反 函 數(shù)
教材：人教版全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)第一冊（上）
教學(xué)目標(biāo)：1.了解反函數(shù)的概念，弄清原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系.2.會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù).3.在嘗試、探索求反函數(shù)的過程中，深化對概念的認(rèn)識，總結(jié)出求反函數(shù)的一般步驟，加深對函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合以及由特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識.4.進(jìn)一步完善學(xué)生思維的深刻性，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，用辯證的觀點(diǎn)分析問題，培養(yǎng)抽象、概括的能力.教學(xué)重點(diǎn)：求反函數(shù)的方法.教學(xué)難點(diǎn)：反函數(shù)的概念.教學(xué)過程：
教學(xué)活動
設(shè)計意圖 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課1.復(fù)習(xí)提問①函數(shù)的概念②y=f(x)中各變量的意義2.同學(xué)們在物理課學(xué)過勻速直線運(yùn)動的位移和時間的函數(shù)關(guān)系，即s=vt和t= （其中速度v是常量），在s=vt 中位移s是時間t的函數(shù)；在t= 中，時間t是位移s的函數(shù).在這種情況下，我們說t= 是函數(shù)s=vt的反函數(shù).什么是反函數(shù)，如何求反函數(shù)，就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.3.板書課題由實(shí)際問題引入新課，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，展示了教學(xué)目標(biāo).這樣既可以撥去“反函數(shù)”這一概念的神秘面紗，也可使學(xué)生知道學(xué)習(xí)這一概念的必要性. 二、實(shí)例分析，組織探究1.問題組一：（用投影給出函數(shù) 與 ； 與 （ ）的圖象）（1）這兩組函數(shù)的圖像有什么關(guān)系？這兩組函數(shù)有什么關(guān)系？（生答： 與 的圖像關(guān)于直線y=x對稱； 與 （ ）的圖象也關(guān)于直線y=x對稱. 是求一個數(shù)立方的運(yùn)算，而 是求一個數(shù)立方根的運(yùn)算，它們互為逆運(yùn)算.同樣， 與 （ ）也互為逆運(yùn)算.）（2）由 ，已知y能否求x？（3） 是否是一個函數(shù)？它與 有何關(guān)系？（4） 與 有何聯(lián)系？2.問題組二：（1）函數(shù)y=2x+1(x是自變量)與函數(shù)x=2y+1(y是自變量)是否是同一函數(shù)？（2）函數(shù) (x是自變量)與函數(shù)x=2y+1(y是自變量)是否是同一函數(shù)？（3）函數(shù) （ ）的定義域與函數(shù) （ ）的值域有什么關(guān)系？3.滲透反函數(shù)的概念.（教師點(diǎn)明這樣的函數(shù)即互為反函數(shù)，然后師生共同探究其特點(diǎn)）從學(xué)生熟知的函數(shù)出發(fā)，抽象出反函數(shù)的概念，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力.通過這兩組問題，為反函數(shù)概念的引出做了鋪墊，利用舊知，引出新識，在“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計問題，使學(xué)生對反函數(shù)有一個直觀的粗略印象，為進(jìn)一步抽象反函數(shù)的概念奠定基礎(chǔ).三、師生互動，歸納定義1.（根據(jù)上述實(shí)例，教師與學(xué)生共同歸納出反函數(shù)的定義）函數(shù)y=f(x)(x∈a) 中，設(shè)它的值域?yàn)?c.我們根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系，用 y 把 x 表示出來，得到 x = j (y) .如果對于y在c中的任何一個值，通過x = j (y)，x在a中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么, x = j (y)就表示y是自變量，x是自變量 y 的函數(shù).這樣的函數(shù) x = j (y)(y ∈c)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈a)的反函數(shù).記作: .考慮到“用 x表示自變量, y表示函數(shù)”的習(xí)慣，將 中的x與y對調(diào)寫成 .2.引導(dǎo)分析：1）反函數(shù)也是函數(shù)；2）對應(yīng)法則為互逆運(yùn)算；3）定義中的“如果”意味著對于一個任意的函數(shù)y=f(x)來說不一定有反函數(shù)；4）函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別是函數(shù) x=f (y)的值域、定義域；5）函數(shù)y=f(x)與x=f (y)互為反函數(shù)；