平面向量的解題技巧

【命題趨向】
1.這部分內容高考中所占分數一般在10分左右.
2.題目類型為一個選擇或填空題,一個與其他知識綜合的解答題.
3.考查內容以向量的概念、運算、數量積和模的運算為主.
【考點透視】
"平面向量"是高中新課程新增加的內容之一,高考每年都考,題型主要有選擇題、填空題,也可以與其他知識相結合在解答題中出現,試題多以低、中檔題為主.
透析高考試題,知命題熱點為:
1.向量的概念,幾何表示,向量的加法、減法,實數與向量的積.
2.平面向量的坐標運算,平面向量的數量積及其幾何意義.
3.兩非零向量平行、垂直的充要條件.
4.圖形平移、線段的定比分點坐標公式.
5.由于向量具有"數"與"形"雙重身份,加之向量的工具性作用,向量經常與數列、三角、解析幾何、立體幾何等知識相結合,綜合解決三角函數的化簡、求值及三角形中的有關問題,處理有關長度、夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典型問題等.
6.利用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的坐標運算方面轉化,向量模的運算轉化為向量的運算等;利用數形結合思想將幾何問題代數化,通過代數運算解決幾何問題.
【例題解析】
1. 向量的概念,向量的基本運算
(1)理解向量的概念,掌握向量的幾何意義,了解共線向量的概念.
(2)掌握向量的加法和減法.
(3)掌握實數與向量的積,理解兩個向量共線的充要條件.
(4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐標的概念,掌握平面向量的坐標運算.
(5)掌握平面向量的數量積及其幾何意義,了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件.
(6)掌握平面兩點間的距離公式.
例1(XX年北京卷理)已知 是 所在平面內一點, 為 邊中點,且 ,那么( )
a. b. c. d.
命題意圖:本題考查能夠結合圖形進行向量計算的能力.
解:
故選a.
例2.(XX年安徽卷)在 中, ,m為bc的中點,則 ______.(用 表示)
命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法,以及實數與向量的積.
解: , ,所以, .
例3.(XX年廣東卷)如圖1所示,d是△abc的邊ab上的中點,則向量 ( )
(a) (b)
(c) (d)
命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法運算能力.
解: ,故選a.
例4. ( XX年重慶卷)與向量 = 的夾解相等,且模為1的向量是 ( )
(a) (b) 或
(c) (d) 或
命題意圖: 本題主要考查平面向量的坐標運算和用平面向量處理有關角度的問題.
解:設所求平面向量為 由
另一方面,當
當
故平面向量 與向量 = 的夾角相等.故選b.
例5.(XX年天津卷)設向量 與 的夾角為 ,且 , ,則 __.
命題意圖: 本題主要考查平面向量的坐標運算和平面向量的數量積,以及用平面向量的數量積處理有關角度的問題.
解:
例6.(XX年湖北卷)已知向量 , 是不平行于 軸的單位向量,且 ,則 = ()
(a) (b) (c) (d)
命題意圖: 本題主要考查應用平面向量的坐標運算和平面向量的數量積,以及方程的思想解題的能力.
解:設 ,則依題意有
故選b.