認識函數（通用2篇）

認識函數 篇1

　　〖教學目標〗◆知識技能目標1.會根據實際問題構建數學模型并列出函數解析式；2.掌握根據函數自變量的值求對應的函數值，或是根據函數值求對應自變量的值；3.會在簡單的情況下根據實際背景對自變量的限制求出自變量的取值范圍.◆過程性目標1.使學生在探索、歸納求函數自變量取值范圍的過程中，增強數學建模意識；2.聯系求代數式的值的知識，探索求函數值的方法.〖教學重點與難點〗◆教學重點：求函數解析式是重點.◆教學難點：根據實際問題求自變量的取值范圍并化歸為解不等式(組)學生不易理解.〖教學過程〗一、創設情境問題1 填寫如圖所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能發現什么?如果把這些涂黑的格子橫向的加數用x表示，縱向的加數用y表示，你能寫出y與x的函數關系式嗎?解 如圖能發現涂黑的格子成一條直線.函數關系式為： y＝10－x.問題2 試寫出等腰三角形中頂角的度數y與底角的度數x之間的函數關系式.解 y與x的函數關系式：y＝180－2x.問題3 如圖，等腰直角△abc的直角邊長與正方形mnpq的邊長均為10 cm，ac與mn在同一直線上，開始時a點與m點重合，讓△abc向右運動，最后a點與n點重合.試寫出重疊部分面積ycm2與ma長度x cm之間的函數關系式.解 y與x的函數關系式： .二、探究歸納思考 (1)在上面問題中所出現的各個函數中，自變量的取值有限制嗎？如果有，寫出它的取值范圍.(2)在上面問題1中，當涂黑的格子橫向的加數為3時，縱向的加數是多少？當縱向的加數為6時，橫向的加數是多少？分析 問題1，觀察加法表中涂黑的格子的橫向的加數的數值范圍.問題2，因為三角形內角和是180°所以等腰三角形的底角的度數x不可能大于或等于90°.問題3，開始時a點與m點重合，ma長度為0cm，隨著△abc不斷向右運動過程中，ma長度逐漸增長，最后a點與n點重合時，ma長度達到10cm.解 (1)問題1，自變量x的取值范圍是：1≤x≤9；問題2，自變量x的取值范圍是：0＜x＜90；問題3，自變量x的取值范圍是：0≤x≤10.(2)當涂黑的格子橫向的加數為3時，縱向的加數是7；當縱向的加數為6時，橫向的加數是4.上面例子中的函數,都是利用解析法表示的,又例如：s＝60t， s＝πr2.在用解析式表示函數時，要考慮自變量的取值必須使解析式有意義.在確定函數中自變量的取值范圍時，如果遇到實際問題，必須使實際問題有意義.例如，函數解析式s＝πr2中自變量r的取值范圍是全體實數，但如果式子表示圓面積s與圓半徑r的關系，那么自變量r的取值范圍就應該是r＞0.三、實踐應用例1 求下列函數中自變量x的取值范圍：(1) y＝3x－1； (2) y＝2x2＋7；(3) ；(4) .分析 用數學式子表示的函數，一般來說，自變量只能取使式子有意義的值.例如，在(1)，(2)中，x取任意實數，3x－1與2x2＋7都有意義；而在(3)中，x＝－2時， 沒有意義；在(4)中，x＜2時， 沒有意義.解 (1)x取值范圍是任意實數；(2)x取值范圍是任意實數；(3)x的取值范圍是x≠－2；(4)x的取值范圍是x≥2.歸納 四個小題代表三類題型.(1)，(2)題給出的是只含有一個自變量的整式；(3)題給出的是分母中只含有一個自變量的分式；(4)題給出的是只含有一個自變量的二次根式.例2 等腰三角形abc的周長為10,底邊長為y,腰ab長為x.求:(1)  y關于x的函數解析式；(2)  自變量x的取值范圍；(3)  腰長ab=3時,底邊的長.