平面向量的數量積及運算律（通用4篇）
平面向量的數量積及運算律 篇1
教學目的：
1 掌握平面向量的數量積及其幾何意義；
2 掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；
3 了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；
4 掌握向量垂直的條件
教學重點：平面向量的數量積定義
教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用
授課類型：新授課
課時安排：1課時
教 具：多媒體、實物投影儀
內容分析：
本節學習的關鍵是啟發學生理解平面向量數量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導數量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數量積的認識 主要知識點：平面向量數量積的定義及幾何意義；平面向量數量積的5個重要性質；平面向量數量積的運算律
教學過程：
一、復習引入：
1. 向量共線定理 向量 與非零向量 共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使 =λ
2.平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數λ1，λ2使 =λ1 +λ2
3.平面向量的坐標表示
分別取與 軸、 軸方向相同的兩個單位向量 、 作為基底 任作一個向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數 、 ，使得
把 叫做向量 的（直角）坐標，記作
4.平面向量的坐標運算
若 ， ，
則 ， ，
若 ， ，則
5. ∥ ( )的充要條件是x1y2-x2y1=0
6.線段的定比分點及λ
p1, p2是直線l上的兩點，p是l上不同于p1, p2的任一點，存在實數λ，
使 =λ ，λ叫做點p分 所成的比，有三種情況：
λ>0(內分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
7 定比分點坐標公式：
若點p1(x1,y1) ，p2(x2,y2)，λ為實數，且 ＝λ ，則點p的坐標為（ ），我們稱λ為點p分 所成的比
8 點p的位置與λ的范圍的關系：
①當λ＞0時， 與 同向共線，這時稱點p為 的內分點
②當λ＜0( )時， 與 反向共線，這時稱點p為 的外分點
9 線段定比分點坐標公式的向量形式：
在平面內任取一點o，設 ＝ ， ＝ ，
可得 =
10.力做的功：w = | || |cos，是 與 的夾角
二、講解新課：
1.兩個非零向量夾角的概念
已知非零向量 與 ，作 ＝ ， ＝ ，則∠aob＝θ（0≤θ≤π）叫 與 的夾角
說明：（1）當θ＝0時， 與 同向；
（2）當θ＝π時， 與 反向；
（3）當θ＝ 時， 與 垂直，記 ⊥ ；
（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的 范圍0≤≤180
2.平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數量| || |cos叫 與 的數量積，記作 ，即有 = | || |cos，
（0≤θ≤π） 并規定 與任何向量的數量積為0
探究：兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別
（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cos的符號所決定
（2）兩個向量的數量積稱為內積，寫成 ；今后要學到兩個向量的外積 × ，而 是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區分 符號“• ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替
（3）在實數中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數量積中，若 ，且 =0，不能推出 = 因為其中cos有可能為0
（4）已知實數a、b、c(b0)，則ab=bc a=c
但是 = =
如右圖： = | || |cos = | ||oa|， = | || |cos = | ||oa|
= 但
(5)在實數中，有(aa)c = a(ac)，但是( ) ( )
顯然，這是因為左端是與 共線的向量，而右端是與 共線的向量，而一般 與 不共線
3.“投影”的概念：作圖
定義：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一個數量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當 = 0時投影為 | |；當 = 180時投影為 | |
4.向量的數量積的幾何意義：
