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角的概念的推廣

角的概念的推廣


  角的概念推廣(第一課時(shí))
教學(xué)目的:
1.掌握用“旋轉(zhuǎn)”定義角的概念,理解并掌握“正角”“負(fù)角”“象限角”“終邊相同的角”的含義。
2.掌握所有與α角終邊相同的角(包括α角)的表示方法。
3.從“射線繞著其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成角”的過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)審視事物,從而深刻理解推廣后的角的概念。
教學(xué)重點(diǎn):理解并掌握正角負(fù)角零角的定義,掌握終邊相同的角的表示方法。
教學(xué)難點(diǎn) :終邊相同的角的表示
內(nèi)容分析
本節(jié)主要介紹推廣角的概念,引入正角、負(fù)角、零角的定義,象限角的概念,終邊相同的角的表示方法。樹(shù)立運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),理解靜是相對(duì)的,動(dòng)是絕對(duì)的,并由此深刻理解推廣后的角的概念。教學(xué)方法可以選為討論法,通過(guò)實(shí)際問(wèn)題,使角的推廣變得更為必要,如螺絲扳手緊固螺絲、時(shí)針與分針、車輪的旋轉(zhuǎn)等等,都能形成角的概念,給學(xué)生以直觀的印象,形成正角、負(fù)角、零角的概念,突出角的概念的理解與掌握。通過(guò)具體問(wèn)題,讓學(xué)生從不同角度作答,理解終邊相同的角的概念,并給以表示,從特殊到一般,歸納出終邊相同的角的表示方法,達(dá)到突破難點(diǎn)之目的。
教學(xué)過(guò)程 
一、復(fù)習(xí)引入:
1.回憶:初中是如何定義角的?
從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形。
這種概念的優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀、容易理解,角的范圍是 ,但其僅從圖形的形狀來(lái)定義角,弊端在于“狹隘”。
2.生活中很多實(shí)例會(huì)不在范圍
如:體操運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體 ,跳水運(yùn)動(dòng)員向內(nèi)、向外轉(zhuǎn)體
經(jīng)過(guò)1小時(shí)時(shí)針、分針、秒針轉(zhuǎn)了多少度?
這些例子不僅不在范圍 ,而且方向不同,有必要將角的概念推廣到任意角,用運(yùn)動(dòng)的思想來(lái)研究角的概念。
二、講解新課:  
1.
⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角
一條射線由原來(lái)的位置OA,繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到另一位置OB,就形成角α.旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線OA叫做角α的始邊,旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角α的終邊,射線的端點(diǎn)O叫做角α的頂點(diǎn).
突出“旋轉(zhuǎn)”  注意:“頂點(diǎn)”“始邊”“終邊”
⑵.“正角”與“負(fù)角”“零角”
我們把按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做正角,把按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角,“正角”與“負(fù)角”是由旋轉(zhuǎn)的方向決定的。
特別地,當(dāng)一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí),我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角,并把這個(gè)角叫做零角.記法:角 或   可以簡(jiǎn)記成 。
⑶意義
用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后,角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了。
1° 角有正負(fù)之分    如:a=210°     b=-150°    g=660°
2° 角可以任意大
    實(shí)例:體操動(dòng)作:旋轉(zhuǎn)2周(360°×2=720°) 3周(360°×3=1080°)
3° 還有零角     一條射線,沒(méi)有旋轉(zhuǎn)
角的概念推廣以后,它包括任意大小的正角、負(fù)角和零角.要注意,正角和負(fù)角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量。
2.“象限角”
為了研究方便,我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來(lái)討論角
