第一冊已知三角函數值求角
【教學課題】: 已知三角函數值求角
【教學目標 】: 了解反三角函數的定義，掌握用反三角函數值表示給定區間上的角
【教學重點】: 掌握用反三角函數值表示給定區間上的角
【教學難點 】: 反三角函數的定義
【教學過程 】:
一. 問題的提出：
在我們的學習中常遇到知三角函數值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（
（1）包含銳角；（2）具有單調性；（3）能取得三角函數值域上的所有值。
顯然對 ，這樣的區間是 ；對 ，這樣的區間是 ；對 ，這樣的區間是 ；
二.新課的引入：
1.反正弦定義：
反正弦函數：函數 ， 的反函數叫做反正弦函數，記作： .
對于 注意：
（1） （相當于原來函數的值域）；
（2） （相當于原來函數的定義域）；
（3） ；
即： 相當于 內的一個角，這個角的正弦值為 。
反正弦：符合條件 （ ）的角 ，叫做實數 的反正弦，記作： 。其中 ， 。
例如： ， ， ，
由此可見：書上的反正弦與反正弦函數是一致的，當然理解了反正弦函數，能使大家更加系統地掌握這部分知識。
2.反余弦定義：
反余弦函數：函數 ， 的反函數叫做反余弦函數，記作： .
對于 注意：
（1） （相當于原來函數的值域）；
（2） （相當于原來函數的定義域）；
（3） ；
即： 相當于 內的一個角，這個角的余弦值為 。
反余弦：符合條件 （ ）的角 ，叫做實數 的反正弦，記作： 。其中 ， 。
例如： ， ，由于 ，故 為負值時， 表示的是鈍角。
3.反正切定義：
反正切函數：函數 ， 的反函數叫做反正弦函數，記作： .
對于 注意：
（1） （相當于原來函數的值域）；
（2） （相當于原來函數的定義域）；
（3） ；
即： 相當于 內的一個角，這個角的正切值為 。
反正切：符合條件 （ ）的角 ，叫做實數 的反正切，記作： 。其中 ， 。
例如： ， ， ，
對于反三角函數，大家切記：它們不是三角函數的反函數，需要對定義域加以改進后才能出現反函數。反三角函數的性質，有興趣的同學可根據互為反函數的函數的圖象關于 對稱這一特性，得到反三角函數的性質。根據新教材的要求，這里就不再講了。
練習：
三.課堂練習：
例1.請說明下列各式的含義：
(1) ； (2) ； (3） ； (4) 。
解：（1） 表示 之間的一個角，這個角的正弦值為 ，這個角是 ；
（2） 表示 之間的一個角，這個角的正弦值為 ，這個角不存在，即 的寫法沒有意義，與 ， 矛盾；
（3） 表示 之間的一個角，這個角的余弦值為 ，這個角是 ；
（4） 表示 之間的一個角，這個角的正切值為 。這個角是一個銳角。
例2.比較大小：（1） 與 ；（2） 與 。
解：（1）設： ， ； ， ，
則 ， ，
∵ 在 上是增函數， ，
∴ ，即 。
（2） 中 小于零， 表示負銳角，
中 雖然小于零，但 表示鈍角。
即： 。
例3.已知： ， ，求： 的值。
解： 正弦值為 的角只有一個，即： ，
在 中正弦值為 的角還有一個，為鈍角，即： ，
所求 的集合為： 。
注意：如果題目沒有特別說明，結果應為準確值，而不應是近似值，書上均為近似值。
例4.已知： ， ，求： 的值。
解： 余弦值為 的角只有一個，即： ，
在 中余弦值為 的角還有一個，為第三象限角，即： ，
所求 的集合為： 。
例5.求證： （ ）。
證明：∵ ，∴ ，設 ， ，
則 ，即： ，即： ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，即： 。
例6.求證： （ ）。
證明：∵ ，∴ ，設 ， ，
則 ，即： ，即： （*），
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，即： 。
注意：（*）中不能用 來替換 ，雖然符號相同，但 ，不能用反余弦表示 。
四.課后作業 。