函數教案

(3)若對于任意一個實數 ,都有 ,則 是 上的周期函數,且 是它的一個周期。
(4)若對于任意一個實數 ,都有 ,則 是 上的周期函數,且 是它的一個周期。
(5)定義在 上的函數 ,若存在非零正實數 ,對于一切 ,都有 ,則 是以 為周期的函數。
(6)定義在 上的函數 ,若存在非零正實數 ,對于一切 ,都有 ,則 是以 為周期的函數。(過度關系: )
(7)定義在 上的函數 對于 都有 ,則 是以6為周期的函數。(過度關系:
(8)定義在 上的函數 對于 都有 ,則 是以6為周期的函數。
(過度關系: )
(9)若 是函數 的任意一個周期,則 的相反數 也是 的周期; 也是 的周期;若 都是 的周期,且 ,則 也是 的周期。
說明:對于(1)~(5),其代換函數,有如下特點:原函數與反函數相同,代換兩次能夠還原。如: 都是原函數與反函數相同的函數,即 。可見本章-24。
14、函數圖象的自身對稱問題:
(1)偶函數的圖象關于y軸對稱;(軸對稱)
(2)奇函數的圖象關于原點對稱;(中心對稱)
(3)定義在 上的函數 ,若滿足 ,則函數 的圖象關于直線 對稱;( ,即:"取平均值",與m的值無關)
(4)定義在 上的函數 ,若滿足 ,則函數 的圖象關于點 中心對稱;
(5)定義在 上的函數 ,若滿足 (或 ),則函數 的圖象關于點 中心對稱。
15、兩函數圖象間的對稱問題:
(1)定義在 上的函數 與函數 的圖象關于直線 對稱;(其對稱軸方程 由 解得,與m的值有關)
(2)定義在 上的函數 與函數 的圖象關于點 中心對稱;
(3)定義在 上的函數 與函數 的圖象關于點 中心對稱;
(4)特別地:①函數 關于x軸對稱的函數為:
②函數 關于y軸對稱的函數為:
③函數 關于原點對稱的函數為:
④函數 關于 對稱的函數為:
⑤函數 關于 對稱的函數為:
⑥函數 關于直線 軸對稱的函數為: ;
⑦函數 關于直線 軸對稱的函數為: ;
⑧函數 關于點 中心對稱的函數為: 。
16、若函數 為奇函數,且定義域為 ,則必有 。
若函數 是偶函數,那么 。
17、基本的函數圖象變換:
(1)要作 的圖象,只須將 的圖象向上( 時)或向下( 時)
平移 個單位;
(2)要作 的圖象,只須將 的圖象向右( 時)或向左( 時)平移 個單位;
(3)要作 的圖象,可先作函數 的圖象,然后將 軸上方部分保持不變, 軸下方部分沿 軸對稱上翻即可;
(4)要作 的圖象,只需保留 在 軸右邊的圖象(擦去 軸左邊的圖解),然后將 軸右邊部分對稱地翻折到左側即可。(注意 是偶函數)。
(5)要作 的圖象,只須將 的圖象作關于直線 對稱,也可以將 的圖象先作關于y軸對稱,再向右( 時)或向左( 時)平移 個單位;
18、對稱軸的斜率為 時的對稱變換:
(1)曲線 關于直線 的對稱曲線為 ;
(2)曲線 關于直線 的對稱曲線為 ;
(3)點 關于直線 的對稱點為 ;
(4)點 關于直線 的對稱點為 。
19、函數 按向量 平移后的函數表達式為: ;
20、判斷 符號可以1為分界點,當 在1的同側( 或 )時, ;當 在1的兩側時, 。可以概括為:"同向為正,異向為負"
21、關于函數 的定義域為 或值域為 的問題:
(1)若其定義域為 ,則須 在 上恒成立,問題等價為:
或 其中 ;