數量積 等于 的長度與 在 方向上投影| | os的乘積
5.兩個向量的數量積的性質：
設 、 為兩個非零向量， 是與 同向的單位向量
1 = =| |cos
2 = 0
3 當 與 同向時， = | || |；當 與 反向時， = | || |
特別的 = | |2或
4 os =
5| | ≤ | || |
三、講解范例：
例1 判斷正誤，并簡要說明理由
① • ＝ ；②0• ＝0；③ － ＝ ；④｜ • ｜＝｜ ｜｜ ｜；⑤若 ≠ ，則對任一非零 有 • ≠0；⑥ • ＝0，則 與 中至少有一個為 ；⑦對任意向量 ， ， 都有（ • ） ＝ （ • ）；⑧ 與 是兩個單位向量，則 2＝ 2
解：上述8個命題中只有③⑧正確；
對于①：兩個向量的數量積是一個實數，應有 • ＝0；
對于②：應有0• ＝ ；
對于④：由數量積定義有｜ • ｜＝｜ ｜•｜ ｜•｜cosθ｜≤｜ ｜｜ ｜，這里θ是 與 的夾角，只有θ＝0或θ＝π時，才有｜ • ｜＝｜ ｜•｜ ｜；
對于⑤：若非零向量 、 垂直，有 • ＝0；
對于⑥：由 • ＝0可知 ⊥ 可以都非零；
對于⑦：若 與 共線，記 ＝λ
則 • ＝（λ ）• ＝λ（ • ）＝λ（ • ），
∴（ • ）• ＝λ（ • ） ＝（ • ）λ ＝（ • ）
若 與 不共線，則( • ) ≠（ • ）
評述：這一類型題，要求學生確實把握好數量積的定義、性質、運算律
例2 已知｜ ｜＝3，｜ ｜＝6，當① ∥ ，② ⊥ ，③ 與 的夾角是60°時，分別求 •
解：①當 ∥ 時，若 與 同向，則它們的夾角θ＝0°，
∴ • ＝｜ ｜•｜ ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若 與 反向，則它們的夾角θ＝180°，
∴ • ＝｜ ｜｜ ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②當 ⊥ 時，它們的夾角θ＝90°，
∴ • ＝0；
③當 與 的夾角是60°時，有
• ＝｜ ｜｜ ｜cos60°＝3×6× ＝9
評述：兩個向量的數量積與它們的夾角有關，其范圍是［0°，180°］，因此，當 ∥ 時，有0°或180°兩種可能
四、課堂練習：
五、小結 通過本節學習，要求大家掌握平面向量的數量積的定義、重要性質、運算律，并能運用它們解決相關的問題
六、課后作業：
七、板書設計（略）
八、課后記及備用資料：
1 概念辨析：正確理解向量夾角定義
對于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點出發的兩個向量所構成的較小的非負角，因對向量夾角定義理解不清而造成解題錯誤是一些易見的錯誤，如：
1 已知△abc中， ＝5， ＝8，c＝60°，求 •
對此題，有同學求解如下：
解：如圖，∵｜ ｜＝ ＝5，｜ ｜＝ ＝8，c＝60°，
∴ • ＝｜ ｜•｜ ｜cosc＝5×8cos60°＝20
分析：上述解答，乍看正確，但事實上確實有錯誤，原因就在于沒能正確理解向量夾角的定義，即上例中 與 兩向量的起點并不同，因此，c并不是它們的夾角，而正確的夾角應當是c的補角120°
2 向量的數量積不滿足結合律
分析：若有（ • ） ＝ •（ • ），設 、 夾角為 ， 、 夾角為β，則( • ) ＝｜ ｜•｜ ｜cosα• ，
•( • )＝ •｜ ｜｜ ｜cosβ
∴若 ＝ ，α＝β，則｜ ｜＝｜ ｜，進而有：（ • ） ＝ •( • )
這是一種特殊情形，一般情況則不成立 舉反例如下：
已知｜ ｜＝1，｜ ｜＝1，｜ ｜＝ ， 與 夾角是60°， 與 夾角是45°，則：
( • )• ＝（｜ ｜•｜ ｜cos60°） ＝ ，
•( • )＝（｜ ｜•｜ ｜cos45°） ＝
而 ≠ ，故（ • ）• ≠ •（ • ）
平面向量的數量積及運算律 篇2
教學目的：
1 掌握平面向量數量積運算規律；
2 能利用數量積的5個重要性質及數量積運算規律解決有關問題；
3 掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題
教學重點：平面向量數量積及運算規律
教學難點：平面向量數量積的應用
授課類型：新授課
課時安排：1課時
教 具：多媒體、實物投影儀
內容分析：
啟發學生在理解數量積的運算特點的基礎上，逐步把握數量積的運算律，引導學生注意數量積性質的相關問題的特點，以熟練地應用數量積的性質
教學過程：
一、復習引入：
1.兩個非零向量夾角的概念
已知非零向量 與 ，作 ＝ ， ＝ ，則∠aob＝θ（0≤θ≤π）叫 與 的夾角
2.平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數量| || |cos叫 與 的數量積，記作 ，即有 = | || |cos，
（0≤θ≤π） 并規定 與任何向量的數量積為0
3.“投影”的概念：作圖
定義：| |cos叫做向量 在 方向上的投影
投影也是一個數量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當 = 0時投影為 | |；當 = 180時投影為 | |