分析 (1)問題中的x與y之間存在怎樣的數量關系?這種數量關系可以什么形式給出?   (2x+y=10)(2)這個等式算不算函數解析式?如果不算,應該對等式進行怎樣的變形?(3)結合實際,x與y應滿足怎樣的不等關系?歸納 (1)在求函數解析式時,可以先得到函數與自變量之間的等式,然后解出函數關于自變量的函數解析式；(2)在求自變量的取值范圍時,要從兩個方面來考慮:①代數式要有意義；②要符合實際.例3 如圖，正方形efgh內接于邊長為1的正方形abcd.設ae=x，試求正方形efgh的面積y與x的關系，寫出自變量x的取值范圍，并求當x= 時，正方形efgh的面積.解：正方形efgh的面積=大正方形的面積-4 一個小三角形的面積，則 y與x之間的函數關系式為  (0<x<1)   (0<x<1)當x＝ 時， 所以當x＝ 時，正方形efgh的面積是 .例4 求下列函數當x = 2時的函數值：(1)y = 2x-5 ；　　　  (2)y =－3x2 ；(3) ；　　　  (4) .分析　函數值就是y的值，因此求函數值就是求代數式的值.解 (1)當x = 2時，y = 2×2－5 =－1；(2)當x = 2時，y =－3×22 =－12；(3)當x = 2時，y = = 2；(4)當x = 2時，y = = 0.例5 游泳池應定期換水.某游泳池在一次換水前存水936立方米,換水時打開排水孔,以每小時312立方米的速度將水放出.設放水時間為t時,游泳池內的存水量為q立方米.(1)求q關于t的函數解析式和自變量t的取值范圍；(2)放水2時20分后，游泳池內還剩水多少立方米?(3)放完游泳池內的水需要多少時間?分析 此題要先弄清楚放出的水量,剩余的水量和原存水量之間的關系.然后讓學生直接得出函數解析式；第(2)題是由自變量的值求函數值,可由學生自己完成；第(3)題則與第(2)題相反，是已知函數值,求相應自變量的值,可化歸為解方程.四、交流反思1.求函數自變量取值范圍的兩個依據：(1)要使函數的解析式有意義.①函數的解析式是整式時，自變量可取全體實數；②函數的解析式分母中含有字母時，自變量的取值應使分母≠0；③函數的解析式是二次根式時，自變量的取值應使被開方數≥0.(2)對于反映實際問題的函數關系，應使實際問題有意義.2.求函數值的方法：跟求代數式的值的方法一樣就是把所給出的自變量的值代入函數解析式中，即可求出相應的函數值.五、檢測反饋1.分別寫出下列各問題中的函數關系式，并指出式中的自變量與函數以及自變量的取值范圍：(1)一個正方形的邊長為3 cm，它的各邊長減少x cm后，得到的新正方形周長為y cm.求y和x間的關系式；(2)寄一封重量在20克以內的市內平信，需郵資0.60元，求寄n封這樣的信所需郵資y（元）與n間的函數關系式；(3)矩形的周長為12 cm，求它的面積s(cm2)與它的一邊長x(cm)間的關系式，并求出當一邊長為2 cm時這個矩形的面積.2.求下列函數中自變量x的取值范圍：(1)y＝－2x－5x2；      (3) y＝x(x＋3)；(3) ；          (4) .3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在時間t（秒）滑下的距離s（米）由下式給出：s＝10t＋2t2.假如滑到坡底的時間為8秒，試問坡長為多少？4.當x＝2及x＝－3時，分別求出下列函數的函數值：(1) y＝(x+1)(x－2)；(2)y＝2x2－3x＋2； (3) .六、作業布置作業本和書本p158-159的作業題