角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與 軸的正半軸重合,這樣一來(lái),角的終邊落在第幾象限,我們就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角(角的終邊落在坐標(biāo)軸上,則此角不屬于任何一個(gè)象限,我們稱其為界限角)
下面由學(xué)生自己分別舉出終邊在一、二、三、四象限的角以及界限角(各舉兩例)
例如:30°、390°、-330°是第一象限角,-195°、120°是第二象限角, 585°、1180°是第三象限角,300°、-60°是第四象限角。90°、0°、-180°都是界限角。
3.終邊相同的角 
⑴觀察:390°,-330°角,它們的終邊都與30°角的終邊相同
⑵探究:終邊相同的角都可以表示成一個(gè)0°到360°的角與 個(gè)周角的和:
  390°=30°+ 360°      
  -330°=30°-360°                     
  30°=30°+0×360°      
對(duì)于任意一個(gè)角,若其終邊與 相同,那么它們之間都相差360°的整數(shù)倍,則
,                        ,
,                     ,
,                      等它們的始邊和終邊都相同。
⑶結(jié)論:所有與角 終邊相同的角連同a在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合:
(即:任何一個(gè)與角a終邊相同的角,都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和。)
⑷注意以下四點(diǎn):
(1) ;
(2) a是任意角;
(3) 與a之間是“+”號(hào),
如 -30°,應(yīng)看成 +(-30°);
(4)終邊相同的角不一定相等,但相等的角,終邊一定相同,終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè),它們相差360°的整數(shù)倍.
三、講解范例:
例1:寫出與下列各角終邊相同的角的集合,并指出它們是哪個(gè)象限的角
(1)          (2)           (3)           (4)
解:(1)與 終邊相同的角的集合是
   因?yàn)?是第一象限角,所以集合 中的角都是第一象限的角。
    (2)與 終邊相同的角的集合是
   因?yàn)?是第二象限角,所以集合 中的角都是第二象限的角。
(3)與 終邊相同的角的集合是
   因?yàn)?是第三象限角,所以集合 中的角都是第三象限的角。
(4)與 終邊相同的角的集合是
   因?yàn)?是第四象限角,所以集合 中的角都是第四象限的角。
四、課堂練習(xí)
1.銳角是第幾象限的角?第一象限的角是否都是銳角?小于90°的角是銳角嗎?
(答:銳角是第一象限角;第一象限角不一定是銳角;小于90°的角可能是零角或負(fù)角故它不一定是銳角)
2.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合,始邊落在x軸的正半軸上,作出下列各角,并指出它們是哪個(gè)象限的角?
(1)420°,(2)-75°,(3)855°,(4)-510°.
(答:(1)第一象限角,(2)第四象限角,(3)第二象限角,(4)第三象限角)
作圖時(shí)應(yīng)注意:頂點(diǎn)與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合,始邊落在x軸的正半軸上(圖略)
五、小結(jié): 
本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正角、負(fù)角和零角的概念,象限角的概念,要注意如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限.本節(jié)課重點(diǎn)是學(xué)習(xí)終邊相同的角的表示法.嚴(yán)格區(qū)分“終邊相同”和“角相等”;“界限角”“象限角”; “小于90°的角”“第一象限角”和“銳角”的不同意義.
六、課后作業(yè) 
1.下列命題中正確的是(    )
A.第一象限的角一定不是負(fù)角          
B.第二象限角一定是鈍角
C.第四象限角一定是負(fù)角                    
D.若βαk·360°(kZ),則αβ終邊相同
2.下列角中,與 終邊相同的角是(    )
A.            B.           C.            D.
3.如果 ,那么角 是(    )
A.第一象限角         B.第二象限角       C.第三象限角       D.第四象限角
4.若角αβ終邊相同,則一定有(    )
A.αβ=180°                    B.αβ=0°    
C.αβk·360°,kZ        D.αβk·360°,kZ
5.鐘表經(jīng)過(guò)4小時(shí),時(shí)針與分針各轉(zhuǎn)了            (填度).
6.在直角坐標(biāo)系中,作出下列各角,并判斷各為第幾象限角(或界限角).
(1)360°   (2)720°    (3)1080°    (4)1440°
參考答案:1.D  2.B  3.C  4.C  5. -120°-1440°6.(略)

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