4.向量的數量積的幾何意義：
數量積 等于 的長度與 在 方向上投影| |cos的乘積
5.兩個向量的數量積的性質：
設 、 為兩個非零向量， 是與 同向的單位向量
1 = =| |cos；2 = 0
3當 與 同向時， = | || |；當 與 反向時， = | || |
特別的 = | |2或
4cos = ；5| | ≤ | || |
6.判斷下列各題正確與否：
1若 = ，則對任一向量 ，有 = 0 ( √ )
2若 ，則對任一非零向量 ，有 0 ( × )
3若 ， = 0，則 = ( × )
4若 = 0，則 、 至少有一個為零 ( × )
5若 ， = ，則 = ( × )
6若 = ，則 = 當且僅當 時成立 ( × )
7對任意向量 、 、 ，有( ) ( ) ( × )
8對任意向量 ，有 2 = | |2 ( √ )
二、講解新課：
平面向量數量積的運算律
1.交換律： =
證：設 ， 夾角為，則 = | || |cos， = | || |cos
∴ =
2.數乘結合律：( ) = ( ) = ( )
證：若 > 0，( ) = | || |cos， ( ) = | || |cos， ( ) = | || |cos，
若 < 0，( ) =| || |cos() = | || |(cos) = | || |cos，
( ) = | || |cos，
( ) =| || |cos() = | || |(cos) = | || |cos
3.分配律：( + ) = c +
在平面內取一點o，作 = , = ， = ，
∵ + （即 ）在 方向上的投影等于 、 在 方向上的投影和，
即 | + | cos = | | cos1 + | | cos2
∴| | | + | cos =| | | | cos1 + | | | | cos2
∴ ( + ) = + 即：( + ) = +
說明：（1）一般地，( • ) ≠ （ • ）
（2） • ＝ • ， ≠ ＝
（3）有如下常用性質： 2＝｜ ｜2，
（ ＋ ）（ ＋ ）＝ • ＋ • ＋ • ＋ •
( ＋ )2＝ 2＋2 • ＋ 2
三、講解范例：
例1 已知 、 都是非零向量，且 + 3 與7 5 垂直， 4 與7 2 垂直，求 與 的夾角
解：由( + 3 )(7 5 ) = 0 7 2 + 16 15 2 = 0 ①
( 4 )(7 2 ) = 0 7 2 30 + 8 2 = 0 ②
兩式相減：2 = 2
代入①或②得： 2 = 2
設 、 的夾角為，則cos = ∴ = 60
例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和
解：如圖： abcd中， ， ， =
∴| |2=
而 =
∴| |2=
∴| |2 + | |2 = 2 =
例3 四邊形abcd中， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，且 • ＝ • ＝ • ＝ • ，試問四邊形abcd是什么圖形?
分析：四邊形的形狀由邊角關系確定，關鍵是由題設條件演變、推算該四邊形的邊角量
解：四邊形abcd是矩形，這是因為：
一方面：∵ ＋ ＋ ＋ ＝0，
∴ ＋ ＝－（ ＋ ），∴( ＋ )2＝（ ＋ ）2
即｜ ｜2＋2 • ＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋2 • ＋｜ ｜2
由于 • ＝ • ，
∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2①
同理有｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2②
由①②可得｜ ｜＝｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜即四邊形abcd兩組對邊分別相等
∴四邊形abcd是平行四邊形
另一方面，由 • ＝ • ，有 （ － ）＝0，而由平行四邊形abcd可得 ＝－ ，代入上式得 •(2 )＝0
即 • ＝0，∴ ⊥ 也即ab⊥bc
綜上所述，四邊形abcd是矩形
評述：(1)在四邊形中， ， ， ， 是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即 ＋ ＋ ＋ ＝ ，應注意這一隱含條件應用；
(2)由已知條件產生數量積的關鍵是構造數量積，因為數量積的定義式中含有邊、角兩種關系
四、課堂練習：
1 下列敘述不正確的是（ ）
a 向量的數量積滿足交換律 b 向量的數量積滿足分配律
c 向量的數量積滿足結合律 d • 是一個實數
2 已知| |=6,| |=4, 與 的夾角為60°，則( +2 )•( -3 )等于（ ）
a 72 b -72 c 36 d -36
3 | |=3,| |=4,向量 + 與 - 的位置關系為（ ）
a 平行 b 垂直 c 夾角為 d 不平行也不垂直
4 已知| |=3,| |=4,且 與 的夾角為150°，則( + )2＝
