下學(xué)期 4.10 正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)1
4.10 正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)
第一課時(shí)
（一）教學(xué)具準(zhǔn)備
直尺、投影儀.
（二）教學(xué)目標(biāo)
1.會(huì)用“正切線”和“單移法”作函數(shù) 的簡(jiǎn)圖.
2.掌握正切函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用.
（三）教學(xué)過(guò)程
1.設(shè)置情境
正切函數(shù)是區(qū)別于正弦函數(shù)的又一三角函數(shù)，它與正弦函數(shù)的最大區(qū)別是定義域的不連續(xù)性，為了更好研究其性質(zhì)，我們首先討論 的作圖.
2.探索研究
師：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，我們是怎樣利用單位圓中的正弦線作出 圖像的.
生：在單位圓上取終邊為 （弧度）的角，作出其正弦線 ，設(shè) ，在直角坐標(biāo)系下作點(diǎn) ，則點(diǎn) 即為 圖像上一點(diǎn).
師：這位同學(xué)講得非常好，本節(jié)課我們也將利用單位圓中的正切線來(lái)繪制 圖像.
（1）用正切線作正切函數(shù)圖像
師：首先我們分析一下正切函數(shù) 是否為周期函數(shù)？
生：∵
∴ 是周期函數(shù)， 是它的一個(gè)周期.
師：對(duì)，我們還可以證明， 是它的最小正周期.類似正弦曲線的作法，我們先作正切函數(shù)在一個(gè)周期上的圖像，下面我們利用正切線畫出函數(shù) ， 的圖像.
作法如下：①作直角坐標(biāo)系，并在直角坐標(biāo)系 軸左側(cè)作單位圓.
②把單位圓右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線.
③找橫坐標(biāo)（把 軸上 到 這一段分成8等份）.
④找縱坐標(biāo)，正切線平移.
⑤連線.
圖1
根據(jù)正切函數(shù)的周期性，我們可以把上述圖像向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù) ， 且 （ ）的圖像，并把它叫做正切曲線（如圖1）.
圖2
（2）正切函數(shù)的性質(zhì)
請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合正切函數(shù)圖像研究正切函數(shù)的性質(zhì)：定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性.
①定義域：
②值域
由正切曲線可以看出，當(dāng) 小于 （ ）且無(wú)限親近于 時(shí)， 無(wú)限增大，即可以比任意給定的正數(shù)大，我們把這種情況記作 （讀作 趨向于正無(wú)窮大）；當(dāng) 大于 且無(wú)限接近于 ， 無(wú)限減小，即取負(fù)值且它的絕對(duì)值可以比任意給定的正數(shù)大，我們把這種情況記作 （讀作 趨向于負(fù)無(wú)窮大）.這就是說(shuō)， 可以取任何實(shí)數(shù)值，但沒(méi)有最大值、最小值.
因此，正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集 .
③周期性
正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是 .
④奇偶性
∵ ，∴正切函數(shù)是奇函數(shù)，正切曲線關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱.
⑤單調(diào)性
由正切曲線圖像可知：正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間（ ， ）， 內(nèi)都是增函數(shù).
（3）例題分析
【例1】求函數(shù) 的定義域.
解：令 ，那么函數(shù) 的定義域是
由 ，可得
所以函數(shù) 的定義域是
【例2】不通過(guò)求值，比較下列各組中兩個(gè)正切函數(shù)值的大小：
（1） 與 ；
（2） 與 .
解：（1）∵
又 ∵ ，在 上是增函數(shù)
∴
（2）∵
又 ∵ ，函數(shù) ， 是增函數(shù)，
∴ 即 .
說(shuō)明：比較兩個(gè)正切型實(shí)數(shù)的大小，關(guān)鍵是把相應(yīng)的角誘導(dǎo)到 的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用 的單調(diào)遞增性來(lái)解決.
3.演練反饋（投影）
（1）直線 （ 為常數(shù)）與正切曲線 （ 為常數(shù)且 ）相交的相鄰兩點(diǎn)間的距離是（ ）
A. B. C. D.與 值有關(guān)
（2） 是 的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
（3）根據(jù)三角函數(shù)的圖像寫出下列不等式成立的角 集合
① ②
參考答案：
（1）C.注： 與 相鄰兩點(diǎn)之間距離即為周期長(zhǎng)
（2）D.注：由 ，但 ，反之 ，但
（3）①
②
4.總結(jié)提煉
（1） 的作圖是利用平移正切線得到的，當(dāng)我們獲得 上圖像后，再利用周期性把該段圖像向左右延伸、平移。
（2） 性質(zhì).
定義域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 | 單調(diào)增區(qū)間 | 對(duì)稱中心 | 漸近線方程 |
奇函數(shù) |
| ， |
（四）板書設(shè)計(jì)
課題…… 1.用正切線作正切函數(shù)圖像 2.正切函數(shù)的性質(zhì) | 例1 例2 演練反饋 | 總結(jié)提煉 |