認識函數 篇2

　　〖教學目標〗◆1、通過實例，了解函數的概念.◆2、了解函數的三種表示法：(1)解析法；(2)列表法；(3)圖象法..◆3、理解函數值的概念.◆4、會在簡單情況下，根據函數的表示式求函數的值.〖教學重點與難點〗◆教學重點：函數的概念、表示法等，是今后進一步學習其他函數，以及運用函數模型解決實際問題的基礎，因此函數的有關概念是本節的重點.◆教學難點：用圖象來表示函數關系涉及數形結合，學生理解它需要一個較長且比較具體的過程，是本節教學的難點.〖教學過程〗教學過程分以下6個環節：創設情境、探究新知、應用新知、課堂練習 、知識整理、布置作業1.  創設情境問題1 小明的哥哥是一名大學生，他利用暑假去一家公司打工，報酬按16元/時計算.設小明的哥哥這個月工作的時間為 時，應得報酬為 元，填寫下表：工作時間 （時）15101520……報酬 （元）然后回答下列問題：（1）在上述問題中，哪些是常量？哪些是變量？（常量16，變量 、 ）（2）能用 的代數式來表示 的值嗎？（能， =16 ）教師指出：在這個變化過程中，有兩個變量 ， ，對 的每一個確定的值， 都有唯一確定的值與它對應.問題2  跳遠運動員按一定的起跳姿勢，其跳遠的距離 (米)與助跑的速度 (米/秒)有關.根據經驗，跳遠的距離 (0< <10.5) .然后回答下列問題：（1）在上述問題中，哪些是常量？哪些是變量？（常量0.085，變量 、 ）(2)計算當 分別為7.5，8，8.5時，相應的跳遠距離 是多少(結果保留3個有效數字)?(3)給定一個 的值，你能求出相應的 的值嗎?教師指出：在這個變化過程中，有兩個變量 ， ，對 的每一個確定的值， 都有唯一確定的值與它對應.本環節設計的意圖：通過對兩個學生熟悉的問題的討論，既鞏固了上一節課中常量、變量的概念，又為本節課學習函數的概念作好準備.2.  探究新知（1）函數的概念在第一個環節的基礎上，教師歸納得出函數的概念：一般地，如果對于 的每一個確定的值， 都有唯一確定的值，那么就說 是 的函數， 叫做自變量.例如，上面的問題1中， 是 的函數， 是自變量；問題2中， 是對 的的函數， 是自變量.教師指出：①函數概念的教學中，要著重引導學生分析問題中一對變量之間的依存關系——當其中一個變量確定一個值，另一個變量也相應有一個確定的值.②函數的本質是一種對應關系——映射，由于用映射來定義函數，對初中生來說是難以接受的，所以課本對函數概念采取了比較直觀的描述.這種直觀的描述也和傳統教材有所區別：描述中改變了過去那種“y都有唯一確定的值和它對應”的說法，即避開“對應”的意義.③實際問題中的自變量往往受到條件的約束，它必須滿足①代數式有意義；②符合實際.如問題1中自變量 表示一個月工作的時間，因此t不能取負數，也不能大于744；如問題2中自變量 表示助跑的速度 ，它的取值范圍為0< <10.5.（2）函數的表示法①解析法：問題1、2中， =16 和 這兩個函數用等式來表示，這種表示函數關系的等式，叫做函數解析式，簡稱函數式.用函數解析式表示函數的方法也叫解析法.②列表法：有時把自變量 的一系列值和函數 的對應值列成一個表.這種表示函數關系的方法是列表法.如表（圖7-2）表示的是一年內某城市月份與平均氣溫的函數關系.月份 123456789101112平均氣溫 （℃）3.85.19.315.420.224.328.628.023.317.112.26.3③圖象法: 我們還可以用法來表示函數，例如圖7-1中的圖象就表示騎車時熱量消耗 (焦)與身體質量 (千克)之間的函數關系.解析法、圖象法和列表法是函數的三種常用的表示方法.教師指出：（1）解析法、列表法、圖象法是表示函數的三種方法，都很重要，不能有所偏頗.尤其是列表法、圖象法在今后代數、統計領域的學習中經常用到，教學中應引起學生的重視.（2）對于列表法，圖象法，如何表示兩個變量之間的函數關系，學生可能不太容易理解，教學中可以用課本表7-2和圖7-1來具體說明它們表示兩個變量之間的函數關系的方法.（3）函數值概念與自變量對應的值叫做函數值，它與自變量的取值有關，通常函數值隨著自變量的變化而變化.若函數用解析法表示，只需把自變量的值代人函數式，就能得到相應的函數值.例如對于函數 =16 ，當 =5時，把它代人函數解析式，得 =16×5=80(元).=80叫做當自變量 =5時的函數值.