5 已知| |=2,| |=5, • =-3,則| + |=______,| - |=
6 設| |=3,| |=5,且 +λ 與 －λ 垂直，則λ＝
參考答案：1 c 2 b 3 b 4 2 5 －1+2 5 6 ±
五、小結 通過本節學習，要求大家掌握平面向量數量積的運算規律，掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數量積的5個重要性質解決相關問題
六、課后作業
1 已知| |=1,| |= ,且( - )與 垂直，則 與 的夾角是（ ）
a 60° b 30° c 135° d 45°
2 已知| |=2,| |=1, 與 之間的夾角為 ，那么向量 ＝ -4 的模為
a 2 b 2 c 6 d 12
3 已知 、 是非零向量，則| |=| |是( + )與( - )垂直的（ ）
a 充分但不必要條件 b 必要但不充分條件
c 充要條件 d 既不充分也不必要條件
4 已知向量 、 的夾角為 ，| |=2,| |=1,則| + |•| - |=
5 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、 是直角坐標系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么 • =
6 已知 ⊥ 、 與 、 的夾角均為60°，且| |=1,| |=2,| |=3,則( +2 - )2＝______
7 已知| |=1,| |= ,(1)若 ∥ ,求 • ;(2)若 、 的夾角為60°，求| + |；(3)若 - 與 垂直，求 與 的夾角
8 設 、 是兩個單位向量，其夾角為60°，求向量 =2 + 與 =2 -3 的夾角
9 對于兩個非零向量 、 ，求使| +t |最小時的t值，并求此時 與 +t 的夾角
參考答案：1 d 2 b 3 c 4 5 –63 6 11
7 (1)- (2) (3)45° 8 120° 9 90°
七、板書設計（略）
八、課后記及備用資料：
1 常用數量積運算公式：在數量積運算律中，有兩個形似實數的完全平方和(差)公式在解題中的應用較為廣泛
即( ＋ )2＝ 2＋2 • ＋ 2，（ － ）2＝ 2－2 • ＋ 2
上述兩公式以及( ＋ )( － )＝ 2－ 2這一類似于實數平方差的公式在解題過程中可以直接應用
2 應用舉例
例1 已知｜ ｜＝2，｜ ｜＝5， • ＝－3，求｜ ＋ ｜，｜ － ｜
解：∵｜ ＋ ｜2＝（ ＋ ）2＝ 2＋2 • ＋ 2＝22＋2×（－3）＋52＝23
∴｜ ＋ ｜＝ ，∵（｜ － ｜）2＝（ － ）2＝ 2－2 • ＋ 2＝22－2×（－3）×52＝35，
∴｜ － ｜＝ .
例2 已知｜ ｜＝8，｜ ｜＝10，｜ ＋ ｜＝16，求 與 的夾角θ(精確到1°)
解：∵（｜ ＋ ｜）2＝（ ＋ ）2＝ 2＋2 • ＋ 2＝｜ ｜2＋2｜ ｜•｜ ｜cosθ＋｜ ｜2
∴162＝82＋2×8×10cosθ＋102，
∴cosθ＝ ，∴θ≈55°
平面向量的數量積及運算律 篇3
（第二課時）
一、教學目標
1.掌握平面向量的數量積的運算律，并能運用運算律解決有關問題；
2.掌握向量垂直的充要條件，根據兩個向量的數量積為零證明兩個向量垂直；由兩個向量垂直確定參數的值；
3.了解用平面向量數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；
4.通過平面向量的數量積的重要性質及運算律猜想與證明，培養學生的探索精神和嚴謹的科學態度以及實際動手能力；
5.通過平面向量的數量積的概念，幾何意義，性質及運算律的應用，培養學生的應用意識.
二、教學重點 平面向量的數量積運算律，向量垂直的條件；
教學難點 平面向量的數量積的運算律，以及平面向量的數量積的應用.
三、教學具準備
投影儀
四、教學過程
1.設置情境
上節課，我們已經給出了數量積的定義，指出了它的（5）條屬性，本節課將研究數量積作為一種運算，它還滿足哪些運算律？
2.探索研究
（1）師：什么叫做兩個向量的數量積？
生： （ 與 向量的數量積等式 的模 與 在 的方向上的投影 的乘積）
師：向量的數量積有哪些性質？
生：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
師：向量的數量積滿足哪些運算律？
生（由學生驗證得出）
交換律：
分配律：
師：這個式子 成立嗎？（由學生自己驗證）
生： ，因為 表示一個與 共線的向量，而 表示一個與 共線的向量，而 與 一般并不共線，所以，向量的內積不存在結合律。
（2）例題分析
【例1】求證：
（1）
（2）
分析：本例與多項式乘法形式完全一樣。
證：
注： （其中 、 為向量）
答：一般不成立。
【例2】已知 ， ， 與 的夾角為 ，求 .
解：∵
注：與多項式求值一樣，先化簡，再代入求值.
【例3】已知 ， 且 與 不共線，當且僅當 為何值時，向量 與 互相垂直.
分析：師：兩個向量垂直的充要條件是什么？
生：
解： 與 互相垂直的充要條件是
即
∵
∴
∴
∴ 當且僅當 時， 與 互相垂直.
