函數教案

1、函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件。
判斷函數的奇偶性有時可以用定義的等價形式: , 。
2、若函數 既是奇函數又是偶函數,則 恒等于零,這樣的函數有無數個。
3、如果點 是原函數圖象上的點,那么點 就是其反函數圖象上的點。
4、反函數的相關性質:
(1)互為反函數的兩個函數具有相同的的單調性,單調區間不一定相同;
(2)定義域上的單調函數必有反函數;(函數單調只能作為存在反函數的充分條件)
只有從定義域到值域上一一映射所確定的函數才有反函數。(存在反函數的充要條件)
(3)奇函數的反函數也是奇函數。偶函數不存在反函數(定義域為單元素集的偶函數除外);
(4)周期函數不存在反函數;
(5)若 是連續單調遞增函數,則" 與 的圖象有公共點" " 的圖象與直線 有公共點" "方程 有解";
(6)若 為增函數,則 與 的圖象的交點必在直線 上;
(7)函數 的圖象與函數 的圖象關于直線 對稱;
(8)函數 與 的圖象關于直線 對稱。
5、兩個函數相同,當且僅當它們的定義域和對應法則分別相同。
6、 對 恒成立 或 其中 。
7、二次函數的三種表現形式:
(1)一般式 ;
(2)頂點式: 其中 為拋物線頂點坐標;
(3)零點式: 其中 、 為拋物線與 軸兩個交點的橫坐標。
8、不等式中的恒成立問題與不等式的有解問題對比:
(1) 在 的定義域上恒成立 ;
(2) 在 的定義域上恒成立 ;
(3) 在 的定義域上有解 ;
(4) 在 的定義域上有解 。
某些恒成立問題有時通過分離變量(在等式或不等式中出現兩個變量,其中一個變量的范圍已知,另一個為所求,這時可通過恒等變形將兩個變量分置于等號或不等號兩邊)將恒成立問題轉化為函數在給定區間上的最值問題,從而求解。
9、對于函數中的恒成立問題補充兩點說明:
(1)若 恒成立,則m不一定為 的最大值。若 恒成立,則m不一定為 的最小值;
(2)若 恒成立,則 為的最大值,若 恒成立,則 為的最小值。
10、函數 的最小值為 。
11、重要工具函數 的性質:不妨設
(1) 時,函數在區間 上單調遞增;
(2) 時,函數在區間 上單調遞減,在區間 上單調遞增。
12、關于函數對稱性,奇偶性與周期性的關系:
類型之一:線線型 周期性
(1)若函數 在 上的圖象關于直線 與 都對稱,則函數 是 上的周期函數, 是它的一個周期。
(2)若函數 為偶函數,且圖象關于直線 對稱,則 為周期函數, 是它的一個周期。
類型之二:點線型 周期性
(1)若函數 在 上的圖象關于點 和直線 都對稱,則函數 是 上的周期函數, 是函數 在 上的一個周期。
(2)若函數 為偶函數,且圖象關于點 成中心對稱,則函數 為周期函數, 是它的一個周期。
(3)若函數 為奇函數,且圖象關于直線 對稱,則 為周期函數, 是它的一個周期。
類型之三:點點型 周期性
(1)若函數 在 上的圖象關于相異兩點 、 都對稱,則函數 是 上的周期函數, 是它的一個周期。
(2)若函數 為奇函數,且圖象關于點 成中心對稱,則函數 為周期函數, 是它的一個周期。
13、由函數方程推導函數周期的常見類型:
(1)若函數 滿足 ,則 ,則 是 上的周期函數,且 是它的一個周期。
(2)若函數 滿足 ,則 是 上的周期函數,且 是它的一個周期。