由于函數值的概念是由函數的概念派生出來，用列表法、圖象法表示函數時同樣存在函數值的概念，教學中也可以增加一些具體例子，來加深學生的印象.若函數用列表法表示.我們可以通過查表得到.例如一年內某城市月份與平均氣溫的函數關系中，當 =2時，函數值 =5.1；當 =10時，函數值 =17.1.若函數用圖象法表示.例如騎車時熱量消耗 (焦)與身體質量 (千克)之間的函數關系中，對給定的自變量的值，怎樣求它的函數值呢？如x=50，我們只要作一直線垂直于x軸，且垂足為點(50，0)，這條直線與圖象的交點p(50，399)的縱坐標就是就是當函數值x=50時的函數值，即w=399(焦).教師指出：當函數用解析法表示時，函數值的概念與學生已經學過的代數式的值的概念幾乎沒有什么區別，所以課本沒有對函數值的概念作重新定義，教學中可以增加一些求函數值的練習，使學生感悟函數值與代數式的值兩個概念之間的關系.3.  應用新知例1 等腰△abc的周長為20，底邊bc長為 ，腰ab長為 ，求：（1） 關于 的函數解析式；（2）當腰長ab=7時，底邊的長；（3）當 =11和 =4時，函數值是多少？答案：（1） =20-2 ；（2）腰長ab=7，即 =7時， =6，所以底邊長為6；（3）當 =11和 =4時，函數值不再有意義.說明（1）第1問中的函數解析式不能寫成 的形式，一定要把 寫成 的代數式（2）實際問題中，自變量的取值范圍往往受到條件的限制，本題的自變量的取值范圍是5< <10,具體的求法本節課不作介紹，放到下一節課中去完成，當 =11和 =4時，盡管可求出它對應的值，但自變量 的值都不在相應的取值范圍內，因此當 =11和 =4時，函數值不再有意義.例2  某城市自來水收費實行階梯水價，收費標準如下表所示:月用水量x(度)0<x≤1212<x≤18x>18收費標準y （元/度）2.002.503.00（1）y是x的函數嗎？為什么？（2）分別求當x=10,16,20時的函數值，并說明它的實際意義.答案：（1）是，根據函數的概念，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值；（2）當x=10時，y=2×10=20（元）.月用水量10度需交水費20（元）；當x=16時，y=2×12+4×2.50=34（元）.月用水量16度需交水費34（元）；當x=20時，y=2×12+6×2.50+2×3=45（元）.月用水量45度需交水費45（元）.說明 本例安排的目的兩個：①是讓學生進一步鞏固函數的概念；②讓學生體會當函數用列表法給出時函數值的求法.本例教學時教師應向學生解釋“收費實行階梯水價”的含義，即月用水量不超過12度時每度2元，超過12度不超過18度時每度2.5元，超過18度時每度3元，如月用水量為38度時，應交水費y =2×12+6×2.5+3×20=99（元）.例3  下圖是小明放學回家的折線圖，其中t表示時間，s表示離開學校的路程. 請根據圖象回答下面的問題：(1)這個折線圖反映了哪兩個變量之間的關系？路程s可以看成t的函數嗎？(2)求當t=5分時的函數值？(3)當 10≤t≤15時，對應的函數值是多少？并說明它的實際意義？(4)學校離家有多遠？小明放學騎自行車回家共用了幾分鐘？答案：（1）折線圖反映了s、t兩個變量之間的關系，路程s可以看成t的函數；（2）當t=5分時函數值為1km；（3）當 10≤t≤15時，對應的函數值是始終為2，它的實際意義是小明回家途中停留了5分鐘；（4）學校離家有3.5km，放學騎自行車回家共用了20分鐘.

　　說明  安排本例的主要目的是讓學生體會當函數用圖象法給出時函數值的求法.通過本例的教學，使學生體會函數圖象是如何反映自變量與函數之間的關系的，進一步加深學生對函數概念的理解，體驗數形結合的數學思想，為后面的一次函數的應用作好準備.4.課堂練習 課本p155課內練習1，2 補充  下圖是表示某一個月的日平均溫度變化的曲線，根據圖象回答問題： ①這個曲線反映了哪兩個變量之間的關系？日平均溫度t是x的函數嗎？②求當x=5,13,16,25時的函數值？③這個月中最高與最低的日平均溫度各是多少? t     x   

　　5.知識整理師生可共同梳理知識點：

　　函數的概念   函數表示方法

　　解析法  

　　列表法  

　　圖象法  

　　函數值    

　　6.布置作業課本作業題1，2，3，4，5 .