3.演練反饋（投影）
（1）已知 ， 為非零向量， 與 互相垂直， 與 互相垂直，求 與 的夾角.
（2） ， 為非零向量，當 的模取最小值時，
①求 的值；
②求證： 與 垂直.
（3）證明：直徑所對的圓周角為直角.
參考答案：
（1）
（2）解答：①由
當 時 最小；
②∵
∴ 與 垂直.
（3）如圖所示，設 ， ， （其中 為圓心， 為直徑， 為圓周上任一點）
則
∵ ，
∴ 即 圓周角
4.總結提煉
（l）
（2）向量運算不能照搬實數運算律，如結合律數量積運算就不成立.
（3）要學會把幾何元素向量化，這是用向量法證幾何問題的先決條件.
（4）對向量式不能隨便約分，因為沒有這條運算律.
五、板書設計
課題：
1.數量積性質
2.數量積運算律
例題
1
2
3
演練反饋
總結提煉
平面向量的數量積及運算律 篇4
（第一課時）
一、教學目標
1.正確理解平面向量的數量積的概念，能夠運用這一概念求兩個向量的數量積，并能根據條件逆用等式求向量的夾角；
2.掌握平面向量的數量積的重要性質，并能運用這些性質解決有關問題；
3.通過平面向量的數量積的重要性質猜想與證明，培養學生的探索精神和嚴謹的科學態度以及實際動手能力；
4.通過平面向量的數量積的概念，幾何意義，性質的應用，培養學生的應用意識.
二、教學重點 平面向量的數量積概念、性質及其應用
教學難點 平面向量的數量積的概念，平面向量的數量積的重要性質的理解.
三、教學具準備
直尺，投影儀
四、教學過程
1.設置情境
師：我們學過功的概念：即一個物體在力 的作用下產生位移 ，那么力 所做的功： ，其中 表示一個什么角度？
表示力 的方向與位移 的方向的夾角.
我們對上述物理意義下的“功”概念進行抽象，就一般向量 、 ，來規定 的含義。
2.探索研究
（l）已知兩個非零向量 和 ，在平面上任取一點 ，作 ， ，則 叫做向量 與 的夾角.你能指出下列圖中兩向量的夾角嗎？
① 與 的夾角為 ，② 與 的夾角為 ，③ 與 的夾角是 ，④ 與 的夾角是 .
（2）下面給出數量積定義：
師：（板書）已知兩個非零向量 和 ，它們的夾角為 ，我們把數量 ，叫做向量 與 的數量積或（內積）記作 即
并規定
師：在平面向量的數量積的定義中，它與兩個向量的加減法有什么本質區別.
生：向量的數量積結果是一個數量，而向量的加法和減法的結果還是一個向量.
師：你能從圖中作出 的幾何圖形嗎？ 表示的幾何意義是什么？
生：如圖，過 的終點 作 的垂線段 ，垂足為 ，則由直角三角形的性質得：
所以 叫做向量 在向量 上的投影， 叫做 在 上的投影.
師：因此我們得到 的幾何意義：向量 與 的數量積 等于 的長度 與 在 的方向上的投影 的積.
注意：1°投影也是一個數量，不是向量。
2°當q為銳角時投影為正值；
當q為鈍角時投影為負值；
當q為直角時投影為0；
當q =0°時投影為 |b|；
當q =180°時投影為 -|b|。
向量的數量積的幾何意義：
數量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。
（3）下面討論數量積的性質：
（每寫一條讓學生動手證一條）設 ， 都是非零向量， 是與 的方向相同的單位向量， 是 與 的夾角，則
①
②
③當 與 同向時， ，當 與 反向時， 。
特別地
④
⑤
3.演練反饋（投影）
（通過練習熟練掌握性質）
判斷下列各題是否正確
（1）若 ，則對任意向量 ，有 （ ）
（2）若 ，則對任意非零量 ，有 （ ）
（3）若 ，且 ，則 （ ）
（4）若 ，則 或 （ ）
（5）對任意向量 有 （ ）
（6）若 ，且 ，則 （ ）
參考答案：（l）√，（2）×，（3）×，（4）×，（5）√，（6）×.
4.總結提煉
（l）向量的數量的物理模型是力的做功.
（2） 的結果是個實數（標量）
（3）利用 ，可以求兩向量夾角，尤其是判定垂直。
（4）二向量夾角范圍 .
（5）五條屬性要掌握.
五、板書設計
課題
1.“功”的抽象
2.數量積的定義
3.（5）條性質
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
4.演練反饋
5.總結提煉