的集合是 .
下面討論反正切概念，請看 圖形（圖1）（投影儀）：
觀察正切函數的圖像的性質，為了使符合條件 （ 為任意實數）的角 有且只有一個，我們選擇開區間 作基本的范圍，在這個開區間內，符合條件 （ 為任意實數）的角 ，叫做實數 反正切，記作 ，即 ，其中 ，且 ，那么，此例第（2）小題的答案可以寫成 .
表示的意義： 表示一個角，角的特點是①角的正切值為x，因此角的大小受x的限制；②并不是所有滿足 的角都可以，只能是 范圍內滿足 的角；③由于x為角的正切值，所以x的值可為全體實數.
【例2】（1）已知 ，且 ，求 .
（2）已知 ，且 ，求 的取值集合.
解：（1）因為 ，所以 .由正切函數在開區間 上是增函數可知符合條件的角有且只有一個，所以 .
（2）由正切函數的周期性，可知當 時， .
∴所求 的取值集合是 .
參考例題（供層次高的學生使用）：
1.求值 .
解：根據誘導公式 ，且 ，
∴ .
評法：由于反正弦 表示 內的一個角，而 ，所以應先用誘導公式將其轉化為區間 內的角，再進行計算.
2.求 的值.
解：∵ 、 表示 中的角
∴令 ，則 ，
，則
∴
又∵ 和 均為銳角
∴
∴
3.演練反饋（投影）
（1）滿足 的 的集合是（ ）
A. B.
C. D.
（2）已知 是第二象限角，是 ，則 .
（3）已知 ， ，且 為第三象限角， 為第四象限角，求 、 .
參考答案：
（1）D （2） ， .
（3）
∵ 為第三象限角， 為第四象限角.
∴ ， ，
4.總結提煉
（1）由反正切定義知： ， ，
（2）已知： ， ，用 表示
| 范圍 | 位置及大小 |
|
或 | |
| 或 | |
|
或 |
四.板書設計
課題 例1 例2 | 反正切 概念 | 演練反饋 總結提煉 |