向量與三角函數(shù)創(chuàng)新題型的解題技巧
【命題趨向】1.三角函數(shù)的性質(zhì)、圖像及其變換,主要是 的性質(zhì)、圖像及變換.考查三角函數(shù)的概念、奇偶性、周期性、單調(diào)性、有界性、圖像的平移和對(duì)稱等.以選擇題或填空題或解答題形式出現(xiàn),屬中低檔題,這些試題對(duì)三角函數(shù)單一的性質(zhì)考查較少,一道題所涉及的三角函數(shù)性質(zhì)在兩個(gè)或兩個(gè)以上,考查的知識(shí)點(diǎn)來源于教材.
2.三角變換.主要考查公式的靈活運(yùn)用、變換能力,一般要運(yùn)用和角、差角與二倍角公式,尤其是對(duì)公式的應(yīng)用與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合考查.以選擇題或填空題或解答題形式出現(xiàn),屬中檔題.
3.三角函數(shù)的應(yīng)用.以平面向量、解析幾何等為載體,或者用解三角形來考查學(xué)生對(duì)三角恒等變形及三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用的綜合能力.特別要注意三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用和跨知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,注意三角函數(shù)在解答有關(guān)函數(shù)、向量、平面幾何、立體幾何、解析幾何等問題時(shí)的工具性作用.這類題一般以解答題的形式出現(xiàn),屬中檔題.
4.在一套高考試題中,三角函數(shù)一般分別有1個(gè)選擇題、1個(gè)填空題和1個(gè)解答題,或選擇題與填空題1個(gè),解答題1個(gè),分值在17分-22分之間.
5.在高考試題中,三角題多以低檔或中檔題目為主,一般不會(huì)出現(xiàn)較難題,更不會(huì)出現(xiàn)難題,因而三角題是高考中的得分點(diǎn).
【考點(diǎn)透視】
1.理解任意角的概念、弧度的意義,能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義,了解余切、正割、余割的定義,掌握同解三角函數(shù)的基本關(guān)系式,掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式,理解周期函數(shù)與最小正周期的意義.
3.掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
4.能正確運(yùn)用三角公式,進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.
5.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì),會(huì)用"五點(diǎn)法"畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=asin(ωx ψ)的簡圖,理解a、ω、ψ的物理意義.
6.會(huì)由已知三角函數(shù)值求角,并會(huì)用符號(hào)arcsin x, arcos x,arctan x表示.
7.掌握正弦定理、余弦定理,并能初步運(yùn)用它們解斜三角形,能利用計(jì)算器解決解三角形的計(jì)算問題.
8.掌握向量與三角函數(shù)綜合題的解法.
常用解題思想方法
1.三角函數(shù)恒等變形的基本策略。
(1)常值代換:特別是用"1"的代換,如1=cos2θ sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊。如分拆項(xiàng):sin2x 2cos2x=(sin2x cos2x) cos2x=1 cos2x;配湊角:α=(α β)-β,β= - 等。
(3)降次與升次。即倍角公式降次與半角公式升次。
(4)化弦(切)法。將三角函數(shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦(切)。
(5)引入輔助角。asinθ bcosθ= sin(θ ),這里輔助角 所在象限由a、b的符號(hào)確定, 角的值由tan = 確定。
(6)萬能代換法。巧用萬能公式可將三角函數(shù)化成tan 的有理式。
2.證明三角等式的思路和方法。
(1)思路:利用三角公式進(jìn)行化名,化角,改變運(yùn)算結(jié)構(gòu),使等式兩邊化為同一形式。
(2)證明方法:綜合法、分析法、比較法、代換法、相消法、數(shù)學(xué)歸納法。
3.證明三角不等式的方法:比較法、配方法、反證法、分析法,利用函數(shù)的單調(diào)性,利用正、余弦函數(shù)的有界性,利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。